初中数学最值问题典型例题.docx
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考查知识点 ：
1、“两点之间线段最短”
，“垂线段最短” ，“点关于线对称” ，“线段的平移”
。
（ 2、代数计算最值问题
3 、二次函数中最值问题）
配方求多项式取值
问题原型： 饮马问题 造桥选址问题
（完全平方公式
二次函数顶点）
出题背景变式
：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路
：找点关于线的对称点实现“折”转“直”
几何基本模型 ：
B
条件：如下左图，
A
、
B
是直线
l
同旁的两个定点．
A
l
P
问题：在直线
l
上确定一点
P
，使
PA
PB
的值最小．
A
方法：作点
A
关于直线
l
的对称点
A
，连结
A B
交
l
于
点
P
，则
PA PB A B
的值最小
例 1、如图，四边形 ABCD是正方形，△ ABE是等边三角形，
M为对角线 BD（不含 B 点）上任
意一点，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°得到
BN，连接 EN、 AM、 CM．
（ 1）求证：△ AMB≌△ ENB；
（ 2）①当
M点在何处时， AM+CM的值最小；
②当 M点在何处时，
AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当
AM+BM+CM的最小值为
时，求正方形的边长。
例 2、如图
13，抛物线 y=ax
2
＋ bx＋c(a ≠0) 的顶点为（ 1,4 ），交 x
轴于 A、 B，交 y 轴于 D，
其中 B 点的坐标为（ 3,0 ）
（ 1）求抛物线的解析式
（ 2）如图 14，过点 A
的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若
直线
PQ为抛物线的对称轴，点 G为 PQ上一动点，则
x
轴上是否存在一点
H，使 D、G、F、H
G、H
的坐标；若不存在，请说明理
四点围成的四边形周长最小
. 若存在，求出这个最小值及
由.
（3）如图 15，抛物线上是否存在一点
T，过点 T
作 x 的垂线，垂足为
M，过点 M作直线 MN
T
的坐标；若不存在，
∥BD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使△ DNM∽△
BMD，若存在，求出点
说明理由 .
例 3、如图 1，四边形
AEFG与 ABCD都是正方形，它们的边长分别为
a,b 表示）
a,b(b ≥2a), 且点
F 在
AD上（以下问题的结果可用
（ 1）求 S
△DBF
;
(2)
把正方形 AEFG绕点 A 逆时针方向旋转
45
0
得图 2, 求图 2 中的 S
△DBF
;
(3) 把正方形 AEFG绕点 A 旋转任意角度 ,
在旋转过程中 ,S
△DBF
是否存在最大值 , 最小值 ?如
果存在
, 试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线
y=
x+1
与抛物线
y=ax
2
+bx
1
2
点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3。点 P 是直线
AB下方的抛物线上一动点
过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB与点 C，作 PD⊥AB 于点
D
3
交于 A， B 两点，
（不与 A，B
重合），
（ 1）求 a， b 及
sin
ACP
的值
（ 2）设点 P 的横坐标为
m
①用含
m
的代数式表示线段
PD的长，并求出线段
PD长的最大值；
②连接
PB，线段 PC 把△ PDB 分成两个三角形，是否存在适合的
m
值，使这两个
.
三角形的面积之比为
9：
10？若存在，直接写出
m
值；若不存在，说明理由
例
5、如图， ⊙C的内接△ AOB中，AB=AO=4，tan ∠AOB=,
抛物线经过
点
A(4,0) 与点（ -2,6
）.
（
1）求抛物线的函数解析式；
（ 2）直线 m与⊙ C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点
P 在线段 OB上，从点 O出发向点 B 运
动；同时动点 Q在线段 DA上，从点
D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单
位长，点 Q的速度为每秒 2
个单位长，当 PQ⊥AD 时，求运动时间 t 的值；
（ 3）点
R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当△ ROB 面积最大时，求点
R 的坐标
.
