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实用标准文案
初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值 问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个
定理靠拢进而解 决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
图形
B
A
A
P
l
B
三角形三边关系

A
P
l
轴


对
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短
称
A
，
B
为定点，
l
为定直< br>最
A
，
B
为定点，
l
为定直线，
线，
P
为直线
l
上的一
值
特征
MN
为直线
l
上的一条动线
个动点，求
AP
+
BP
的最
段， 求
AM
+
BN
的最小值
小值
先平移
AM
或
BN
使
M
，
N
重
作其中一个定点关于定
转化 合，然后作其中一个定点
直线
l
的对称点
关于定直线
l
的对称点
M
N
l
A
，B
为定点，
l
为定直线，
P
为直线
l
上的一个 动
点，求|
AP
-
BP
|的最大值
作其中一个定点关于定
直线
l
的对称点
A
图形
B'
M
折
叠
BC

N
最
值
原理 两点之间线段最短
在△
ABC
中，
M
，
N
两点分别是边
AB
，
BC
上的动点，将△
BMN
沿
MN
翻折，
B
点
特征
的对应点为
B'
， 连接
AB'
，求
AB'
的最小值．
转化 转化成求
AB'
+
B'N
+
NC
的最小值
二、典型题型
1．如图：点
P
是∠
AOB
内一定点，点< br>M
、
N
分别在边
OA
、
OB
上运动，若∠< br>AOB
=45°，
OP
=
32
，则△
PMN
的周长的最小值为 ．

【分析】作
P
关于
OA< br>，
OB
的对称点
C
，
D
．连接
OC
，
OD
．则当
M
，
N
是
CD
与
O A
，
OB
的交点时，△
PMN
的周
长最短，最短的值是CD
的长．根据对称的性质可以证得：△
COD
是等腰直角三角形，据此即可求解 ．
【解答】解：作
P
关于
OA
，
OB
的对称点< br>C
，
D
．连接
OC
，
OD
．则当
M
，
N
是
CD
与
OA
，
OB
的交点 时，△
PMN
的周长最短，最短的值是
CD
的长．
∵
PC
关于
OA
对称，
∴∠
COP
=2 ∠
AOP
，
OC
=
OP

同理，∠
DOP
=2∠
BOP
，
OP
=
OD

∴∠
COD
=∠
COP
+∠
DOP
=2（∠
AOP
+ ∠
BOP
）=2∠
AOB
=90°，
OC
=
OD< br>．
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实用标准文案
∴△
COD
是等腰直角三角形．
则
CD
=
2OC
=
2
×3
2
=6．

【题后思考】本题 考查了对称的性质，正确作出图形，理解△
PMN
周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形
PABN
的周长最小时，
a
= ．

【分析】因为
AB
，
PN
的长度都是固定的，所以求出< br>PA
+
NB
的长度就行了．问题就是
PA
+
NB什么时候最短．
把
B
点向左平移2个单位到
B
′点；作
B
′关于
x
轴的对称点
B
″，连接
AB
″，交< br>x
轴于
P
，从而确定
N
点
位置，此时
PA< br>+
NB
最短．
设直线
AB
″的解析式为
y
=
kx
+
b
，待定系数法求直线解析式．即可求得
a
的值．
【解答】解：将
N
点向左平移2单位与
P
重合，点
B
向左平移2单位到
B
′（2，﹣1），
作
B
′关于
x< br>轴的对称点
B
″，根据作法知点
B
″（2，1），
设直线< br>AB
″的解析式为
y
=
kx
+
b
，

12kb
，解得
k
=4，
b
=﹣7． 
3kb
777
∴
y
=4
x
﹣7．当< br>y
=0时，
x
=，即
P
（，0），
a
=．
444
7
故答案填：．
4
则


【题后思考】考查关于
X
轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
3．如图 ，
A
、
B
两点在直线的两侧，点
A
到直线的距离
A M
=4，点
B
到直线的距离
BN
=1，且
MN
=4 ，
P
为直线
上的动点，|
PA
﹣
PB
|的最大值为 ．
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实用标准文案
A
D
M
B′
N
B
P

