南平招考网-煤矿安全生产标语

第23讲 最值问题一
内容概述
求最大值与最小值的问题，解题 时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要
局部调整或者枚举各种可能情形。和为定值的两数的乘积随着 两数之差的增大而
减少。
典型例题
兴趣篇
1． 3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？

答案：3
解析：3个连续奇数相乘，乘积的个位数字只有5种可能：
①这3个奇数的个位数字分别为1、3、5时，乘积的个位数字为5．
②这一3个奇数的个位数字分别为3、5、7时，乘积的个位数字为5．
③这3个奇数的个位数字分别为5、7、9时，乘积的个位数字为5．
④这3个奇数的个位数字分别为7、9、l时，乘积的个位数字为3．
⑤这3个奇数的个位数字分别为9、1、3时，乘积的个位数字为7．
因此，乘积的个位数字最小等于3．

2．用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数 ，这些三位数中相差最
小的两个数之差是多少？

答案：9
解析：将这6个数按从大到小的顺序写出：
421、412、241、214、11 2、1 2
计算所有相邻两数的差：
421-412=9,412-241=l7l, 241-214=27.214-142=72. 142-124=18.
其中差最小的两个数是421与412，它们相差9．

3．阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是10．请
问两人牌的点数 的乘积最大可能是多少？

答案：25
解析：两人牌的点数之和为10，那么两人 牌的点数只能是1和9，2和8，3
和7，4和6，5和5．它们乘积分别为9，1 6，21，24，25．所以两人牌的点教
的乘积最大可能是25．

4． 3个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？

答案：252
解析：3个 数的乘积最大时．应该是它们每2个数的差都最小的时候．所以
3个数的乘积最大寸，每2个数的差都等 于O或1．
它们的和等于19，19÷3=6……l，则这3个数是6、6、7时其乘积最大．
所以乘积最大等于6×6×7=252．

5． (1)请将1～4这4个数分别填人算式“口口×口口”的口中，要使得算
式结果最大，应该怎么填？
(2)请将1～6这6个数分别填入算式“口口口×口口口”的[中，要求
5、6分别 填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果
最大．应该怎么填？

答案：(1) 41×32 (2) 631×542
解析：(1)要使乘积最大，首位应 当尽可能大，4、3填在十位上，这样1、2
就填在个位上，此时这两个数的和固定，要使乘积最大，只 要差最小即可．
因此，乘积最大时应该是41×32．
(2)因百位的两 个数固定了，那么百位之和就固定了．同样个位、十位的和
也固定了，所以这两个三位数的和一定，此时 要使它们的乘积最大，只需使它们
的差最小，因此
6
的后两位数应该尽量小，
5
的后两位数应该尽量大．
那么这两个数就应该是631和042，即乘积最大时是631×542．

6．在图23- 1的中间O内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），
然后把这3个差数相加．那么所得的 和最小是多少？






答案：7
解析：方法一：在中间的○内填上0，则3个差数分别
是3、7、10，因此差数之和等于3+7+10=20．
将0换成1，则3个差数都减1，则差数之和减3，等于20-3=17.
同理，将1换成2 后，差数之和等于17-3=14．将2换成3．差数之和等于
l4-3=ll.将3换成4时．此时其 中2个仍然是减1．有一个差数却由0变成
了l，是加1，因此差数之和减1，等于11—1=10.
同理，从4到7之间变化时，中间填的数每次加1，差数之和就减1，因此
中间填7时 ，差数之和比填1到6都要小．
将7换成8时，2个差数都加1，一个差数减1，因
比差数之和加1．
同样，将8换成9，9换成10，差数之和都加l.
将10换成11， 11换成12，我们可以发现，以后中间的数每次加1，差数
之和都会增加3.
综上所述，中间填的数由1变到7时，差数之和选来越小；中间填的数由7
变大时，差 数之和越来越大．因此中问填7时，差数之和取到最小值，等于
(7-3)+(7-7)+(10-7)=7
方法二：①如果中间填的数是1～3，则每一线 段两端的两数作差，都是用
给出的数减去这个填的数，因此填的数越大，这3个差越小．所以这种情况下 填
3

