战胜困难的名言-出纳工作总结

武汉中考 数形结合求最值
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，
是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。数形结合的思想贯穿始终。

一、代数中的最值问题

1、代数求最值方法
①利用一次函数的增减性
一次函数
ykxb(k0)
的自变量
x
的取值范围是全体实数 ，图象是一条直线，因而
没有最大（小）值；实际问题中，当
mxn
时，则一次函 数的图象是一条线段，根据一
次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、 乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是
600元和1000元，现要求乙种 工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工
种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？




②配方法，利用非负数的性质
2、（1）求二次三项式
2xx3
的最小值


（2）设a、b为实数，那么
aabba2b
的最小值为_______。


③判别式法
22
2
x
2
x1< br>3、（1）求
2
的最大值与最小值。
xx1


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武汉中考 数形结合求最值
（2）
x,y
为实数且
xym5
，
xyymmx3
，求实数m最大值与最小值。



④零点区间讨论法
4、求函数
y|x1||x4|5
的最大值。



⑤基本不等式性质
(ab)
2
0 a
2
2abb
2
0

即
ab2ab
，仅当
ab
时，等号成立
22
a
2
b
2
ab
由此可推出
ab
，或
ab(a0,b0)

2
2

⑥夹逼法
通过转化 、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的
答案，这一方法称为夹逼 法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高
h
为整数，那么 此高
h
的最
大值可能为________。



⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）
该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：
探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题
变化趋势：前几年武汉中考主要考查经 济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种
类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模 型解决实际问题（探究2、3的演
变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或 最小值。
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武汉中考 数形结合求最值
函数概念回顾：
在某个变化过程中，有两个变量
x
和y
，对于
x
在某一范围内的每一个确定的值，变量
y
都有一个唯 一确定的值与它对应，那么我们称
y
是
x
的函数，其中
x
是 自变量，
y
是
x
的
函数。如果当
xa
时
yb
，那么
b
叫做当自变量的值为
a
时的函数值。
重要提示：对于函数的概念要牢记，一切从这里出发。解决实际问题其实就是建立数学
模型的过程，分析 变量间的变化关系后，剩下的就是选择哪种函数去解决问题。
结合解析式和图像讨论是数形结合解决实际问题的重要体现
（1）解析式精确的反映了某个变化过程中，变量之间的一种（函数）关系
（2）图像直观的反映了某个变化过程中，变量之间的一种变化趋势
（3）解决实际问题，要注意结合实际，也就是说自变量的取值范围要时刻关注

探索1、商品、经济类问题
6、（11四月调考23）杰瑞公司成立之初投资1500万元购 买新生产线生产新产品，此外，
生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100 元件且不得超过180
元件，该产品销售量
y
（万件）与产品售价
x
（元）之间的函数关系如图所示。
（1）求
y
与
x
之间的函数关系 式，并写出
x
的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；
（3）在（ 2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品
售价，能否使两年共盈利 达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。
读题思考2个问题：
（1）题目涉及到哪些量？哪些是常量、哪些是自变量、哪些量
是因变量？（1500万、成本60元、售价、销售量、利润）
（2）选择哪种函数模型去解决问题？
（1）
y
1
x30(100x180)

10< br>（2）设盈利W万元，则
w(x60)y1500
，
x180
元时，
亏损最小为60万元
（3）直接：第一年亏损+第二年盈利=1340

1
2
x36x1800601340
解得
x160

10
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武汉中考 数形结合求最值
7、（课本）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映 ：每涨
价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每
件40元，如何定价才能使利润最大？




8、（2011 中考）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另
外三边用长为30米的篱 笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的
一边的长为
x
米
（1）若平行于墙的一边的长为
y
米，直接写出
y
与
x之间的函数关系式
及其自变量
x
的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出
这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出< br>x
的取值范围.





9、（20 10中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，
房间会全部住满。当 每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对
游客居住的每个房间每天支出20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于
340元。设每个房间的房价每天增加
x
元(
x
为10的正整数倍)．
(1) 设一天订住的房间数为
y
，直接写出
y
与
x
的函数关系式及自变量
x
的取值 范围；
(2) 设宾馆一天的利润为
w
元，求
w
与
x
的函数关系式；
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?