例 1、
证明：（
1）∵△
ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠
ABE=60°．
∵∠ MBN=60°，
∴∠ MBN-∠ABN=∠ ABE-∠ ABN．即∠ MBA=∠NBE．
又∵ MB=NB，
∴△ AMB≌△ ENB（
SAS）．（ 5 分）
解：
（ 2）①当
M点落在 BD的中点时， A、 M、 C三点共线， AM+CM的值最小．（ 7
分）
②如图，连接 CE，当 M点位于 BD与 CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（ 9 分）
理由如下：连接
MN，由（ 1）知，△ AMB≌△ ENB，
∴ AM=EN，
∵∠ MBN=60°，
MB=NB，
∴△ BMN是等边三角形．
∴ BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10 分）
根据“两点之间线段最短”，得
EN+MN+CM=EC最短
∴当 M点位于 BD与
CE的交点处时， AM+BM+CM的值最小，即等于 EC的长．（ 11 分）
例 2、
解：（ 1） 所求抛物 的解析式 ：
入，得：
a(3
（
2）如
y a( x 1)
2
4
，依
意，将点
y
称，
B（ 3， 0）代
1)
2
4 0
解得：a＝－ 1∴所求抛物
的解析式 ：
I ，使得点 F 与点 I 关于 x
(x
1)
2
4
6，在 y 的 半 上取一点
在 x 上取一点 H， 接 HF、 HI 、 HG、
GD、 GE， HF＝ HI ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
A、 E
两点的一次函数解析式 ： y＝ kx＋ b（ k≠ 0），
∵点 E 在抛物
上且点 E
的横坐 2，将
x＝ 2 代入抛物
y
(x 1)
2
4
，得
y
(2
1)
2
4
3
∴点
E 坐
（
2
， 3）
又∵抛物
y
( x
1)
2
4
像分
与
x 、 y
交于点
A、
B、
D
∴当
y＝ 0 ，
( x
1)
2
4
0
，∴
x＝－
1
或
x＝ 3
当
x＝0 ， y＝－ 1＋ 4＝3,
∴点 A（－ 1， 0），点
B（3， 0），点 D（ 0，3）
又∵抛物 的 称 ：直
x＝ 1，
∴点 D与点 E 关于 PQ 称，
GD＝GE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
分 将点 A（－ 1， 0）、点
E（2， 3）代入 y＝ kx＋ b，得：
k
b
0
解得：
k
1
2k
b
3
b
1
A、E 两点的一次函数解析式 ：
y＝ x＋ 1
∴当 x＝ 0 ， y＝ 1
∴点 F 坐 （ 0， 1）
∴
DF
=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③
又∵点 F 与点
I 关于 x 称，
∴点 I 坐 （ 0，－ 1）
∴
EIDE
2
DI
2
2
2
4
2
2 5
⋯⋯⋯④
又∵要使四 形
DFHG的周 最小，由于 DF是一个定 ，
∴只要使 DG＋ GH＋ HI
最小即可
由 形的 称性和①、②、③，可知，
DG
＋ GH＋ HF＝ EG＋ GH＋ HI
只有当 EI 一条直
，
EG＋ GH＋ HI 最小
E（ 2， 3）、 I （ 0，－
1）两点的函数解析式 ：
y k
1
x
分 将点 E（
2，3）、点 I （ 0，－ 1）代入
y
k
1
x
b
1
，得：
2k
1
b
1
3
b
1
1
解得：
k
1
2
b
1
1
A、E 两点的一次函数解析式 ： y＝
2x－1
∴当 x＝ 1 ， y＝ 1；当 y＝ 0 ， x＝
1
；
∴点 G坐 （ 1， 1），点 H 坐 （
1
2
，
0）
2
∴四 形 DFHG的周 最小 ：
DF＋ DG＋ GH＋ HF＝ DF＋
EI
由③和④，可知：
DF
＋ EI ＝
2
2 5
∴四 形 DFHG的周 最小
2 2 5
。
3）如 7，由 意可知，∠
NMD＝∠ MDB，
要使，△ DNM∽△ BMD，只要使
NM
MD
即可，
MD
BD
即：
MD
2
NM BD
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤
点 M的坐 （ a， 0），由 MN∥
BD，可得
△ AMN∽△ ABD，
∴
NM
AM
BD
AB
b
1
(k
1
0)
，
（
再由（ 1）、（ 2）可知， AM＝
1＋ a， BD＝
3
2
，
AB＝
4
∴
MN
AM BD
(1
a)
3
2
3
2
AB
4
4
(1
a)
∵
MD
2
OD
2
OM
2
a
2
9
，
∴⑤式可写成：
a
2
9
2
3
(1
a)
3
2
4
解得：
a
3
（不合题意，舍去）
或
a
3
2
3
∴点 M的坐标为（
，0）
2
又∵点 T 在抛物线
y
( x
1)
2
4
图像上，
∴当 x＝
3
时， y＝
15
2
2
∴点 T
的坐标为（
3
，
15
）
.
