谈最值问题与实际生活
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谈最值问题与实际生活
作者:蔡雅
来源:《试题与研究·教学论坛》2017年第04期
摘 要:数学是一门应用性非常强的学科,数学知识在生活中的应用非常广泛,数学知
识
可以解决生活中的很多实际问题。比如我们常常遇到的最值问题、最优方案问题等,这些都是
最值问题的实际应用。本文将实际生活与最值问题联系起来,在探讨最值问题的同时,进一步
明确数学在
生活中的巨大作用。
关键词:初中数学;最值问题;生活数学
最值的使用在生活中有很多,比如求两个点之间的最短距离或者两线段和的最小,还有我
们平常生活中的
利润最大、成本最小等最优方案的问题。这些问题都可以转化成数学问题,然
后用数学的方法去解决。下
面我们先来看看有关于线段的最值问题:
一、有关线段和的最值问题
有关距离的最值问题有一个简单的问题原型。比如说要在公路上建一个公交车站,在公路
旁有两个村子A
与B,问车站建在公路上的哪个位置才能使A、B两村去车站的路程最短?这
种“确定最短路线”的问题
就是最经典的求最值问题。在这里,这个问题有两种情形,第一是两
个村子在公路的不同侧,这就转化成
了点与点之间的最短距离,也就是两点间的连线。第二是
两个村子在公路的同一侧(如图1),那么这就
是一个利用轴对称解决极值的经典问题,而解
决这个问题的基本方法就是对称共线法。利用轴对称变换,
将线路中各线段映射到同一直线上
(线路长度不变),确定动点位置(如图2),计算线路最短长度。此
时,这个问题的模型又
变成第一种情况,两个村子在公路的不同侧了。
由上
面这个简单的例子我们可以归纳出求线段和最小的一般方法:通过轴对称,将动点所
在直线同侧的两个定
点中的其中一个,映射到直线的另一侧,当动点在这个定点的对称点及另
一定点的线段上时,由“两点之
间线段最短”可知线段和的最小值,最小值为定点线段的长(如
图3)。下面我们来看一道这种类型的变
式题:
恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路X垂直,如图4建立直角坐标系。著
名的恩施
大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于两高速公路同侧,AB=50km,A到直
线X
的距离为10km,B到直线X和Y的距离分别为40km和30km。请你在X旁和Y旁各修建一
服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小,并求出这个最小值。
分析:这道题目所涉及的四边形的周长的最小值,包括四条线段的和,看起来会比较麻
烦,不知道该怎么
下手,其实求四边形的周长的最小值,可以把周长分成四部分,先分析其中
的两段或三段,把问题拆解成
类似原型题目这样的简单问题,再做进一步的分析。比如,可以