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最值问题——基础学习

一、解答题
均值不等式

【例】已知x, y∈R且9x+16y＝144，求xy的最大值。
+
【解题关键点】由题设一正：x, y∈R，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均
值不等式求解。
+
∵ x, y∈R ，x·y =×9x·16x≤()²×=36， 当且仅当9x=16y，即x=8,y=时，(xy)
max
=36.

+

2、变形方法

【例】当
0x4
时，求
yx(82x)
的最大值。
解析：由
0x4
知，
82x0
，利用均值不等式求最值，必须和为 定值或积为定
值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到
2x(82x)8
为定值，故只需
将
yx(82x)
凑上一个系数即可。
112x82x
2
yx(82x)[2x·(82x)]()8

222
当且仅当
2x82x
，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，
yx(82x)
的最大值为8。

【例】已知
x
51
，求函数
f(x)4x2
的最大值。
4
4x5
1
不是定值，故需
4x5
解析 ：由题意知
4x50
，首先要调整符号，又
(4x2)·
对
4 x2
进行凑项才能得到定值。
5
，54x0

4
， 所以
11
f(x)4x2(54x)3
4x554x
1
2(54x)·3231

54x
1
当且仅当< br>54x
，即
x1
时等号成立。
54x
因为
x
【例】求
y
x7x10
(x≠1)
的值域。
x1
2

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其
分离。
x
2
7x10(x1)
2
5(x1)44
y (x1)5

x1x1x1
当
x10
，即
x1
时
4
y2(x1)·59
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x1
当
x10
，即
x1
时
4
y52(x1)·1
（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
x 1
x
2
7x10
(x≠－1)
的值域为
(，1] [9，)
。 ∴
y
x1
（2）整体代换法
【例】设x,y∈R*，且1，求x+y的最小值.
【解题关键点】由1，得≥10+2≥16，当且仅当 ，即y²=9x²。
∵x,y∈R*，
∴当y=3x时取到(x+y)
max
=16.

【例】求函数
y
x2
的最大值。
2x5
解析：变量代换，令
t
当t＝0时，y＝0
当
t0
时，
y
x2
，则
xt
2
2(t0 )，则y
1
22t·
1
t
2

4
t
2t
2
1

1
2t
1< br>t

2
1
，即
t
时取等号。
2
t
32
故
x时，y
max

。
24
当且仅当
2t
（4）取平方法
15
2x152x(x)
的最大值。
22
解析：注意到
2x1与52x
的和为定值。
【例】求函数
y
y
2
(2x152x)
2
42(2x1 )(52x)
4(2x1)(52x)8
又
y0
，所以0y22

当且仅当
2x152x
，即
x
故
y
max
22
。

【例】设0【解题关键点】已知00,8-3x>2>0。由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式
得y= ≤≤4,当且仅当3x=8-3x，即x=时取等号。
所以，当x=时，y=的最大值是4。

【例】设x<－1，求函数y=(x+1)+的最值。
【解题关键点】欲用均值不 等式来解。因x+1<0，则不满足“正”的条件，故需利用已
知条件调整其符号。
解：因为x<－1，所以-(x+1)>0，
则(x+1)+=-[-(x+1)+]≤-2=-4。
当且仅当-(x+1)=，即x=-3时，y有最大值，且ymax=-4+5=1,y无最小值。


3
时取等号。
2

【例】有 一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以
做成一个无盖的纸盒。 现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．4
【解题关键点】答案:D
设剪去小正方形的边长为x ，则

=x（24-2x）=
2
1
2
×4x（24-2x） 。对于函数y=abc、a、
4
b、c均为正数，且a+b+c为常数，当且仅当a=b=c时 ，y取最大值。所以，4x=24-2x，解得
x=4，此时纸盒容积最大。


【例】将20表示成5个自然数的和，这些数的积最大是多少？（ ）
A．568 B．892 C．1024 D．1260
【答案】C
【解题关键点】应用均值不 等式。几个数的和一定，当这几个数相等时，其乘积最大。
20=4+4+4+4+4.其乘积为4×4 ×4×4×4=1024。

【例】将23分成若干个自然数的和，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是多少？
（ ）
A．3586 B．3804 C．4374 D．4916
【答案】C
【解题关键点】分拆的原则是：在不出现1的情况下分拆出尽量多的3。23=3+3+3+3+3+3 +3+2，
最大乘积为3×3×3×3×3×3×3×2=4374。

二、二次函数基础
找出题目中的自变量和因变量，带入公式y=ax²+bx+c（a为负数 ），找出之间的联系。
y=ax²+bx+c=a(x+

b
) ²+c，求最大值。
2a

【例】商品进价为每件30元，现在售价为每件40 元，每星期可卖50件，市场调查反
应，如果每件的售价涨1元（售价不高于45元），那么每星期少卖 10件。如何定价才能
是每星期的利润最大？最大利润为多少？
【解题关键点】设售价为x元，销量为y件。
利润=收入-成本=xy-30y=y(x-3 0)=[50-10(x-40)](x-30)=-10x²+750x-13500 (30≤x≤45，且x∈
Z)
∴求出-10x²+750x-13500 (30≤x≤45)的最大值即可
画图得：顶点坐标为(37.5,562.5)，对称轴x=37. 5开口向下的抛物线,x∈[30,45]且x∈Z
∴观察图像，得：当x=37或x=38时，MAX(-10x²+750x-13500)=560元
∴当定价为每件37元或者每件38元时，利润最大。最大利润为560元