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武汉中考 数形结合求最值
探索2、磁盘计算（含圆）问题
10、（课本）计算机把数据存储在磁盘上 ，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心
圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为45mm磁 盘：
（1）磁盘最内磁道的半径为
r
mm
，其上每0.015
m m
的弧长为1个存储单元，这条磁
道上有多少个存储单元？
（2）磁盘上各磁道之间 的宽度必须不小于0.3
mm
，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最
多有多少条磁道？
（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径
r
是多少时，磁盘 的存
储量最大？





11、（2012四 调）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25
m
的水管，在水
管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m
处达到最高，
高度 为3
m
。
（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，2.25） ，水柱的最高点的坐标
为（1，3），求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围 ）；
r
45mm
3
y(x1)
2
3
4
（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的
宽度为0.3
m
，最内轨道的半径为
r
m
，其上每0.3
m
的弧长上安装一个地漏，其它轨道
上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏。 求当
r
为多少时池中安装的地漏
的个数最多？（
r1.5
）





第23题图
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R
r

武汉中考 数形结合求最值
探索3、二次函数建模问题
12、（2012五调）某跳水运动员进行10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的
运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（ 图中标出的数据为已知条件）。在
跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
2
米，入水处距池边
3
的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以 前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入
水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中
完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为
3
失误？并通过计算说明理由．





13、（2012中考）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分
ACB 和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，
抛物线的顶 点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴
建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h (单位：米)随时间t(单位：

1

小时)的变化满足函数关系h＝－(t－19)
2
＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大
128
3
米，问此次跳水会不会
5
O
于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？





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武汉中考 数形结合求最值
14、（2013元调）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25米），围成一个矩 形花园ABCD，
与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），用砌4 6米
长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299平方米。








15、（2013四调） 在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面
25m
E
A
3m
B
M
N
C
D
F
4
米的P点处发球，球的运动
3
轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员
站立地点O的 水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如
图所示的坐标系，乙运动员站 立地点M的坐标为（m，0）
（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；
（3）乙原地起跳后可接球的最 大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的
取值范围。










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武汉中考 数形结合求最值
二、几何中的最值问题
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何 图形中某个确定的量（如线段长度、
角度大小、图形周长或面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题 的基本方法有：
1、几何定理（公理）法； 2、特殊位置与极端位置法；
求最小值适用于：
（1）轴对称模型：两点之间，线段最短
（2）直角三角形模型：垂线段最短（直角三角形斜边大于直角边）
求最大值适用于：
a
2
b
2
ab
（1）不等式模型：
ab
，或
ab(a0,b0)

2
2
（2）三角形两边之差小于第三边
A、轴对称模型求最小值
模型理解
1、在直线
l
上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。




2、直线
l
1
、l
2< br>交于O、P是两直线间的一点，在直线
l
1
、l
2
上分别找一 点A、B，使得△PAB
的周长最短。




3、直 线
l
1
、l
2
交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到
l
1
上一点P，再从P点
到
l
2
上一点Q，再回到 B点，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小。



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O
l
1
P
l
2
B
A
l
l
1
A
B
O
l
2

武汉 中考 数形结合求最值
4、从A点出发，先移动到直线
l
上的一点P，再在
l上移动一段固定的距离PQ，再回到点
B，求作点P，使移动的距离最短。






5、A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的 河上垂直建一座桥，使得从A村
庄经过桥到B村庄所走的路程最短。





模型运用
16、如图1，正方形
ABCD
的边长为2 ，
E
为
AB
的中点，
AD
B
A
l
A
d
B
E
P
BC
P
是
AC
上一 动点，则
PBPE
的最小值是___________


17 、如图2，
⊙O
的半径为2，点
A、B、C
在
⊙O
上， < br>A
C
O
P
B
OAOB
，
AOC60°
，
P
是
OB

上一动点，则
PAPC
的最小值是__________

< br>18、如图3，
AOB45°
，
P
是
AOB
内 一点，
PO10
，
B
R
P
Q、R
分别是
OA、OB
上的动点，则
△PQR
周长的
最小值是__________