差数之和最小．
②如果中间填的数是4～7，则这3 个差中，一个己用这个数减去3．一个是
用1O减去这个数，这2个差加起来就是10-3=7．还剩下 一个差是7减去这个数，
显然这个数等于7时，剩下的差数取到最小值．因此差数之和最小等于l． < br>③如果中间填的数是7～10，则这3个差中，仍然一个是用这个数减去3，
一个是用10减去这 个数，这2个差加起来还是7．还剩下一个差是7减去汶个
数，因此仍然是这个数等于7时，差数之和最 小．
④如果中间填的数大于等于10，则这3个差分别是用填的数减去3、7、10．显然这个数越小越好，因此当填10时，差数之和最小．
综上所述，中间填1～3时，填3 差数之和最小；填3～10时，填7差数之
和最小；填10或比它大的势时，填10差数之和最小．因此 当O内填7时，差数
之和取到最小值7．

7．在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差（大减小）最小的一
个是多少？

答案：1411
解析：①首位显然取1或2，又1000与1389更接近所以首位等于1．
②百位数字应该 等于3或4．如果百位是3，由于有3个数字相同，则这个
四位数只能是1311或1333，其中13 33与1389更接近，刖时它们的差等于1389
-1333=56．
如果百 位是4，则这个四位数只能是1411或1444，其中1411与1389更接
近，此时它们的差等余 1411-1389=22．
因此有3个数字相同的四位数中，与1389最拒近的四位数为1411.

8．把1～6这 6个数分别填入算式“口口口一口口口”的口中，要求前一个
三位数比后一个三位数大. (l)这个减法算式的结果最大可能是多少？(2)最小
可能是多少？

答案：(1)最大531 (2)最小47
解析：(1)要使算式的结果最大，只要 让被减数最大，德数最小就行，所以
算式的结果最大为654-123=531.
( 2)要使算式的结果最小，就要使被减数尽量小减数尽量大，但是被减数要
大于减数，因此应该使在减数 比减教的首位大1，还应该使被减数的十位和个位
组成的两位数尽量小，使减数的十位和个位组成的两位 数尽量大．
由1、2、3、4、5、6组成的两位数最小是12，最大是65，我们希望被减数
为
12
，减数为
65
，这样还剩下3、4，取4为被减数的首位，3为减数 的首位，
刚好使被减数比减数的首位大1，满足我们的要求．因此原来算式的结果最小是
412 -365=47.

9．一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一 个两
位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大
是多少？

答案：99 889
解析：如果这个自然数超过 5位，则至少有5个相邻数字组成的两位数，而
8、9最多兵能组成4个不同的两位数88、89、98 、99．由简单抽屉原理，一定
有两个相邻数字组成的两位数相同，这与题目条件矛盾，因此，这个自然 数最多
是五位数．从首位开始取，万位取9，千位取9，百位取8. -定要出现88，所以
十位取8．个位取9．因此满足条件的最大自然数是99 889.

10.如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大可能是多
少？最大的数最 小可能是多少？

答案：5 8
解析：要使最小的数最大，最大的数最小，则 3个数尽可能接近，20÷3=6……
2，又3个数互不相同，发现最接近的是5、7、8和0、6、9 ，所以最小的数最
大
是5，最大的数最小是8．

拓展篇
1．3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

答案：6 解析：如果3个连续自然数的个位数字中有一个是O，则其乘积个位等于O；
如果3个连续自然数的 个位数字中有一个是5，其中必然还有一个是4或6，这
时，它们乘积的个位也等于0．
除此之外，3个连续自然数的个位数字还有可能是1、2、3，2、3、4，6、7、
8，7、8、9这 四种情况．因为1×2×3=6,2×3×4=24,6×7×8=336,7×8×9= 504，
所以，3个连续自然数的乘积个位数字最大是6．

2． (1)在五位数 12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：
可以在2的后面插入2得到122435） ，这样得到的六位数最大可能是多少？
(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插 入一个同样的数字，这样
得到的八位数最小是多少？