【分析】作 点
B
于直线
l
的对称点
B
′，则
PB
=< br>PB
′因而|
PA
﹣
PB
|=|
PA
﹣PB
′|，则当
A
，
B
′、
P
在一条直
线上时，|
PA
﹣
PB
|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得
PN
和
PM
的值然后根据勾股定理求得
PA
、
PB
′
的值，进而求得|
PA
﹣
PB
|的最大值．
【解答】 解：作点
B
于直线
l
的对称点
B
′，连
AB
′并延长交直线
l
于
P
．
∴
B
′
N
=
BN
=1，
过
D
点作
B
′
D
⊥
AM
，
利用勾股定理求出
AB
′=5
∴|
PA
﹣
PB
|的最大值=5．
【题后思考】本题考查 了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

4． 动手操作：在矩形纸片
ABCD
中，
AB
=3，
AD
=5． 如图所示，折叠纸片，使点
A
落在
BC
边上的
A
′处，折< br>痕为
PQ
，当点
A
′在
BC
边上移动时，折痕的端点
P
、
Q
也随之移动．若限定点
P
、
Q
分别 在
AB
、
AD
边上移
动，则点
A
′在
BC
边上可移动的最大距离为 ．


【分析】本题关键在 于找到两个极端，即
BA
′取最大或最小值时，点
P
或
Q
的 位置．经实验不难发现，分
别求出点
P
与
B
重合时，
BA< br>′取最大值3和当点
Q
与
D
重合时，
BA
′的最小值 1．所以可求点
A
′在
BC
边
上移动的最大距离为2．
【 解答】解：当点
P
与
B
重合时，
BA
′取最大值是3， < br>当点
Q
与
D
重合时（如图），由勾股定理得
A
′C
=4，此时
BA
′取最小值为1．
则点
A
′在
BC
边上移动的最大距离为3﹣1=2．
故答案为：2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的 应用等知识，难度稍大，学生主要缺
乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5． 如图，直角梯形纸片
ABCD
，
AD
⊥
AB
，
AB
=8，
AD
=
CD
=4，点
E
、
F
分别在线段
AB
、
AD
上，将△
AEF
沿
EF< br>翻折，点
A
的落点记为
P
．当
P
落在直角梯形
ABCD
内部时，
PD
的最小值等于 ．
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实用标准文案

【分析】如图，经分析、探究，只有当直径
EF
最大，且点
A
落在
BD
上时，
PD
最小；根据 勾股定理求出
BD
的长度，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵当点< br>P
落在梯形的内部时，∠
P
=∠
A
=90°，
∴四边形
PFAE
是以
EF
为直径的圆内接四边形，
∴只 有当直径
EF
最大，且点
A
落在
BD
上时，
PD< br>最小，
此时
E
与点
B
重合；
由题意得：
PE
=
AB
=8，
由勾股定理得：
BD
2
=8
2
+6
2
=80，
∴
BD
=
45
，
∴
PD
=
458
．

【题后思考】该命题以直 角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为
核心构造而成；解题的关 键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．

6．如图，∠
M ON
=90°，矩形
ABCD
的顶点
A
、
B
分别在 边
OM
，
ON
上，当
B
在边
ON
上运动时 ，
A
随之在
OM
上运动，矩形
ABCD
的形状保持不变，其 中
AB
=2，
BC
=1，运动过程中，点
D
到点
O
的最大距离为 ．

【分析】取
AB
的中点E
，连接
OD
、
OE
、
DE
，根据直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半可得
OE
=
AB
，
利用勾股定理列式求 出
DE
，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得
OD
过点
E< br>时最大．
【解答】解：如图，取
AB
的中点
E
，连接
OD
、
OE
、
DE
，
∵∠
MON
=90°，
AB
=2
∴
OE
=
AE
=
1
AB
=1，
2
∵
BC
=1，四边形
ABCD
是矩形，
∴
AD
=
BC
=1，
∴
DE
=
2
，
根据三角形的三边关系，
OD
＜
OE
+
DE
，
∴当
OD
过点
E
是最大，最大值为
2
+1．
故答案为：
2
+1．
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实用标准文案

【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角 形的三边关
系，勾股定理，确定出
OD
过
AB
的中点时值最大是解题 的关键．

7．如图，线段
AB
的长为4，
C
为
AB
上一动点，分别以
AC
、
BC
为斜边在
AB
的同侧作等腰直角△
ACD
和等
腰直角△
BCE
，那么
DE
长的最小值是 ．

