兰亭集序原文及翻译-英语心得

第一讲——几何中的最值问题
主讲教师：王春华


【考纲要求】
（一）本节课的知识点
1．“最值”问题：就是求一个变量在某范围内取最大或最小值的问题。

（1）几何中的最值问题是指：在一定的条件下，求平面几何图形中某个指定的量(如线段长

度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值．
（2）几何最值问题，一般在动态背景下，动与静是相对的.
（3）研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，即使图形变化为特殊图形
时，研究的量取得最值．

2．求几何最值问题的基本方法：
（1）特殊位置与极端位置法；
（2）几何定理（公理）法；
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
与几何有关的最小值（或最大值）问题，是几何计算问题的重 要题型.由于这类问题具
有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与 一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题,
它已成为中考中一道靓丽的风景线.

【真题剖析】

例1如 图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，则重叠部分是一个菱
形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形 的周长有最小值8，那么菱形
．．
周长的最大值是 ．
．．

例2已知如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，
点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的
高为 ．




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数学

例3 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，
PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小
值为 ．

例4如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A
在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动
过程中，点P到原点的最大距离是________；
若将△ABP的PA边长改为
22
，另两边长度不变，则点P到原点
的最大距离变为________．


例5如图，边长为
a的等边△ABC的顶点A在
x
轴正方向上移动，顶点B
在45°角的终边上移动，则顶点C与原点O的最大距离为 。



例6如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F
分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．

例7如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90º，AC＝5，BC＝4，过点A作直线
l< br>平行
于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线
l
上的点P处， 折痕为MN，当
点P在直线
l
上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点 M、N分别在AB、
AC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为 ．



例8 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C
顺时针旋转， 旋转角为

(0°＜

＜180°)，得到△A
1
B
1
C．设
AC的中点为E，A
1
B
1
的中点 为P，AC＝a，连接EP．当

＝ °
时，EP的长度最大，最大值为 ．
2
数学

例9 以数轴上的原点O为圆心， 3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，
另一个扇形是以点P 为圆心， 5为半径，圆心角∠CPD=60° ，
点P 在数轴上表示实数a，如图，如果两个扇形的圆弧部分( 弧AB
和弧CD )相交,那么实数 a的取值范围是 ．

AN
例10如图，⊙ O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是

P是直径MN上的一个动点，则PA+ PB的最小值为__________.

的中点，
M



例11如图，已知
ABC
为等腰直角三角形，且
BAC90

，
AB2
，
以C为圆心，半径为1作圆，P为
C
上一动点，连AP，并绕点
A顺时 针旋转
90

到
AP'
，连
CP'
。则
C P'
的取值范围是 ．



O
AB
P
N
A
P
C
P'
B
例12如图，△ ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，
以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为
．







例13如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线
l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值是 ．



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数学

【专题归纳】

“最值”问题大都归于两类基本模型
1．归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内
函数的最大或最小值
2．归于几何模型，这类模型又分为两种情况
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”．凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，
大都应用这一模型；
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大
都应用这一模型．

解几何最值问题时，即要说明最值可以达到，又要证明不可能比 所求的值更大（或更小），
前者需构造一个恰当的例子，后者需要详细说理。
求几何最值问题的基本方法有：
1.特殊位置与极端位置法；
2.几何定理（公理）法；
3.数形结合法．

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