答案：(1) 124435 (2) 98766789
解析：(1) 12435按要求插入数字，可以分别插在1、2、4、3、5后面，得
到5个数：112435, 122435. 124435, 124335. 124355.
比较可知，124435是其中最大的数．
(2) 9876789按要求插入数字，可以分 别插在9、8、7、6、7、8、9后面，
得到7个数：99876789, 98876789, 98776789. 98766789,98767789, 98767889,
98707899.此较可知，98766789是其中最小的数．

3．用24根 长1厘米的火柴棒围成一个矩形，(1)这个矩形的面积最大是多
少？(2)如果用22根火柴棒呢？

答案：(1) 36平方厘米(2) 30平方厘米
解析：(1) 24根火柴棒围成的矩形周长为24厘米，则长与宽的和为24÷2=12
厘米 ．将这些矩形全列举出来：








由表可得，当矩形的长与宽都是6厘米时，矩形面积最大是36平方厘米．
(2) 22根火柴棒围成的矩形周长为22厘米，则长与宽的和为22÷2=ll厘
米，同样列举：






由表可得，当矩形的长等于6厘米、宽等于5厘米时，矩形面积最大是30
平方厘米．
4．有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间
只比赛一场，同组的人之 间不比赛．他们一共最多能比赛多少场？

答案：20场
解析：根据乘法原理，两组同学之间的比赛场数等于
这两组人数的乘积．把9个人分成两组： 两组人数可能分别是1和8、2和7、3
和6、4和5四种情况．分别计算：1×8=8，2×7=14 ．3×6=18，4×5=20.
因此当两组分成4个人和5个人时，比赛场数最多，一共比赛20场．

5．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？

答案：168
解析：3个数的和一定，3个数越接近积就越大．17÷3=5……2，因此在 4、
5、6左右尝试．17=4+5+8=4+6+7，比较这两组的乘积，可发现，当这3个数为4、
6、7时，它们取得的最大乘积为4×6×7=168．

6．请将2、3、4、5 、6、8这6个数分别填人算式“口口口×口口口”的口
中，要使得算式结果最大，应该怎么填？

答案：842×653
解析：要使积最大，首位应该最大，因此两个数的首位 应该分别为8和6，

那么十位就应该为5和4，个位为3和2．则一共有4种情况：85 3×642, 852×643,
843×652, 842×653.发现每组的两个数的百位都是8和6，百位之和
相等；同理，十位之和，个位之和也相等．
因此每组的两个数之和全都相等，和相等 的两个数，差越小，积越大．这只
需要看哪组数中8后面的数最小，6后面的数最大，容易找出是842 和653.所以
使得两个3位数乘积最大的填法是842×653.

7．A请将 6～9这4个数分别填入算式“口×口十口口”的口中，要使得算
式结果最大，应该怎么填？

答案：7×8+96
解析：要使计算结果最大，两位数的十位应当尽量大，填9．前面的乘数 比
两位数的个位对结果的贡献更大，应填次大的8和7．因此两位数的个位取最小
的数字6．所 以计算结果最大的填法是7×8+96

8．在图23-2的中间○内填一个数，计算每一条 线段两端的数之差（大减小），
然后把这5个差数相加．问：所得的和最小是多少？






答案：19
解析：方法一：已经填出 的5个○内的数最大是15，如果中间o内的数大
于15，则计算每蔓谈筐诸端的两数之差时，中间O内 的数都是被减数，求出的5
个差之和肯定比中间填15时得到的和大，所以我们只需要考虑中间O内填1 到
15的情况：
①中间O内的数填1～5时，它在1个差中是被减数，4个是减数， 因此中
间的数每多1，差数之和就少4-1=3．
②中间O内的数填5～7时，它在 2个差中是被减数，3个是减数．因此中
间的数每多i，差数之和就少3-2=1．
③中间O内的数填7～10时，它在3个差中是被减数，2个是减数，因此中
间的数每多1，差数之和就 多3-2=1．
④中间O内的数填10～15时，它在4个差中是被减数，1个是减数，因此
中间的数每多1，差数之和就多4-1=3．
综上所述，当中间O内的数填7时．差数之和取到最小值，最小值等于(7
-1)+(7-5)一(7-7)+(10-7)+(15-7)=19．
方法二： 首先发现中间数应该是在l～15之间的数，那么这个数与1的差加
上它与15的差之和为14，是个确 定的值．则只需考虑这个中间的数与5、7、10
三个数的差之和最小即可．
同样 可以得到它一定在5～10之间，那么这个数与5的差加上它与10的差
之和为5，也是个确定的值，所 以足需考虑这个中间的数与7的差之和最小即
可．显然，这个数等于7的时候，这5个差之和最小是14+5=19.

