证券从业资格证考试时间-暑假心得体会

本稿件适合高三高考复习用
有关函数最值问题
的十二种解题方法与策略

贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）


一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数
f(x,y)
的最值时，可利用条件式消去一个参量，
从而将二元函数
f(x,y)
化为在给定区间 上求一元函数的最值问题。
例1、已知
x
、
yR
且
3x
2
2y
2
6x0
，求
x
2
2y< br>2
的值域。
2222
解：由
3x2y6x0
得
2y3x6x0
，即
0x2
。
222

x 2y2x6x2(x)

当
x
3
时，
x
2
值域为

0,


2

3
2
2
9

2
2
2y
2
取得最大值
9
；当
x0
时，
x
2
2y
2
取得最小值0。即
x
2
2y
2
的
2

9


二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变 形后，使函数
f(x)
出现在一个有
实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次 方程有实根的充要条件
0
来求出
f(x)
的最值。
例2、求函数
f(x)
解：由
f(x)
2x
的最值。
2
xx1
2x
得
x
2
x1
f( x)x
2


f(x)2

xf(x)0
，
因为
xR
，所以
0
，即

f(x)2
2
4f
2
(x)0
，解得
2f(x)2
。
3
2
，最小值是－2。
3
因此
f(x )
的最大值是
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3 、求
f(x)2
x2
34
x
在区间

1, 0

内的最值。
x2
解：配方得
f(x)2
24
34
x
3(2
x
)
2


33
1224
x

1,0

，所以
2
x
1
，从而当
2
x

即
xlo g
2
时，
f(x)
取得最大值；当
2
x
1
即
2333

x0
时
f(x)
取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为
f(x)asinxbcosx
( a
、
b
均为常数），则可用辅助角公式
b
asinxbcosx a
2
b
2
sin(xarctan)
来求函数
f(x)
的最值。
a
1sinx
例4、求函数
f(x)
的值域。
2cosx
1sinx
解：由
f(x)
化为
2cosx
sinxf(x)cosx12f(x)0
，即
1 f
2
(x)sin

xarctanf(x)

2f( x)1
，从而
2f(x)11f
2
(x)
3f
2
(x)4f(x)00f(x)
因此
f(x)
的值域为

0,

。
3
五、三角代换法：
例5、求函数
f(x)xx
2
4x3
的值域。
22
解：由
f(x)xx4x3x(x2)1
，令
x 2sin

，其中




4
。 3

4





,

，则
22

f(x)2sin

cos

22sin(

)
，
4
因为



2




3





,1

，因此



 ,

，所以



,

，从而
sin(

)


42
4

44< br>

22



f(x)


1,22

。
六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 例6、求函数
f(x)
x
2
5
x4
2
的 值域。
解：
f(x)
x
2
5
x4
2
x
2
4
4
x4
2

3
x4< br>2

4
3
x
2
4
4
35
2

。当且仅当
x4
22
4
x
24
，即
x0
时，等号成立，所以
f(x)

, 



5

2


七、求导法：
例7、用总 长14.8
m
的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长< br>

0.5
m
，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．
解：设容器底面短边长为x m 容器容积为y m
3
，则另一边为(x+0.5)m,高为
h
14.84x4(x0.5)
3.22x

4

3.22x0
∵

∴0x0

y=x(x+0.5)(3.2-2x) (03
+2.2x
2
+1.6x
令y’=-6x
2
+4.4x+1.6=0 ,即15x
2
-11x-4=0，解得
4
x
1
=1，x
2
=-(舍)
15
在(0,16)内只有在x=1处使y’=0,若x接近0或接近1.6 m时，y接近0.故当x=1，y
最大
=1.8 当高为
3.2-2×1=1.2 m时容器最大为1.8 m
3
。
八、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。
例8、设函数
f(x)
是奇函数，对任意
x
、
yR
均有关系
f(xy)f(x)f(y)
，若
x
0
时，f(x)0
且
f(1)2
。求
f(x)
在
3,3