【分析】设
AC
=x
，
BC
=4﹣
x
，根据等腰直角三角形性质，得出
C D
=
理然后用配方法即可求解．
【解答】解：设
AC
=
x
，
BC
=4﹣
x
，
∵△
ABC
，△
BCD
′均为等腰直角三角形，
∴
CD
=
22
x
，
CD
′=（4﹣
x
）， 根据勾股定
22
22
x
，
CD
′=（4﹣
x
），
22
∵∠
ACD
=45°，∠
BCD
′=45°，
∴∠
DCE
=90°，
∴
DE
=
CD
+
CE
=
222
1
2
1
x
+（4﹣
x
）
2
=
x
2
﹣4
x
+8=（
x
﹣2）
2
+4，
22
∵根据二次函数的最值，
∴当
x
取2时，
DE
取最小值，最小值为：4．
故答案为：2．
【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是 掌握用配方法求二次函数最
值．

8．如图，菱形
ABCD
中，
AB
=2，∠
A
=120°，点
P
，
Q
，
K
分别为线段
BC
，
CD
，
BD
上的任意 一点，则
PK
+
QK
的最小值为 ．

【分析 】根据轴对称确定最短路线问题，作点
P
关于
BD
的对称点
P
′，连接
P
′
Q
与
BD
的交点即为所求的
点K
，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知
P
′
Q
⊥
CD
时
PK
+
QK
的最小值，然
后 求解即可．
【解答】解：如图，∵
AB
=2，∠
A
=120°，
∴点
P
′到
CD
的距离为2×
∴
PK
+< br>QK
的最小值为
3
．
故答案为：
3
．
3
=
3
，
2
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实用标准文案

【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最 短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定
最短路线的方法是解题的关键．
9．如图所示，正方形
ABCD
的边长为1，点
P
为边
BC上的任意一点（可与
B
、
C
重合），分别过
B
、
C
、
D
作
射线
AP
的垂线，垂足分别为
B
′、
C
′、
D
′，则
BB
′+
CC
′+
DD
′的取值范围是 ．

【分析】首先连接
AC
，
DP
．由正方形
ABC D
的边长为1，即可得：
S
△
ADP
=
正方形
AB CD
111
S
正方形
ABCD
=，
S
△
A BP
+
S
△
ACP
=
S
△
ABC
=
S
222
=
11
，继而可得
AP
•（
B B
′+
CC
′+
DD
′）=1，又由1≤
AP
≤< br>2
，即可求得答案．
22
【解答】解：连接
AC
，
DP
．
∵四边形
ABCD
是正方形，正方形
ABCD
的边长为1，
∴
AB
=
CD
，
S
正方形
ABCD
=1 ，
∵
S
△
ADP
=
1111
S
正方形< br>ABCD
=，
S
△
ABP
+
S
△
A CP
=
S
△
ABC
=
S
正方形
ABCD< br>=，
2222
∴
S
△
ADP
+
S
△
ABP
+
S
△
ACP
=1，
1111
AP
•
BB
′+
AP
•
CC
′+
AP•
DD
′=
AP
•（
BB
′+
CC
′ +
DD
′）=1，
2222
2
则
BB
′+
CC
′+
DD
′=，
AP
∵1≤
AP
≤
2
，
∴
∴当
P
与
B
重合时，有最大值2；
当
P
与
C
重合时，有最小值
2
．
∴2
≤
BB
′+
CC
′+
DD
′≤2．
故答案为：
2
≤
BB
′+
CC
′+
DD
′≤2．

【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解 题的关键是连接
AC
，
DP
，
根据题意得到
S
△< br>ADP
+
S
△
ABP
+
S
△
ACP
=1，继而得到
BB
′+
CC
′+
DD
′=
2
．
AP


10．如图，菱形
ABCD
中， ∠
A
=60°，
AB
=3，⊙
A
、⊙
B
的 半径分别为2和1，
P
、
E
、
F
分别是边
CD、⊙
A
和
⊙
B
上的动点，则
PE
+
P F
的最小值是 ．
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【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出
P
与
D
重合时
PE
+
PF
的最小值，进而求出即可．
【解答】解：由题意 可得出：当
P
与
D
重合时，
E
点在
AD
上 ，
F
在
BD
上，此时
PE
+
PF
最小，
连接
BD
，
∵菱形
ABCD
中，∠
A
=60°，
∴
AB
=
AD
，则△
ABD
是等边三角形，
∴
BD
=
AB
=
AD
=3，
∵⊙
A
、⊙
B
的半径分别为2和1，
∴
PE
=1，
DF
=2，
∴
PE
+
PF
的最小值是3．
故答案为：3．

【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出
P
点位置是解题关键．

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