9．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么：(1)其中最小的数最大可
能 是多少？(2)最大的数最小可能是多少？

答案：(1) 11 (2) 18
解析：(1)为了使最小的数能最大，其他的数应最靠近最小的数，即其他数
最好是把最小的数分别加 上1、2、3、4、5、6得到的．
先取最小的数为1，其他数取2、3、4、5、6、7， 此时总和为1+2+3+4+5+6+7=28.
离100还差72．如果把最小的数增加1，则其他每 个数至少增加1，总和就要加
7.
72÷7=10……2，如果最小的数增加10， 总和就会增加7×10=70;如果最小
的数增加11，总和就会增加7×11=77，超过72，那么 总和也会超过100．
所以取11、12、13、14、15、16、19 1这7个数满己题目要求，因此最小
的数最大是11．
(2)同理，为了使最大的数能最 小，其他的数应最靠近最大的数，即其他数最
好是把最大的数分别减去1、2、3、4、5、6得到的，
先取7作为最大的数，此时其他数为6、5.4、3、2、1，总和等于28.
把最大 的数增加10时，总和最多；增加7×10=70，即总和最多是98，因此最大
的数至少要增加11. 尝试后得，取18、17、16、10、14、13、7这7个数满足题
目要求，因此最大的数最小是1 8．

10．一个乡位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．(1)这样的多位数最小可能是多少？(2)最大可能是多少？

答案：(1)最小689 (2)最大8 43210
解析：(1) 9+8+6=23，至少要3个数字柜加才能等于 23，所以满足条件的
多位数至少是3位数．在各位数字互不相同的三位数中，个位与十位的和最大能< br>是9+8=17，从而它的百位最小为23-17=6时，3位数最小为689.
(2 )由于0+1+2+3+4+5+6+7=28>23,8个最小的数字之和大亍23，因此满足条
件的 多位数至多是7位数，各位数字互不相同的7位数中，后6位数的和最小是
0+1+2+3+4+5=1 5，从而它的百位最大为23-15=8，此时，7位数最大为8 543 210.
11．有7个盘子排成一排，依次编号为1～7.每个盘子中都放有若干玻璃球，
一共放了80个， 其中1号盘子中放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘
子中放的玻璃球数之和都相等．请问：第 6个盘子中最多可能放了多少个玻璃
球？

答案：12个
解析：已知2号盘子中放了18个玻璃球，那么2、3、4、5、6、7号盘子中
球的总个数就是80- 18=62个．把它们分成两组：2、3、4-组，5、6、7一组，
则两组的球数之和相等．因此每组 有球62÷2=31个．则每相邻3个盘子中的球
数之和等于31．1号盘子中放了18个球，那么2. 3号盘子中加起来就放了
31-18=13个球．从而4号盘子中放了31-13=18个球．

类似地，可知4、5、6号加起来的球数和5、6、7号加起来的球数一样，所
以4号和7号盘子中的球数相等，于是1号、4号、5号盘子里均放有18个球，
还余80 -18×3=26个，而2、3号盘子中的球数等于5、6号盘子中的球数，
为26÷2=13个，
如果5号盘子中最少放有1个球，那么6号盘子中最多放有13-1=12个球．

12.黑板上写着1～10这10个数字，小明每次擦去2个奇偶性相同的数，再
写上它们的平 均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多
少？

