安徽大学教务系统-团队拓展活动总结

数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值 问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个
定理靠拢进而解 决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
图形
轴
对
称
最
值
B
A
A
P
l
B
三角形三边关系

A
P
l

M
N
l

原理 两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直
线，P为直线l上的一
特征
个动点，求AP+BP的
最小值
作其中一个定点关于定
转化
直线l的对称点
两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直线，A，B为定点，l 为定直线，
MN为直线l上的一条动线P为直线l上的一个动
段，求AM+BN的最小值 点，求|AP-BP|的最大值
先平移AM或BN使M，N
重合，然后作其中一个定
点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
A
图形
B'
M
B
N
C

原理 两点之间线段最短
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，
特征
B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化 转化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型题型
1．如图：点P是∠ AOB内一定 点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=
32
，则△PMN的周长的最小值为 ．
折
叠
最
值










1

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a = ．






















3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的 距离BN=1，且MN=4，P为
直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．
A
D
M
B′
N
B
P










2

4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使 点A落在BC边上的A′处，
折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． 若限定点P、Q分别在AB、AD边
上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．























5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8 ，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF
沿EF翻折，点A的落点记为P．当 P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．

















3

6． 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之< br>在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大 距离
为 ．
























7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ ACD
和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．

















4

< br>8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的 任意一点，则PK+QK
的最小值为 ．



















9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、
D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是 ．



















5

10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A 、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A
和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．




































6

数学《最值问题》典型例题答案
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值 问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个
定理靠拢进而解 决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
图形
轴
对
称
最
值
B
A
A
P
l
B
三角形三边关系

A
P
l

M
N
l

原理 两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直
线，P为直线l上的一
特征
个动点，求AP+BP的
最小值
作其中一个定点关于定
转化
直线l的对称点
两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直线，A，B为定点，l 为定直线，
MN为直线l上的一条动线P为直线l上的一个动
段，求AM+BN的最小值 点，求|AP-BP|的最大值
先平移AM或BN使M，N
重合，然后作其中一个定
点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
A
图形
B'
M
B
N
C

原理 两点之间线段最短
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，
特征
B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化 转化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型题型
1．如图：点P是∠ AOB内一定 点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=
32
，则△PMN的周长的最小值为 ．
折
叠
最
值

【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△P MN
的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即 可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与O A，OB的交点时，
△ PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵ PC关于OA对称，
∴ ∠ COP = 2∠ AOP，OC=OP
同理，∠ DOP=2∠ BOP，OP=OD
7

∴ ∠ COD=∠ COP+∠ DOP=2（∠ AOP+∠ BOP）=2∠ AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=
2
OC=
2
×3
2
=6．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最
短．
把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″， 连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，
此时PA+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），
作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），
设直线AB″的解析式为y=kx+b，

12kb
，解得k=4，b=﹣7．
3kb

777
∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．
444
7
故答案填：．
4
则


【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
8