上的最大值和最小值。
解：先确定
f(x)
在
3,3

上的单调性，设任意
x
1
、
x< br>2


3,3

且
x
1
x2
，则
x
2
x
1
0
。


f(x
2
)f(x
1
)f(x
2
)f(x
1
)f(x
2
x
1
)0

即
f(x
2
)f(x
1
)
。

f(x)
在

3,3

上是减函数。
因此
f(x)
的最大值是
f(3)f(3)f(21)< br>

f(1)f(1)f(1)

6

3f

f(x)
的最小值是
f(3)
九、利用函 数
f(x)x
来解
例9、求函数
f(x)sinx
解：因 为
sinx

1,0

(1)

6
k
(k0)
在区间
(,k

、

k, )
上递增，在区间

k,0)
、
(0,k

上 递减
x
2
的值域。
sinx

0,1

，易证
f(x)
在

1,0

或

0, 1

上都是减函数，所以当
sinx1
时，
f(x)
取 得最大值－3；所以当
sinx1
时，
f(x)
取得最小值3。
f(x)

,3



3,

。

十、数形结合法：数形 结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分
利用图形的直观性。
1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。
例10、求函数
f(x)
分析：
f(x)
x
2
6x18x
2
10x26
的最小值。
x
2
6x18x
2
10x26

2222
=
(x3)(03)(x5)(01)

表 示动点
P(x,0)
到定点
A(3,3)
，
B(5,1)
的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连
接
AB
交X轴于一点， 易证该点即是所求的P点。
解：由题意及分析易得直线AB的方程为
y
此时f(x)
的最小值是
13
x
，令
y0
得
x3
即所求的P点为（3，0）。
22
f(3)45
。
2、利用直线的斜率求最值。
1sinx
的值域。
2cosx
1sinx
解：令
kf(x)
，则
k
可以看成坐标平面内过 点
A(cosx,sinx)
、
B(2,1)
的直线的斜
2c osx
例11、求函数
f(x)
率。
因为
A(cosx,sin x)
点在圆
XY1
上运动，因此，当直线
BA
是此圆的切线时， 斜率
k
取得最值。
设过
B
点的切线方程为
Y1k(X 2)
，则有
22
2k1
1k
2
1
，解得< br>k
1
0
，
k
2

4
。
3
因此
f(x)
的值域为

0,

。 < br>3
3、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定 在可
行域的边界上取到。

4




x0
例12、设x，y满足约束条件：

xy
，求z＝3x＋2y的最 大值。


2xy1
解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行 域的一组平行线
y
如下图所示：
3z
x
（见红线），
22

由图可知，当直线
y
∴z
max
=3×1+2×1=5

十一、待定系数法：
3z
z
x
过点A(1,1)时，截距最大，即z最大，
222< br>
2xy8

x3y9

例13、若实数x、y满足

,求zx2y
的最大值。
x0


< br>y0

2xy≤8

x3y≤9

解：因为实 数x y满足

,
x≥0



y≥0
所以设z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y),
1

m
< br>2mn1


5


∴

,
m3n23


n

5

∴ z=
1313
(2x+y)+(x+3y)≤×8+×9=7.
5555
即
z
的最大值为7。

十二、万能公式法：对于 由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把
含正弦和余弦的函数化为只含 正切的函数来求出。
例14、求函数
f(x)
解：令
ttan
1sinx
的值域。
2cosx
x
（
tR
），则
2

2t
2
1sinx12tt
2
1t

y f(x)
2
t
1t
2cosx3t
2
1t
2
1
12tt
2
由于
tR
，所以用判别式 法可解。即由
y
得
(y1)t
2
2t3y10
，从而
当
y1
时，
t1R
；
当
y1
时， 由
0
得
44(y



0,
4
3


。


3t
t
y(31)
，解得
0y
41
3
。所以函数
f(x) 
sinx
2cosx
的值域为
1)