答案：9
解析：擦去1、3，换成l；擦去2、2，换成2；擦去2、4，换成3； 擦去3、
5，换成4；擦去4、6，换成5；擦去5、7，换成6；擦去6、8，换成7；擦去7、9，换成8；擦去8、10，换成9．擦1到9不可能得到10，擦去10的时候，最
多能和8一起 擦去，因此不管怎么擦，能剩下的最大数一定是小于10，所以剩
下的数最大为9．

13．如图23-3，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交
于同一顶点的3个面上 的数之和最大是多少？




答案：13
解析：观察图形可以看出，6和5是相对的两个面上的数，所以它们不可能
相交于同一顶点．
同理．得1和4是相对的两个面上的数，3和2是相对的两个面上的数．相
交于同一顶 点的3个面中不可能有相对的两个面，
所以这3个数只能从(1，4)、(3，2)、(5， 6)中各取1个数，使得和最大，
当然应该取4、3、6．因此所求的和最大为4+3+6=13.

14.如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正
方 体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使这只蚂蚁所走的路线
长度最短，它应该怎么爬行 ？它可以选择的最短路线一共有几条？






答案：最短路线：6条

解析：两点之间线段最短，沿表面从A走到B，最少要经过两个面，一共有
6种走法：
①如图1所示．从A走到DE上，再从DE上走到B．
将从A走到B经过的两个表面ACDE和DEFB剪下来铺成一个长方形，如图2
所示．





则蚂蚁所走的最短路径是线段AB.此时线段AB 与DE交于点G，那么在正方
体上，蚂蚁为了使得它所走的路径最短，应该从A走到G，再从G走到B．
②从A走到CD上，再从CD上走到B．
③从A走到EF上，再从EF上走到B．
④从A走到MF上，再从MF上走到B．
⑤从A走到CN上，再从CN上走到B．
⑥从A走到MN上，再从MN上走到B．
上面的每一种都可以像①一样找到一条最短路线，所以可以选择的最短路径
一共有6条，

超越篇
1．一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？

答案：15
解析：两位数除以它的各位数字之和，两位数的每一位都最多是9，两位数
字之和最多是18 1因此余数肯定不超过17.
①数字和是18的两位数只有99，99除以18余9，这样17不能达到；
②数字和是17的两位数只有89和98两个，其中89除以1 7的余数是4，
98除以17的余数是13，所以这个余数不能达到16；
⑧由于79÷（7十9）=79÷16=4……15，即两
位数79除以它的数字和余数是l0.
所以这个最大的余数是15.

2． 4个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都
大于99千克，这 4个小朋友体重之和最小是多少千克？

答案：134千克
解析：方法一 ：把4个小朋友中每3人体重之和都记下来，一共有4个和，
每个和都不小于100千克．把这4个和加 起来，这个总和不小于400千克．把4
个“3人体重和”加起来，相当于把每个人的体重计算了3次， 所以最后的总和
相当于4人体重之和的3倍．这样，4人体重之和的3倍不少于400千克．那么，4人体重之和必须不小于400÷3—133{，由于体重之和一定是整数，所以最小是

134．
134是可能的，让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，他 们中
的任意3人体重之和都大于99千克．所以4个小朋友体重之和最小是
33+33+34+ 34=134(千克)．
方法二：不妨设4人中体重最大的是小明，如果小明体重不超过33 千克，
那么另外3人也都不超过33千克，这样他们3人的体重就不会大于99千克了，
历以小 明至少有34千克，另外3人体重之和至少为100千克，所以4人体重之
和至少为34+lOO=13 4千克．让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，
这时，他们中的任意3人体重之和都 大于99千克，所以4个小朋友体重之和最
小是33+33十34+34=134(千克)．

3．将1～30依次写成一排：12345---282930，形成一个多位数，从这个多
位 数中划掉45个数字．(l)剩下的数最大是多少？(2)如果要求剩下的数首位不
为O，这个数最小是 多少？

