条件最值问题的几种基本解法
祛痘偏方-教育教学工作计划
条件最值问题的几种基本解法
条件最值是最值问题中的一种常见题型，这类问题可以较好考<
br>查学生的数学应用能力。分析和解决条件最值问题的思路和方法多
种多样，笔者认为方法不宜分太
细，学生只要掌握其中最基本的几
种就行了，在应用中可以以不变应万变。笔者在实践中归纳出了这类问题的几种基本解法：
一、构造函数法
利用所给条件，将所求式转化成关于某个自变
量的函数形式，
再利用求函数在给定区间上最值的方法来解题，这种方法就是笔者
所说的函数构
造法。函数构造法又分为直接构造法和间接构造法两
种。
(一)直接构造法又称代入消元法，
直接将条件式简单变形后代
入所求式，使之转化成关于某个自变量的函数形式再来求解，这种
方
法主要适用于条件式的次数不高于所求式的次数的题型。
例1:若，求的最小值。
解：由得，所以
，从而的最小值为-45。
变式：若，求的最小值。
（注意字母的取值范围，如变式中
,所以。）
(二)间接构造法又称参数法，在不
容易直接代入的情况下根据
条件式的特征及常见曲线参数方程的形式引入一个新的参数，将所
求式转化成关于新参数的函数，再利用函数的性质求解问题的方
法。
例2:若求的最大值。
解：由可令
所以=，则的最大值是
变式1若求的最大值。（）
变式2若求的最小值
（令，则=
=，其中，所以的最小值为）
参数法主要适用于条件式为两个平方式之和为1（或其它正数） ，
求一次或二次代数式最值的问题，（条件为两式之和等于一个正数
的情况也可以使用），通常 会涉及到三角函数的化简及最值的求解
问题。
练习1：若试分别用两种方法求的最大值。（4）
二、方程与不等式法
题目中出现 两个齐次式，特别是两个字母的和或者积式且其中
一个为等式，求另一个式子的最值时，常通过根与系数 的关系将问
题转化成方程根的分布问题，或者利用放缩法将问题变成解不等式
或应用均值不等式 的问题，利用均值不等式时必须注意“一正，二
定，三相等”的条件限制，特别是要验证等号能否成立。
例3:已知正数满足，求的最小值。
分析：条件和结论都是齐次式，可考虑用均值不等式。
解：因为正数满足，所以
（当且仅当正数同时满足和，即时等号成立。）
别解一，考虑到条件中，也可用参数法
令
别解二：正数满足
，所以
（……）
（得出关于y的函数后也可用求导判断单调性的方法来求解。）
三、数形结合法
华罗庚先生说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞。数缺
形时
少直观，形少数时难入微。”数形结合本就是一种重要的数学
思想，条件最值问题有时可以借助几何图形
来处理。数形结合法求
条件最值的前提条件是对常见代数式或方程对应的几何图形比较
熟悉，非
常了解基本几何图形的定义与性质。
例4:圆有动点，求的最小值。
解：方法一:参数法（类似例2）
方法二:令，可变形为，
由条件可知这组斜率为
1的直线与圆有公共点，其中是这组直
线纵截距的相反数，问题变为求截距的最大值。
显然，
直线与圆相切且截距为正时所求式子的值最小，利用点
到直线的距离公式列方程计算可得结果。
例5:（2002 北京）已知p是直线上的动点，pa、pb是圆的两
条切线，a、b是切点，c是圆心，那么四边形pacb面积的最小值
为________.
分析：如图，ac⊥pa，bc⊥pb，
=2
到此，问题转化成求c点与直线上的
动点p的连线段长的最小
值，易知，pc与所给定直线垂直时可得最小值，利用点到直线的距
离
公式计算即可。（也可设出点p的坐标，用直接构造函数法求解。）
使用数形结合法求条件最值时一定
要注意准确判断条件所对应
的几何图形，并能通过直接定义或者转化法清楚所求式的几何意
义。
练习2:如图，已知定点a(1,1),p是焦点为f的抛物线上的一个
动点，求的最小值。
根据抛物线的定义，将|pf|转化为点p到准线的距离|pm|，这
时，只要m,p,a三点
共线即可求得的最小值，只需过点a作准线的
垂线。
，
拓展1：一个左焦点为f的
椭圆上有动点p，又有点a(1,1)，求
的最小值。（利用椭圆的第二定义先将所求式转化为椭圆上的
动点
到左准线与椭圆内的顶点a的距离之和，再利用点到直线之间垂线
段最短可求得结果为5。
）
拓展2：椭圆上有动点p，椭圆的左，右焦点分别为,又有点
a(1,1)，分别求的最小
值与最大值。（利用椭圆的第一定义先将所
求式进行转化，
，从而得出所求式的最值。）
从不同的角度思考条件最值问题，就
会有不同的处理方法，但
万变不离其宗，函数、方程与不等式及数形结合思想是最基本也是
很重
要的思维方向，到底使用何种方法解题更简洁，这在很大程度
上受所给条件与所求式子形式上的限制，还
有解题者对基本知识的
理解与掌握程度。所以，熟练基础，认真分析题目的情景，选用合
适的方
法才是解题的关键。
参考文献
[1]
2009广州市教研室编《高中毕业班数学备考指南》.