学习雷锋作文-河南省国税局

中考最值问题解题策略
垂线段最短在最值问题中的应用
模型一 点到直线的所有线段中，垂线段最短
点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直 线l的最
短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．
1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段
OM的取值范围是_______________。
2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．
3. 如图，在Rt△
AOB
中，OA＝OB＝3
2
，⊙O的半径为1，点P
是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，
则线段PQ的最小值为________．

模型二 “胡不归”问题
基本模型：两定一动，动点在定直线上
A

M
B
O

问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使
最小． 解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将
22
AP转化 为PE，使得AP
22
2
AP＋BP
2
＋BP＝PE＋BP，然后利 用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转
化为求BF的长度．
此 类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等
于此线段的系数 (注意题目中有无特殊角)；
第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；
第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用
“垂线段最短”找到最小值的位置．
4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线
1
BD上的一个动点，则BP＋PC的最小值是( )
2

A.
3
B.
33
3
C. 3 D.
3

2
2
5. 如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且 圆
的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，
1
连接OD ，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
2

6、如图6－2－4 ，二次函数y＝ax
2
＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO< br>＝2．⑴此二次函数的解析式为：________________________________ ______;
⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合 时
终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所 经过的路线长_________________________________________.
②点D与B、C不重合时，过点D
y
y
作DE⊥AC， DF⊥AB于点F，连接PE、
C
C
PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度
数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF
的最小值．


D
A
P
O
A
B
x
图6-2-4
O
B
x





7．如 图6－2－5，等边△ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A
出发，沿A →B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN
2
＝y，则y与
x的函数图象大致是（ ）
C
y y
y
y
N
A
M
B
O
A
x
O
B
图6-2-5
x
O
C
x
O
D
x

8．如图6－2－6，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A、B< br>是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA＝OB＝
10
．
⑴则A、B两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结
图6-2-6

果保留
π
）．

9．如图6－2－7①和6－2－ 7②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝
5

13
探究：如图6－2－7①，AH⊥BC于点H，AH＝____________,AC＝__________ _，△ABC
的面积S△ABC＝___________________．
拓展如图6－ 2－7②，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的
垂线，垂足为E，F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n（当点D与A重合时，我们认为
S
△
ABD
＝ 0）
⑴用x，m或n的代数式表示
S
△
ABD
及
S
△
CBD
；
⑵求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值及最小值；
⑶对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．











对称性质在最值问题中的应用
模型一 两点一线
类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
问题解决：
A
A
F
E
D
B
H
图6-2-7①
C B
图6-2-7②
C


结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．
类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
问题解决：

结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．
类型3 同侧差最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．
问题解决：

结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.
类型4 同侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
问题解决：

结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB， 则|PA－PB|的最大值为线段AB
的长．
类型5 异侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
问题解决：

结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.
1.如图，正 方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N
是对角线AC上一动点，则线段DN＋M N的最小值为
________．

2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时，
则y的值为________．

3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，
P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．

D

P
E
A
图6-1-1③
B
B C
M
图6-1-1④
C
A
P
N
P
E
A
D
C
B
D
图6-1-1⑤

4、如图6－1－1④，已知菱形AB CD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中
点，P是对角线BD上一点，则PM＋P N的最小值＝ .
5、如图6－1－1⑤，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ 60°，点D是BC边上的点，CD＝
3
，
将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在A B边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△
PEB的周长的最小值是 .

6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高 ，在AD上找
一点P，使PB＋PE的值最小，最小值为 .
（2）如图6－1 －2②，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P
是OB上一动点 ，则PA＋PC的最小值是 ；

A

A
A

C

E
D
E
P
B
O
P


C
B
B
C

D
图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③

（3） 如图6－1－2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC＝6，BC边上的高
为4，P 在BC边上，则△PDE周长的最小值为 .
7.（1）如图6－1－3①，Rt△ OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，
3
），
点C的坐标为（1， 0），点P 为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为 .
（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD中AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC ，
CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .
C

A

y
B
D

K
P
D

Q
M


O
C
A
A
B
x
B P C
N
图6-1-3①

图6-1-3②
图6-1-3③

3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB＝4
2
，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC， （


M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 .