答案：(1)最大998930 (2)最小100120
解析：从51位数“123…2930”中划掉45个数字，剩下一个6位数，相当
于在51位数“12 3-2930”中从左到右的选出6个数字，让它们构成6位数．
（1）为了使这个6位数最大 ，让它的前几位应该取尽量多的9，这个51位
数中一共就有3个9，如果全都取出，则后面只剩3和o ，不能得到6位数，所
以这个6位数最大能是998abc.要求6位数最大，就先得让a最大，a最大 能是
9，这时6位数是998930.
(2)为了使这个6位数最小，让它的第一位取得最小 值1，然后要求前几位
应该取尽量多的0，这个51位数中一共就有3个O，如果把3个O全都取出，则
只能是4位数1000，不能是6位数．膨i以这个6位数最小能是
1001zy
．
其中第一个1就是原来51位数的首位，中间的两个O来自10和20的O，
后面的1来自21 中的1．x、y是从222324252627282930中按顺序选出的两个
数字，它们最小能是2、0，所以这个6位数最小能是100120.

4．用1、 2、3、4、6、7、8、9这8个数字分别组成2个四位数，使这2
个数的差最小（大减小），这个差 最小是多少？

答案：139
解析：假设较大的四位数是
abc d
．较小的四位数是
efgh
.显然，它们的首位
a必须比e大，如果a比e 大2．那么其差至少为1000多，如果只大1，那么只
需让6小于f，它们的差就会小于1000，所 以a比e大1．
这时e、a的取值可能是1、2、3，3、4或6、7，7、8，8、9．
又2个数的差要尽量小：
①e、a的取值是1、2，
bcd
最小为346，
fgh
最大为987，两个四位数差为
2346-1987=359；
②e 、a的取值是2、3，
bcd
最小为146，
fgh
最大为987，两个四位 数之差

为3146-2987=159；
③e、a的取值是3、4，
bcd
最小为126，
fgh
最大为987，两个四位数之差
为4126 -3987=139;
④e、a的取值是6、7，
bcd
最小为123，
fgh
最大为984，两个四位数之
差为7123-6984=139；
⑤e、a 的取值是7、8，
bcd
最小为123，
fgh
最大为964，两个四位数之
差为8123-7964=159；
⑥e、a的取值是8、9，
bcd
最 小为123，
fgh
最大为764，两个四位数之
差为9123-8764=359．
综上所述．这两个四位数之差最小为4126-3087=139或7123-6984=139.

5．将2～8这7个自然数填人算式“口口×口口一口口÷口”的口中，如果
算式的 计算结果为整数，那么这个结果：(1)最大是多少？(2)最小是多少？

答案：(1)最大6452 (2)最小827
解析：(l)这个算式，减号前面是两个两位 数相乘，减号后面是一个除法算
式，要使算式的计算结果达到最大，被减数应该是越大越好，减数应该是 越小越
好．
①对于口口×口口，要使它最大．首位应该填8和7，十位应该填6和5，
而且根据“两数和一定，越靠近则积越大”的性质，使得口口×口口取最大值的
填法为85×76．
对于口口÷口，要使它最小，被除数要越小越好，除数要越大越好．此时剩
下数字2、3、4， 那么口口÷口能取到的最小值为24÷3=8或32÷4=8．
所以如果前面填85×76，整个算式的最大值就等于85×76 - 24÷3=6452．
②如果前面乘积的4个数字不是5、6、7、8，那么乘积最多为84×76=6384，
那么整个算 式值小亍6384，当然小于6402.
因此算式的最大值为6452.
(2)①要使它最 小，前面填数字2、3、4、5，后面填6、7、8最好，这样可
以使乘积达到最小，从而整个算式也最 小．同理，得24×35-78÷6=827.
②如果前面乘积的4个数字不是2、3、4、5，分两种情况讨论：
如果4个数字中没有2，那么乘 积最少为35×46=1610，商最大为86÷2=43，
那么整个算式值至少是1610-43=1 567，远大于827．
如果4个数字中有2，那么乘积最少为24×36=864，商最大为87 ÷3=29，
那么整个算式值至少是
864-29=835，大于827．
因此算式的最小值为827.

