小学谚语大全-设备安装合同

物理中的最值问题
1.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握
不可 伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m
的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运
动， 当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球
飞离水平距离d后落地，如图9
所示，已知握绳的手 离地面高度
为d，手与球之间的绳长为3d4，
重力加速度为g，忽略手的运动
半径和 空气阻力。
（1） 求绳断时球的速度大小
v
1
，和球落地时的速度大小v
2
。
（2） 问绳能承受的最大拉力多大？
（3） 改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍
在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距
离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛
运动规律，有
竖直方向 d=gt
1
4
1
2
2
水平方向d=v
1
t，
联立解得v
1
=
解得v
2
=
2gd
。 < br>2
1
2
由机械能守恒定律，有
1
mv=mv+mg(d-3d 4)
21
22
5
gd
2
。
（2） 设绳能承受的拉力大小为T，这也是球受
到绳的最大拉力。
球做圆周运动的半径为R=3d4
对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心
力公式有T-mg=m v
1
2
R
，

联立解得T=
11
mg。
3
（3） 设绳长为L，绳断时球的速度大小为v
3
，
绳承受的最大拉力不变，有
2
T-mg=m v
3
L
gL
。 解得v
3=
8
3

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L，水平
位 移为x，飞行时间为t
1
，根据平抛运动规律
有d-L=gt
1
，x = v
3
t
1
1
2
2
联立解得x=4
L

dL

3
.
当L=d2时，x有极大值，最大水平 距离为
x
max
=
2
3
3
d.


2.如图所示，一质量为M=5.0kg的平板车静止在
光滑水平地面上，平板车的 上表面距离地面高
h=0.8m，其右侧足够远处有一固定障碍物A。另
一质量为m=2.0k g可视为质点的滑块，以
v
0
=8ms的水平初速度从左端滑上平板车，同时
对平板车施加一水平向右、大小为5N的恒力F。
当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对
静止。此时车去恒力F。当平板车碰到障碍物A
时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能
无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧

轨道，并沿轨道下滑。已知滑块与平板车 间的动
摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所
对的圆心角∠BOD=θ=10 6°，取g=10ms，
sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）平板车的长度。
（2）障碍物A与圆弧左端B的水平距离。
（3）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力
的大小。
2








【解析】（1）滑块与平板车间的滑动摩擦力

f=μmg，
对滑块，由牛顿第二定律得 a
1
=fm=μg=5ms；


对平板车，由牛顿第二定律得
a
2
=(F+f)M=3ms；

设经过时间t
1
，滑块与平板车相对静止，
共同速度为v，则v= v
0
-a
1
t
1
= a
2
t
2
解得 t
1
=1s （1分） v=3ms
（2）设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时
间为t
2
2
则h=
1
gt，x=vt，
AB
22

2
2
2
障碍物A与圆弧左端B的水平距离
x
AB
= 1.2m。
（3）对小物块，从离开平板车到C点，由动能
定理得

v
在C点由牛顿第二定律得F
N
-mg=m
R

mgh+mgR(1-cos
2
C
106
o
1
2
1
2
)=mv
C
-mv
222

联立得 F
N
=86N。
由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最
低点C时对轨道压力的大小为86N。
如图 所示，在粗糙水平台阶上放置一质量m=0.5kg的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ=0.5，与台阶 边缘O点的
距离s=5m。在台阶右侧固定一个14圆弧挡板，圆弧半径R=1m，圆弧的圆心也在O点 。今以O点为原点建立平面直
角坐标系xOy。现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉 力，小物块最终水平抛出并击中挡板。（
sin370.6
，
取g=10ms2）
（1）若小物块恰能击中挡板上的P点（OP与水平方向夹角为37°），求其离开O点时的速度大小；
（2）为使小物块击中挡板，求拉力F作用的最短时间；
（3）改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值。

【解析】（1）小物块从O到P，做平抛运动。
水平方向：
Rcos37v
0
t
Rsin37
（2分）
竖直方向：
1
2
gt
2
（2分）
v
0

43
ms
3
（2分） 解得：
（2）为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O点。
由动能定理得：
Fx

mgSE
k
0
解得：
x2.5m
（2分）
2
由牛顿第二定律得：
F

mgma
解得：
a5ms
（2分）

由运动学公式得：
x
1
2
at
2
解得：
t1s
（2分）
（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x，y），由运动学规律可得：
xv

1
0
t
；
y
2
gt
2

由机械能守恒得：< br>E
1
2
k

2
mv
0
mgy （2分）
又
x
2
y
2
R
2
（1分）
E
1

R
2

k

化 简得：
4
mg


y
3y


（2分）
y
2

1
由基本不等式得：
3
时，动能 最小，其值为：
E
5
kmin

2
3J

说明：如果用其他方法求出正确答案的，同样给分。

3分） （