面积最值问题
2020考研英语一答案-任职讲话
面积最值问题
1题目- 已知四边形ABCD的对角线AC与B
D相交于点O，如果三角形AOB
面积为4,三角形COD面积为9,那么,四边形ABCD面积最小值
为多少?
变式1、题目条件不变，求三角形AOD和三角形BOC面积和的最小值。
分析、做任意四边形.过O点分别做垂线.交AB于F点,CD为G点.当
不重合时,产生三角形,所以此时四边形面积不是最小.所以当重合时,面积最小.又因
AB垂
直FG垂直CD.所以AB平行于CD.所以此时四边形面积为12*(AB+CD)*(OF+OG)
根据相似有AB*OG=OF*CD又有AB*OF=8 CD*OG=18得AB*OG=OF*CD=1
2代回......
奇迹出现喇......结果为25..................
略解、四边形ABCD，S△COBS△AOB=COAO，S△COB=4*（COAO），
S△AODS
△COD=AOCO，S△AOD=9*（AOCO），
四边形面积=S△AOB+S△COD+S△AOD+S
△COB =4+9+S△AOD+S△COB
=13+4（COAO）+9（AOCO）， 设COAO=t, 四边形
面积=13+4t+9t
，4t+9t≥2√（4t*9t)，
4t+9t≥12,(算术平均数大于等于几何平均数），当
且仅当
4t=9t时，4t+9t有最小值为12，所以 四边形面积最小值为13+12=25。
解：设三角形AOD和三角形BOC面积分别为s
1
和s
2
，
根据同高三角形面积的比等于
2 2
底之比的性质，得s
1
:9=4:s
2
；则s
1
×s
2
=36,由于（s
1
－
s
2
）≥0所以（s
1
－s
2
）+4s
1
s
2
≥4s
1
s
2
因为（s
1
－s
2
）
2
+4s
1
s
2
=（s
1
+s
2
）
2
所以（s
1
+s
2
）
2
≥4s
1
s
2
即（s
1
+s
2
）
2
≥4×36，又s
1
+s
2
>0
所以s
1
+s
2
≥
436
=12,即△AOD和△BO
C面积之和的最小值为12..
解答
：
设△AOD面积为S1,△BOC面积为S
2,由△AOB与△AOD等高,∴面积与底长成正比,得：4S1=OBOD.
同理：S29=OBOD,∴4S1=S29,S1·S2=36（1）
设S1+S2=k,
S2=k-S1,（2）代入（1）得：S1(k-S1)-36=0,S1²-kS1+36=0,
由S1,S2是方程的实根,由Δ=k²-4×36≥0,得k≥12,由k=S1+S2最小,
取k的最小值k=12,（面积最
小）∴S1+S2=12∴S四边形min=4+9+12=25.
点评
本题考点：此题主要考查了三角形面积的求法、不等式的性质等知识，需要识记
的
内容有：不等式的性质：a
2
+b
2
-2ab=（a-b）
2
≥0，即a
2
+b
2
≥2ab．（即算术平均数与几何
平均数的关系）