6．如图23-5，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3 厘米、4厘米．有
一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次．(1)甲虫最多能爬行多少厘米？(2)如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米？

答案：(1)39厘米(2)34厘米
解析：(1)要使得爬行的距离最长，可以先看看甲虫 能否爬行所有的边，这
就是一个一笔画问题．
又知一个图若能一笔画，那它除了起点与结束外 ，别的点都应该连出偶数条
线．由于长方体的8个顶点都刚好连出3条线，为了能一笔画出这条路线，至 少
要将其中的6个顶点变为与偶数条线段相连，也就是歪少需要去掉3条线．
所以为了使得甲 虫爬行距离最长，最后甲虫应该不爬其中3条最短的边．甲
虫可以按如下方式爬行：
A-B- F-E-A-D-C-G-H-D，这时它爬行的距离是5×4+3+4×4=39厘米．
(2)如果要求甲虫回到A点，它最多走8条边，要去掉4条边．
①不能去掉4个3，因为这样甲虫所走的8条边就被分成了2个不连通的长
方形．
② 考虑甲虫走的、3个方向：左右，前后，上下，如果它往左走了一步，必
须得往右走一步才能回来，所以 甲虫在3个方向走的路程一样，也就是4个3
中得去掉偶数个，不能去掉4个，最多去掉2个，这样它最 小要去掉两个长为3
的边和两个长为4的边．
它可以按如下方式爬行：A-B-F-E-H- G-C-D-A，这时它爬了5×4+4×2+3×
2=34厘米。

7．如图23 -6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确
定．接下来，甲每次报一个数字，乙就把 它放人四个方框中的一个，甲要使得差
尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最 后的差是多少？







答案：140
解析：如果甲报的第一个数是6～9中的一个，乙直接把它放到减数的十位上，则最后的差一定小于140；
如果甲报的第一个数是O～3中的一个，乙直接把它放到被减数 的十位上．则
最后的差也一定小于140.因此甲第一个数只能报4或5．
①当甲首先报4时 ，如果乙直接把4放在被减数的十位上，甲连续报0可以

使得差为140；乙如果直接把 4放在减数的十位上，甲连续报9可以使得差为100;
乙如果选择把4放到某个个位上，则甲继续报4 直至有一个4出现在某个十位上，
接着甲合理选择连续报9或O能保证最后的差大于等于140.乙为了 使得差尽量
小，一定会选择直接把4放在被减数的十位以获得最小的差140.
②与上一种情 况类似，当甲首先报5时，也可以根据乙放5的位置不同，合
理的选择连续报9或O，使得差大于等于1 40.
综上所述，双方都使用最佳策略时，差为140.

8．一栋大楼共33层 ，电梯停在第1层，有32个人分别要去第2层、第3
层……第33层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯 ，有一天电梯坏了，电梯只能
在某一层停，每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯．每个 人上
一层楼梯会有3分不满意，下一层楼梯会有1分不满意，请问：电梯停在哪一层，
才能使得 所有人不满意的总分数最小？

答案：27层
解析：电梯的存在将所有居民分成三 类：低层住户直接上楼，中层住户先坐
电梯再下楼，高层住户先坐电梯再上楼．由于上一层楼会有3分不 满意，而下一
层楼只有1分不满意，根据“投票法”的思想，每个分界点两边下楼人数会接近
上 楼人数的3倍，因此可以估算出电梯选址应该在靠近顶楼的五等分点附近．
不妨先假设电梯选在26楼 的位置（大约五等分点），那么此时1～7楼的住
户直接上楼，8～26层的住户先坐电梯再下楼，27 ～33层的住户先坐电梯再上楼，
考虑将电梯位置从26层挪到27层，1～7层的住户不受影响，8～ 26层的住户贡
献19张“反对票”，27～33层的住户贡献21张“赞成票”（每人3票），因此2 7
层的选择优于26层．再考虑电梯位置从27层挪到28层，同样的分析方法，可
以得到8～ 27层的住户贡献20张“反对票”，28～33层的住户贡献18“赞成票”，
因此电梯在28层不如 27层．
综上所述，电梯最佳选址是27层．