湖北的二本大学-会计从业考试准考证

浅谈求最值问题的几种方法
摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法
上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合
的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技
巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求.
关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值
1. 常见函数的最值问题.
1.1 一次函数的最大值与最小值.
一次函数
ykxb
在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量
x
的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了.
1
(1x)
,(0≤
x
≤1),求
y
的最大值与最小值.
a
111
解:
yax(1x)
可化为：
y(a )x.
下面对一次项系数分两种情况讨论：
aaa
1
11
（1） 当
a
＞1时，
a
-＞0,于是函数
y(a)x
的函数 值是随着
x
的增加而增加的,所
a
aa
例1. 设
a0
且
a
≠1,
yax
以
当
x
=0时,
y
取最小值
1
;
a
111
0
,于是函数
y(a)x
的函数值是随着
x
的增加而减少的,
aaa
当
x
=1时,y取最大值
a
.
（2）当0＜
a
＜1时,
a
所以
当
x
=0时,
y
取最大值
1
;
a
当
x
=1时,
y
取最小值.
例2. 已知
x,y,z
是非负实数,且满足条件
xyz30,3xyz50.

求
u5x4y2z
的最大值和最小值.
分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数
x,y,z
，当然，
x,y,z
的具体 数值是不能求出的.
但是,我们固定其中一个，不防固定
x
，那么
y,z都可以用
x
来表示，于是
u
便是
x
的函数了（需注意
x
的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出
u
的最大值与最小值 .
1 6

1.2二次函数的最大值与最小值
一般地，求二次函 数
yaxbxc

a0

的最大值与最小值，都是根据二次 函数的性质和图
2
4acb
2
bb
象来求解，即有：若
a
>0，则当
x
= —时，
y
有最小值为；若
a
<0，则当
x
= —时，
4a
2a2a
4acb
2
. 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法.
y
有最大值
4a
22
例3. 已知
x
1
,
x
2
是方程
x(k2)x(k3k5)0
(
k
是实数）的两个实数根，求
22
x
1
x
2
的最 大值与最小值.
2
分析：一般地,二次函数
f
1
(y)xf2
(y)xf
3
(y)0
,若方程有实根,其判别式
[ f
2
(y)]
2
4f
1
(y)f
3
(y )
≥0.如果关于
y
的不等式

≥0,可以解出
y
的取值范围，便可求出函数
yf(x)
的最值，这就是求函数最值的判别式法.
解：由于二次方程有实根，所以

=
[(k2)]
2
4(k
2
3k5)
≥0
解得
4
≤
k
≤

22
4

3
2
则
f(k)x
1
x
2(x
1
x
2
)2x
1
x
2

(k2)
2
2(k
2
3k5)

(k5)
2
19

由于
f(k)
在
[4,]
上是减函数,可见当
k4
时，
f(k)
=
x
1
x
2
有最大值18，当
k
时，
f(k)
=
x
1
x
2
有最小值
22
4< br>3
22
4
3
50
.
9
1.3三角函数的最大值与最小值
三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽， 而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思
想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点.
例 4. 已知函数
ysin2x2(sinxcosx)a
,设
tsinxcosx
，当
t
为何值时，y取得
最小值.
2
2 6

解：


ts inxcosx
2
2sin(x

4
)
,
2t2




t12sinxcosx1sin2x

2xt1
即有
sin



yt12ta(t1)a1
,
2t


当
t1
时，
y
取得最小值
a1
.
说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三
角 函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等
等，这 里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法：
（1）
yasinxb(或acosxb)
型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论.
（2）
yasinxbcosx
型，先引进辅助角化成
y
2
2222
2
2

2
a
2
b
2
sin(x

)
，再利用有界性.
（3）
yasinxbsinxc
型，配方后求二次函数的最值，须注意sinx1
的约束.
（4）
y
asinxb
型， 反解出
sinx
，化归为
sinx1
解决.
csinxd
asinxb
acosxb
(5)
y
(或y)
型，化归为
sin

x


g< br>
y

利用三角函数的有界
ccosxd
csinxd
性求解，或用数形结合法 .
(6)
ya(sinxcosx)bsinxcosxc
型，常用到换元 法，令
tsinxcosx
，
t
1.4 分式函数的最大值与最小值
2
.
a
1
x
2
b
1
xc< br>1
求分式函数
y
的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后，化为关于
2
a
2
xb
2
xc
2
x
的二 次方程，然后用判别式

≥0，得出
y
的取值范围，进而求出
y的最大值和最小值.
x
2
2x3
例5. 求函数
y
的最值.
2x
2
2x1
解：去分母，整理得
(2y1)x2(y1)x(y3)0

当
y
2
1
时，这是一个二次方程，因
x
是实数，所以判别式
< br>≥0.
2
2
即

=
[2(y1)]4(2y1)(y3)0

3 6

解得
4y1

当
y4时，x;
当
y1时，x2.

由此即知, 当
x
1
3
1
时，
y
取最小值-4；
3
当
x2
时，
y
取最大值1.
说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法，但在 用判别法时，应特别注意这个最
值能否取到，即是否有与最值相应的
x
值.
2. 一类无理函数的最值问题
无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样，解 法繁杂，学生在解题时常感困惑，
下面就研究一类形如
y
例6. 求函数
y
axbcxd

(a,b,c,dR,ac0)
的无理函数最值的解法.
x4183x( 4x6)
的最值，以及
y
取最值时
x
的值.
解法1. 利用判别式
显然
y0
， 两边平方得
y
2
(142x)2(x4)(183x)

移项，平方整理得
16x(4y176)xy28y4840

由
2242
(4y
2
176)
2
64(y
4
28y
2
484)0

2
得
0y8

又


y
2
(142x)2(x4)(183x)0
及
y0

得
y142x



当
x
=6时，
y
min

2

2y22

2
；当
x
=
9
时，
y
max
22
.
2
解法2. 巧用三角变换.
2
2
设
x4ysin

,
183xycos


则
x4ysin

，
183xycos

.
消去
x
得
6y< br>2
2424
33
3sin
4

cos
4

4(cos
2

)
2

.
44
4 6

当
cos


2
39
时， 即
x
时，
y
max
22
；
42
2
.
2
当
cos

0
时， 即
x
=6 时，
y
min

解法3. 善用导数.
导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段，
要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得
到简洁 ，完美的解决.
对原函数求导可得
y
'
'
1< br>2x4

3
2183x

令
y0
得
x
9

2
又
x[4,6]
计算端点和导数为零的函数值得

y|
x4
6
，
y|
x6
2
，
y|
x
9
2
22
.
由此可得 当
x
=
9
时，
y
max
22
， 当
x
=6时，
y
min
2
.
2
3. 其它函数的最值问题
处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造 例子来说明
能取到这个最大值或者最小值。
例7. 设
x
是正实数，求函数
yxx
2
2
1
的最小值.
x
1
2)1

x
解：先估计
y
的最小值
y(x2x1)(x

(x1)(x
2
1
x
)
2
11

又当
x1
时，
y1
. 所以
y
的最小值为
1
.
说明：在求最小（大）值，一定要举例说明 这个值是能取到的，才能说这就是最小（大）值，
否则就不一定对了，例如，本题我们也可以这样估计：

y(x2x1)(x

(x1)(x
2
2
1
2)3

x
1
2
)33

x
但无论
x
取什么值时，
y
取不到
3
，即
3
不能作为
y
的最小值.
5 6

6 6