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第06单元 最值问题

“最大最小、最多最 少、最长最短问题”，我们称之为“最值问题”.让我们翻开记忆，按照
“最值问题”在课本中出现的顺 序搜索一下：
1、两点之间线段最短；
2、垂线段最短；
3、不等式的最大（小）值；
4、二次整式最值；
5、线段和最小差最大；
6、勾股对称最短路径；
7、一次函数最优方案；
8、圆中最长弦是直径；
9、圆的最近（远）距离；
10、二次函数的最值；
11、平方和最小问题.
以上所列，有的是同一问题，有的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”），有的很少出现，为了简捷实用，我进行了整理，就以下几个问题展开：

一、两点之间，线段最短

说明：“两点之间，线段最短”应用非常广泛，它常与三 角形、轴对称、图形表面展开图等相结
合，题目类型很多.

（一）线段和最小

说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题.
通法：求“直线上一点 到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对称点，
连结这个对称点与另一点的线 段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离.
例6-1-1 几何模型
（1）如图6-1-1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.

图6-1-1① 图6-1-1②

你作图的根据是： .


（2）如 图6-1-1②，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.
你作图的根据是： .





模型应用：
（3）如图 6-1-1③，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 .




（4）如图6-1 -1④，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点E是线段CD的中点，K为线段BD上的
任意 一点，则CK+EK的最小值为 .
2
-4x+y=axc
与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（0，-5）⑤，抛物线（5）如图6-1-1.点P在它

的对称轴上，使△ABP周长最小的点P坐标为 .

图6-1-1③ 图6-1-1④ 图6-1-1⑤

14、（2013?钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一 点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，
则PB+PE的最小值是 10 ．





考点： 轴对称- 最短路线问题；正方形的性质．3718684
分析： 由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交

AC
于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
解答： 解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10．
．10故答案为：

6-1-1
体验与感悟
上找一是高，在ADAB的中点，AD，点6-1-2①，在等边△ABC中，AB =6E是1、
（1）如图 .
PB+PE的最小，最小值为点P， 使
的最小值是上一动点，则PA+PC
如图6-1-2③，点D、E分别是△ABC的
.

OB是A=60°，PO在圆上，OA⊥OB，∠2）如
，（3）

，4BC 边上的高为BC=6AC、AB边的中点，
图6-1-2②，圆O的半径为2，点A、B、C （ .
周长的最小值边上，则△PDEP在BC






6-1-2③图图6-1-2② 图6-1-2①
、、CDK分别为线段BCPAB=2，∠A=120°， 点、Q、6-1-32、（1）如图①，菱形ABCD中， .
PK+QK的最小值为BD上的任意一点，则

上的动OBOA、分别是PO=10， Q、R是∠
（2）如图图6-1-3②，∠AOB=45°，PAOB内一点， .
周长的最小值是点，则△PQR

AB=42
，∠BAC=45°，AD中，平分∠BAC，M、N分别）

如图图（36-1-3③，锐角△ABC是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .

图6-1-3① 图6-1-3② 图6-1-3③

以下为补充习题：

∠MON=90°
B上， 当ON、OM分别在边B、A的顶点ABCD，矩形④，6-1-3、如图3．
，AB=2OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中在边ON上运动时，A随之在边.
BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为




6-1-3 图④

x、B分别在平面直角坐标系的⑤，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A4、如图6-1-3 .
，则OC长的最大值是y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC轴、






6-1-3⑥图6-1-3⑤ 图
轴y分别在、Bx轴、ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点A5、如 图6-1-3⑥，在△到原
点Cy轴上运动.在运动过程中，点上，当点A在x轴的正半轴上运动时，点 B随之在.
的最大距离为 O

轴上运D随之在y2，当点A在x轴上运动时，点6、

如图6-1-3⑦，正方形ABCD的边长为 .
O的最大距离与最小距离的积为动.在运动过程中，点B到原点



⑦ 图6-1-3


CFADAEDFABCDEF
．连接上两个动点，满足＝是正方形的边(201319、年武汉)如图，，
HBEAGBDG
，
于点2交．于，连接交若正方形的边长为
DH
长度的最小值是 则线段．FEAD

15 答案：HGCB
题图16第

解析：









（二）线段差最大

说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.
通法：求“直线上一点到这 条直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对称点，
连接这个对称点与另一点的线段所 在直线与这条直线的交点即为所求.
例6-1-2 几何模型


AP-BP
的值上找一点的同侧，在直线位于直线、，点①）如图（16-1-4 ABmmP，使最大.