O
Q
A
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武汉中考 数形结合求最值
19、已知：抛物线
yaxbxc(a0)
的对称轴为x1
，与
x
轴交于A、B两点，与
2
y
轴交于点C ，其中
A(3,0)
，
C(0,2)
。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得
PBC
的周长最小，请求出点P的坐标。







x=-1
CAOBx
y
20、在平面角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别 在
x
轴、
y
轴
的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点 。
（1）若E为边OA上的一个动点，当
CDE
的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、
F的坐标。













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武汉中考 数形结合求最值
21、四边形ABCD是等腰梯形，A、B在
x
轴上，D在
y
轴上，
ABCD
，
ADBC17
，
AB=5，CD= 3，抛物线
yxbxc
过A、B两点。
（1）求抛物线解析式；
（2）设M是
x
轴上方抛物线上的一动点，它到
x
轴与
y
轴 的距离之和为
d
，求
d
的最大值；
（3）当（2）中M点运动到使
d
取最大值时，此时记点M为N，设线段AC与
y
轴交于点
E，F为 线段EC上一动点，求F到N点与到
y
轴的距离之和的最小值，并求此时F
点的坐标。








22、恩施到 张家界高速公路
Y
与沪渝高速公路
X
垂直，如图建立直角坐标系。著名的恩施
大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于两高速公路同侧，AB=50
km
，A到直
线
X
的距离为10
km
，B到直线
X
和< br>Y
的距离分别为40
km
和30
km
。请你在
X旁和
Y
旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个 最小值。









O
A
x
y
B
AOBx
y
2
yN
D
DC
C
E
AO
B
x
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武汉中考 数形结合求最值
B、直角三角形模型：垂线段最短




A
A
C
C
B
DB
垂线段最短 斜边大于直角边
ABACBD
>
直角三角形斜边的两 条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，从形状
上来说，直角三角形斜边上的高把直角 三角形分得两个小直角三角形，而斜边上的中线则把
它分为两个小等腰三角形；从长度上来说，直角三角 形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有
点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得；而 斜边上的中线等于斜边的
一半。

23、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一
动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与
x< br>轴相交于点A，与
y
轴相交于点B。
（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值。
（2）在⊙O上 是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，请求出Q点的坐标；若 不存在，请说明理由。













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OAx
B
P
y
y
B
P
OAx

武汉 中考 数形结合求最值
24、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB 相切的动圆与
CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
B
A、4.75 B、4.8 C、5 D、
42




C
Q
O
PA
25、如图，在平面直角坐标系中，在
y
轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两 点A（0，a）、
B(0，b)，a>b，试在
x
轴的正半轴（坐标原点除外）上求 点C，使
ACB
取得最大值。




B
A
y
OCx
变式：某展览，墙壁上展柜AB离地2米高，AB之间摆放 展品，AB=1米，某个身高为
1.6米的人在什么角度，观看展览效果最佳？


26、（2013四调）如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则
线段D E长度的最大值为（ ）
A、3 B、6 C、







33
D、
33

2
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武汉中考 数形结合求最值
C、三角形两边之差小于第三边
27、如图，直线
y3x2
与
x
轴交于点C，与
y
轴交于点B，点A为
y
轴正 半轴上的
一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D。
（1）求点D的坐标； （2）过O、C、D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD
之差的 值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。








y
B
A
D
O Cx
28、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，
连结MC，把△MBC沿
x
轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO。
（1）试直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，试问在抛物线 的对称轴上是否存在一点T，
使得
|TOTB|
的值最大；










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OCx
D
AM
B
y

武汉中考 数形结合求最值
29、（2013四调24题）面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在A B上运动，
点F、G分别在BC、AC上。
（1）若AB＝8，DE＝2EF，求GF的长；
（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，
求证：MG＝NF；
（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。























几何中的最值问题，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图
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C
C
G
G
F
F
N
DE B
M
ADEB
A

武汉中考 数形结合求最值
形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题是常见题型。







最值问题的解决方法通常有两种：
（1） 应用几何性质：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：
① 运用配方法求二次三项式的最值；
② 运用一元二次方程根的判别式。


最值问题大都归于两类基本模型：
①函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函
数的最大或最小值
②几何模型，这类模型又分为两种情况：
㈠ 归于“两点之间的 连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都
应用这一模型。
㈡ 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用
这一模型。


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武汉中考 数形结合求最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间 的某
些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及
变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．


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