均值不等式：若
a0,b0
，则
ab2
利用均值不等 式要注意一正二定三相等。
ab
，当且仅当
ab
时，等式成立
例3已知
a4b1
，求
22
2ab
|a|2|b|
的 最大值
思路分析：本题是关于二元二次条件的最值问题，不易消元，可以直接采用均值不等式求解 < br>解：当
ab0
是，
2ab
|a|2|b|
显然取不到最大 值，故只需讨论
ab0
的情况
a4b1,ab0
，
a4b4ab

0ab
1
4

22
22
从而
2ab
|a|2|b|

2
1
|b|

2
|a |

2
2
2
|ab|

2
4
< br>当
a
2
2
,b
2
4
或
a< br>2
2
,b
2
4
时，等号成立
4. 辅助角型三角函数最值
yasin

xbcos

x
可以转化为求
yAsin(

x

)
的最值，再利用三 角函数的有界性可求。
a
ab
22
asin

xbc os

x
22
absin(

x

)
（其中

由
cos


和
sin


b
ab
22
确定）
例5（05年全国卷一）当< br>0x

2
时，函数
f(x)
1cos2x8sin x
sin2x
2
的最小值为（ ）
A.2 B.
23
C.4 D.
43

思路分析：先对函数通过降幂化同角来化简


解：令
yf(x )
1cos2x8sinx
sin2x
2

53cos2x
sin2x
3
y
得
ysin2x3cos2x5
， < br>整理得
sin(2x

)
5
y9
2
（ 其中
tan


），由
|sin(2x

)1
，可求得
y4

所以
f(x)
的最小值为4
5.借助数形转换求最值 数形转换的思想可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，使逻辑思维与形象 思维有
机统一起来，其解题思路直观，简捷，优美
例5.已知
5x12y60
，则
xy
的最小值
22
思路分析：此题大多数学生想到用消元，转化成求一元函数的最值问题，但计算麻烦。
本题可以通过将题目条件转化用图形语言来表示，实现数与形的转化，化抽象为形象，问题迎韧而解。
解：点
(x,y)
表示直线
5x12y60
上的点，则
求
22
xy
表示点
(x,y)
到原点距离，
22
xy
最小值即求直线上的点到原点的最小距离，即为原点到直线的距离
d
60
512
22

60
13
所以
xy
的最小值为
A
ax

B
bx< br>A
ax
22
60
13

6. 求“”型最值 我们常用到“
y
B
bx
”最值，我们只要妙添“1”，然后将“1 ”变形为
1
(ax)(bx)
ab
即可求出
这一类最值， 程序如下：
y
=
1(
A
ax
A
ax

B
bx
B
bx
（
A
ax
0
，
B
bx
0
）
)

(
A
ax


B
bx
)

]




(ax)(bx)
ab
1
ab
1
ab
[AB
(AB2
A(bx )
ax
AB)

B(ax)
bx

(A< br>ab
B)
2

例6函数
y
x5x10
x2x8
2
2
(0x4)
的最小值
1
4x
4
x2
思路分析：先将分式化为部分分式
1

解：
y
x5x10
x2x8
2
2
2

=
(x2x8)3x18
x2x8
1
4x
4
x2
2
1
(4x16)x2< br>(4x)(x2)


1
1
(4 x)(x2)
6
1
6
(
1
(4x)
4
x2
)


1
1
6
[5
1
2
x2
(4x)

4(4x)
x 2
]
1[52
x2
4x

4(4x)< br>x2
]
1
2

故得最小值，当且仅当
x2
时取得
（二） 隐性的最值问题
有些题目需要通过分析推理，转化为最值问题。常见的题型：
（1）
（2）
不等式的恒成立问题
含参数的存在性问题
1. 不等式的恒成立问题
此 类问题转化为求函数最值问题。
f(x)m
恒成立，即
f(x)
minm
；
f(x)m
恒成立，即
f(x)
max
m< br>

2

例7.已知向量
a

=(x,x+1),
b
=(1-x,t) 若函数f(x)＝
ab

在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。
思路分析：先通过求向量的数量积表示函数，再在题目中分离出参数，化为
f(x)m恒成立或
f(x)m
恒成立
问题，分别转化为
f(x)
min
m
或
f(x)
max
m
问题
解：依题意，
f(x)x(1x)(x1)txxtxt

则
f(x)3x2xt

∵
f(x)
在(－1，1 )上是增函数，则在(－1，1)上恒有
f(x)0

即
3x2xt0
在
x(1,1)
上恒成立
设
g(x)3x2xt
，即
g(x)min0

而
g(x)
在
(1,
2
'
'2
232
2
1
1
)
上是增函数，在
(,1)
上是减函数，
3
3

g(1)5tg(1)1t
,

g(x)
min
5t

所以
5t0
，则
t5

（3） 含参数的存在性问题 232
例8已知两个函数
f(x)8x16xk
（其中
k
是实数），
g(x)2x5x4x
。
若
x
0
[ 3,3]
，使得
f(x
0
)g(x
0
)
，求< br>k
的取值范围
思路分析：构造函数
h(x)f(x)g(x)
，
x
0
[3,3]
，使得
f(x
0
)g(x
0
)
，转化为问题使得
f(x
0
)g(x
0)0
，即求
h(x)
min
0

解：令
h(x)f(x)g(x)
=
若
x
0
[3,3]
，使得
f(x
0
)g(x
0
)
，即
f(x
0
)g(x
0
)

令
h(x)f(x)g(x)
=
2x3x12xk

即求
h(x)
min
0

32
h(x)6x6x12

当
h(x)0
时，解得
1x2

当
h(x)0
时，解得
x1
或
x2

所以
h(x)
在闭区间[-3，3]上的单调性为:
在[-3,-1]上为单调递减函数;在[-1,2]上单调递增函数;在[2,3]上为单调递减函数
而
h(1)7k,h(3)9k

所以
h(x)
min
7k0

所以
k7

总结
1.最值问题举不胜举，二次函数的最值问题 是其他很多最值问题的基础（如三角函数，数列，解析几何，应用性
最值）例如求
ycos2 xsinx1
的最值，可以通过换元转化为二次函数最值。
2.用导数法来求函数的最值具有快捷简便的特点，因此导数法求最值不可忽视。
3.重视挖掘目标函数的几何意义，借助数形转化求最值，直观形象。
'
'
'2

4.对于不等式的恒成立问题和含参数的存在性问题，关键在于能够通过分析推理转化为最值问题。
参考文献
【1】
【2】
蒋荣清 最值、定值问题与高考走势 中学教研 2009.3
孙瑜蔓 添“1”法妙求”
A
ax

B
bx
”型最值
中学数学月刊 2008.2
【3】 阎锐 教会学生灵活运用转化思想解题中学数学月刊 2008.2