西华师范大学教学管理-高考笑话

初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值 问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个
定理靠拢进而解 决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
图形
轴
对
称
最
值
B
A
A
P
l
B
三角形三边关系

A
P
l

M
N
l

原理 两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直
线，P为直线l上的一
特征
个动点，求AP+BP的
最小值
作其中一个定点关于定
转化
直线l的对称点
两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直线，A，B为定点，l 为定直线，
MN为直线l上的一条动线P为直线l上的一个动
段，求AM+BN的最小值 点，求|AP-BP|的最大值
先平移AM或BN使M，N
重合，然后作其中一个定
点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
A
图形
B'
M
B
N
C

原理 两点之间线段最短
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，
特征
B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化 转化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点 ，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=
32
，则△PMN
的周长的最小值为 ．
折
叠
最
值

【 分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PM N
的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可 求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA ，OB的交点时，
△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
1

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠A OB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=
2
OC=
2
×3
2
=6．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

【分 析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．
把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P ，从而确定N点位置，
此时PA+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），
作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），
设直线AB″的解析式为y=kx+b，

12kb
，解得k=4，b=﹣7．
3kb

777
∴y=4x﹣7．当y=0时，x=
，即P（，0），a=．
444
7
故答案填：．
4
则


【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．
2

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B 到直线的距离BN=1，且MN=4，P为
直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．
A
D
M
B′
N
B
P

【分析】作 点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条 直线上时，
|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理 求得PA、PB′的值，
进而求得|PA﹣PB|的最大值．
【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．
∴B′N=BN=1，
过D点作B′D⊥AM，
利用勾股定理求出AB′=5
∴|PA﹣PB|的最大值=5．
【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等， 熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

4．动手操作：在矩形纸片ABCD中， AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，
折痕为PQ，当点A′在B C边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边
上移动，则点A′在 BC边上可移动的最大距离为 ．

【分析】本题关键在于找到两个极端 ，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分
别求出点P与B重合时，BA′取 最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上
移动的最大距离为2．
【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．
故答案为：2

< br>【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺< br>乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥ AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF
沿EF翻折，点A的 落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ．
3

【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A 落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出
BD的长度，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，
∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，
∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，
此时E与点B重合；
由题意得：PE=AB=8，
由勾股定理得：
BD
2
=8
2
+6
2
=80，
∴BD=
45
，
∴PD=
458
．

【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为
核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．

6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A 随之
在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离
为 ．

【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、 DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，
利用勾股定理列式求出DE，然后 根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON=90°，AB=2
∴OE=AE=
∵BC=1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，
∴DE=
2
，
根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，
4

1
AB=1，
2

∴当OD过点E是最大，最大值为
2
+1．
故答案为：
2
+1．

【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关
系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时 值最大是解题的关键．

7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、 BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD
和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．

【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=
定理然后用配方法即可求解．
【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=
22
x，CD′= （4﹣x），根据勾股
22
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE
2
=CD
2
+CE
2
=
22
x，CD′=（4﹣x），
22
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
故答案为：2．
【题后思考】本题 考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最
值．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上 的任意一点，则PK+QK
的最小值为 ．
1
2
1
x+ （4﹣x）
2
=x
2
﹣4x+8=（x﹣2）
2
+4，
22

【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P ′Q与BD的交点即为所求的
点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P ′Q⊥CD时PK+QK的最小值，
然后求解即可．
【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为2×
3
=
3
，
2
5
∴PK+QK的最小值为
3
．

故答案为：
3
．

【题后思考】本题考查了菱形的 性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定
最短路线的方法是解题的关键．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、
D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是 ．

【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S
△A DP
=
S
△ABP
+S
△ACP
=S
△ABC=
11
S
正方形
ABCD
=，
22
111S
正方形
ABCD
=，继而可得AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1 ≤AP≤
2
，即可求得
222
答案．
【解答】解：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S
正方形
ABCD
=1，
∵S
△ADP< br>=
∴S
△ADP
+S
△ABP
+S
△ACP
=1，
∴
1111
S
正方形
ABCD
=，S
△A BP
+S
△ACP
=S
△ABC
=
S
正方形
ABCD
=，
2222
1111
AP•BB′+AP•CC′+AP•D D′=AP•（BB′+CC′+DD′）=1，
2222
2
则BB′+CC′+DD′=，
AP
∵1≤AP≤
2
，
∴当P与B重合时，有最大值2；
∴
当P与C重合时，有最小值
2
．
2
≤BB′+CC′+DD′≤2．
故答案为：
2
≤BB′+CC′+DD′≤2．

【题后思考】此 题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，
DP，根据题意 得到S
△ADP
+S
△ABP
+S
△ACP
=1，继而得到 BB′+CC′+DD′=


6

2
．
AP

10．如图，菱形ABCD中，∠ A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A
和⊙B上的动 点，则PE+PF的最小值是 ．

【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．
【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．

【题后思考】此题主要考 查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．

7