2
2
例 3、
2
2
2
解：（ 1）∵点 F 在
AD上，∴ AF =a ＋
a
，即 AF=
2a
。
∴
DF b
2a
。
∴
S
DBF
1
DF AB
1
（ b
2a）
b
1
b
2
3
ab
。
2
2
2
2
（ 2）连接 DF， AF，由题意易知 AF∥BD，
∴四边形 AFDB是梯形。
∴△ DBF 与△ ABD等高同底，即
BD为两三角形的底。
由 AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴
S
DBF
S
ABD
1
b
2
。
2
（
3）正方形 AEFG在绕 A 点旋转的过程中， F 点的轨迹是以点 A 为圆心，
一种情况：当
b＞2a 时，存在最大值及最小值，
∵△ BFD 的边 BD=
2b
，
∴当 F 点到 BD的距离取得最大、最小值时，
S
△BFD
取得最大、最小值。
为半径的圆。第
AF
如图，当
DF⊥BD 时， S
1
2
b
2
2ab
的最大值 =2b
(b2a)
△BFD
2
2
2
S
的最小值
=
1
2
2ab
2b
(
b2a)
b
2
。
△BFD
2
2
2
第二种情况：当
b=2a
时，存在最大值，不存在最小值，
S
2
2ab
的最大值 =
b
。
△BFD
2
例 4、解：（ 1）由
1
x+1=0
，得到 x= － 2，∴ A（－ 2， 0）。
1
2
由
x+1=3
，得到
x=4，∴
B（
4，3）。
2
∵
y=ax
2
+bx
3
经过
A、
B
两点，
1
∴
4a
2b
3=0
a=
，解得
2
16a+4b
。
3=3
1
b=
2
设直线 AB与 y 轴交于点
E，则 E（ 0，1）。
∴根据勾股定理，得
AE=
5
。
∵PC∥y 轴，∴∠ ACP=∠AEO。
∴
sin
ACP=sin
2
2
5
AEO=
OA
。
AE
5
5
（2）①由（ 1）可知抛物线的解析式为
1
y=
x
2
1
x
3
。
2
2
由点 P
的横坐标为
m
，得 P
m，
1
m
2
1
m 3
，
C
m，
1
m+1
。
2
2
2
1
m
∴PC=
m+1
1
1
m
2
3
1
m
2
+m+4
。
2
2
2
2
在 Rt△PCD中，
PD
PC sin
ACP=
1
m
2
+m+4
2 5
=
5
m
2
5
5
，
1
2
+
9 5
，
5
∵
5
<
0
，∴当
m=1时，
PD有最大值
9
5
。
5
5
②存在满足条件的
m
值，
m=
5
或
32
。
2
9
例 5、解：（ 1）将点 A（4， 0）和点（ -2 ，
6）的坐标代入中，得方程组，
解之，得 . ∴抛物线的解析式为 .
（ 2）连接 AC交 OB于 E.
∵直线 m切⊙C于
A
∴AC⊥m，∵ 弦
AB=AO， ∴
. ∴AC⊥OB，∴ m∥OB .
.
∴∠ OAD=∠AOB，∵
OA=4 tan∠AOB=，∴ OD=OA·tan ∠OAD=4×=3
作 OF⊥AD 于 F. 则 OF=OA·sin ∠OAD=4×= .
t 秒时， OP=t,DQ=2t ，若
PQ⊥AD，则 FQ=OP= =DQ－ FQ= t.
⊿ODF中， t=DF==秒
.
（ 3）令 R(x, x
2
－2x) (0 ＜ x＜ 4).
作 RG⊥y轴于 G 作 RH⊥OB于 H交 y 轴于 I. 则 RG=
x， OG= x
2
+2x.
Rt⊿RIG 中，∵∠ GIR=∠AOB ，∴
tan ∠GIR= . ∴IG=x IR= x,
Rt⊿OIH
中， OI=IG － OG=x－（ x
2
+2x） =x
2
－
=（x
2
－ x） .
于是 RH=IR－ IH= x －（ x －
x ） =－ x +x=－ x +x=－ ( x － ) +
2
2
2
2
当 x=时， RH最大
.S
⊿ROB
最大 . 这时 x
2
－2x=×()
2
－2×=－
.
∴点
R(,
－
)