8.（1）如图6－1－4①，∠AOB＝45°，P是∠AOB 内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB
上的动点，则△PQR周长的最小值是 .
（2）如图6－1－4②，点A（a，1）、B（－1，b）都在双曲线y＝
-
3
(x<0)上，点P、Q分
x
别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最 小值时，PQ在直线的解析式是（ ）.
A.y＝x B.y＝x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝x＋3

B
A
y

B
a

R
P


Q
A
b

O

O
x
Q
A
P
B
图6-1-4①

图6-1-4② 图6-1-5
9. 如图6－1－5已知，直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝2
30
，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满 足
MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12

10、如图6－1－13③，一次函数y＝－2x＋4的图象与x、y轴分
别交于点A，B，D 为AB的中点，C、A关于原点对称．P为OB
C
上一动点，请直接写出︱PC－PD︱的范围：__________________．

O
A
x
图6-1-13③
y
A
P
D
11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2 ），点P在x轴上
运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是________ ____________．
12．在⊙O所在的平面上有一点A，它到⊙O的最近距离是3，最远距 离是7，则⊙O的半径
为________________．
13．在A、B均在面积为1 的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6
－1－15，若P是x轴上使得︱PA －PB︱的值最大的点，OP＝__________________.
y
B
A
O
O
图6-1-14
x
图6-1-15
x
A
O
图6-1-16
B
x
y
A
B
y
C

14．如图6－1－16，抛物线y＝ ax
2
＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点
B． ⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;

⑵点D所在抛物线的对称轴上，求︱DB－DC︱的最大值．

模型二 一点两线
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得△PCD周长最小．
问题解决：

结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点 之间线段最短，将三条线段
转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长．
类型2 两定点与两条直线上两动点问题
问题：点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C ，使得四边形PQDC周长最
小．
问题解决：

结论：将问题转化为类型 1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q’
长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋ PQ的值．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD
上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数
为________ ．

2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D
是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周
长的最小值是________．

模块四 “小虫爬行问题”
例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC＝2cm，宽BC＝1cm，
A ′
高AA′＝4cm，一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点的最短路径是多
少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短.”
（2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm、底面
周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴
蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm
与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
为多少cm?
【规律】“一点内一点外要用轴对称.”

练习：
1.（1）如图6－1－ 7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B离点C的距离为5，一只
蚂蚁沿着长方体的表面从 点A爬到点B，最短距离是（ ）
A.5
21
B.25 C.10
5
＋5 D.35






B′
5
C′
20
O
C′
A
A
图6-1-7②
B′
A
图6-1-7 ③
A
图6-1-7④

B
E′
B′
H
F′

G
A
蚂蚁
C′
蜜蜂


A
D
图6－1
C
B
D′
C′
B′
15
图6-1-7①
C
（2）6－1－7②，底面半径 为3cm的圆锥的主视图是个正三角形，C是母线OB的中点，
则从圆锥表面从A到C的最短距离等于 cm.
（3）6－1－7③,圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行 的
最短路程（π取3）是（ ）cm.
A.20 B.10 C.14 D.无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH是个无 上底长方体容器，M在容器内侧，位于侧棱BF
上，已知AB＝5，BF＝9，FM＝3，则从外部的点 A到内部的点M的最短距离等于 .
2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它 的每一级的长、宽、高分
别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点
有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B
点的最短路程是多少dm？

B′
A′
20
2
3

模块五 折叠最值
图6－1－8
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是：
（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.
1、如图6－1－9，折叠 矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E
处，折痕的两端点M、N分别在AB、BC上（含端点）， 且AB＝6，
BC＝10，设AE＝x，则x的取值范围是 .
【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，
得到满足条件的x最大值；
2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－
11，折叠纸片， 使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′
在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动 .若限定点P、Q
分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离
为 .

模块六 圆中最长弦是直径
解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、
或圆中线段最小值时常用它．
1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB
A
的中点，直 角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小
值是_________________．

2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且
∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点
G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．

模块七、求两正数和的最小值[9]
解法：①由（a－b）2≥0得a
2
＋ b
2
≥2ab，当且仅当a＝b时成立；
②对任意正数m,n可设m＝a
2
、n＝b
2
(a、b为正数)，则有m＋n＝a
2
＋b
2< br>≥2ab＝2
mn
，
即m＋n≥2
mn
，当且仅当m＝n时等号成立．
这是高中两个最重要的不 等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数
相等时和才取最小值．
1、阅读理解：对任意实数a，b，
∵（
a
－
b
）2≥0 ，∴a－2
ab
＋b≥0，∴a＋b≥2
ab
，只有当a＝b时，等号成立．
G
O
F
B
C
D
图6-3-1
F
E
B
C
A′
Q
图6－1－11
D′
B′
P′
B′
图6－1－9
C′
A′
D′
不合题意，向下移动N到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，
A′
C′
E
A
图6-3-2
H

根据上述内容，回答下列问题：
1
有最小值______________；
m
2
⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋有最小值_____________；
n
2
⑶若x＞0，只有x＝______时，8x
2
＋
2< br>有最小值___________________;
x
⑴若m＞0，只有m＝___ _时m＋
2、如图6－4－1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B
不重合的任意一点 ，过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB
＝b．请用本题图验证a＋b≥2
ab,并指出等号成立时的条件．



3、如图6－4－2，已知A（－ 3，0），B（0，－4），P为双曲
12
线y＝(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴 于点C，PD⊥y
x
轴于点D，求四边形ABCD的面积的最小值，并说明此时四边
形 ABCD的形状．



B
图6-4-2
A
y
D
A
O
图6-4-1
C
D
B
P
O
C
x
4、公式：对于任意正数a、b，总 有a＋b≥2
ab
，并且只有当a＝b时，等号成立．
直接应用或变形应用
1
⑴已经y
1
＝（xx＞0），y
2
＝（x＞0），则当x＝__ __________时，y
1
＋y
2
取得最小值___________.
x
a
⑵已知函数y＝ x＋(a＞0，x＞0)，当x＝______________时，该函数有最小值____________ _．
x
y
⑶已知函数y1＝x＋1与函数y2＝(x＋1)
2
＋4 ，当x＞－1时，求
2
的最小值，并指出相应的x
y
1
的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃 油费
费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次
运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？



模块八 二次函数最值
解法归一：“二次整数ax
2< br>＋bx＋c最值”完全可以借助二次函数y＝ax
2
＋bx＋c最值解决，
解决 方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a,b,c为常数，且a≠0）

1、 ⑴x
2
－2x＋6的最小值是_______________________;
⑵二次函数y＝－x＋6x的最大值是______________________．
2、如图6－6－1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是
A
BC上任意 一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD
于点
Ｅ
．设BP为x，CE为 y，当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？





2
D
E
B
图6-6-1
P
C

3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax
2
＋bx＋4经过点B（1，0 ），C
y
l
（5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．
A
⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;
4
⑵在此抛物 线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最
小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，
B
M
使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请
1
O
说明理由.










4、如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD折叠，使B点
A
落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起
的四边形MNFE面积最小 ，并求出这个最小面积的值．







M
C
5
x
图6-6-2
E
D
F
N
B
图6-6-3
C

模块九 几何探究最值类[8]
1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1 ①，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是
底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行 到点C的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC）．
路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB＋BC的长）
B
D
A
图6-7-1①
C
沿AB剪开
摊平
B
D
C
A
此长方形的长等于底面周长
图6-7-1②

¼
l
2
2
＝(AB＋BC)
2
，设 路线1的长度为l
1
，设路线2的长度为l
2
，则l
1
2< br>＝AC
2
＝AB
2
＋
BDC
¼
长5
π
代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）将AB＝5，BC＝10，半圆弧
BDC< br>：
2
l
1
2
＝AC
2
＝ ；
l
2
2
＝(AB＋BC)
2
＝ ；
l
1
2
－l
2
2
＝ .
∴l
1
2
>l
2
2
∴l
1
>l
2
∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问 题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm,高
AB为5dm”继续按前面的路线 进行计算（请你帮小明完成下面的计算）：
路线1：l
1
2
＝AC
2
＝ ；
路线2：l
2
2
＝(AB＋BC)
2
＝ ；
∵l
1
2
l
2
2
，∴l
1
l
2
（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短.
（ 2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何
选择上面的两条路 线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

2、在河岸l同侧有A、B两 个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm(a>1)现计
划在河岸上建一抽水站 P向两个村庄供水.
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2 ①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，且d
1
＝PB＋BA(km)(其中PB⊥l于P点)；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d
2
,且d
2
＝PA＋PB(km)(其中点A′
与点A关于l对称，A′B与l交于点P ).
A
观察与计算（1）在方案一中，
d
1
＝ km(用含a的式子表
示)；
（2）在方案二中，组长小宇为了
A
B
P
l
C
A′
图6-7-2①
图6-7-2②
P
A
B
K
l
C
A′
图6-7-2③
P
B
l

计算d
2< br>的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d
2
＝ km(用
含a的式子表示).
探索归纳：（1）①当a＝4时，比较大小：d
1
d
2
（填“>”或“＝”或“<”）；
②当a＝6时比较大小：d
1
d
2
（填“>”或“＝”或“<”）；
（2）请你就a（当a>1时）的所有取值情 况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方
案一还是方案二？


3、（1）如图6－7
－3①，把矩形AA′ B′
B′
B卷成以AB为高的
圆柱形，则点A与
重合，点B与
A′
重合.
探究与发现
B’′
B′
B′
A’′
图6-7-3①
A′
图6-7-3②
A′
图6-7-3③
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧
面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm；（丝线的粗细
忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A处沿侧面缠绕4 圈直到顶部B处（如图6－7－3
③所示），则至少需要多长丝线？
B′
创 新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在
杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使 带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，
如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6 厘米，裁剪
角为α，则sinα＝ .
A′
A′
B′
α
E′
图6-7-3⑤
F′
α
D′
C′
图6-7-3④

4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为 10cm的正三角形，三个侧面都
是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四 边形ABCD（如图6－7－4②），
然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱 柱包装盒的侧面进行包贴（要
求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒 的侧面全部包贴满.
A
D
N
M
图6-7-4①
B′
图6-7-4②
C′

A
图6-7-4

（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD；

（2）计算按图6－7 －4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.