刚果盆地-网络的利与弊作文

几何中的最值问题
一、知识点睛
几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.
求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；
求线段及线段和、差 的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边
关系”等相关定理转化处理.
一般处理方法：

线段和(周长)最小

平移

对称

旋转










使点在线异侧
（如下图）
线段差最大
平移
对称
旋转
使点在线同侧
（如下图）
线段最大（小）值
转化
构造三角形
使目标线段与定长
线段构成三角形

两点之间，线段最短
垂线段最短

三角形三边关系定理
三点共线时取得最值

常用定理：
两点之间，线段最短（已知两个定点时）
垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

B
A
P
B'


A
B'
l
B
P
l
PA+PB最小，
需转化，使点在线异侧


|PA-PB|最大，
需转化，使点在线同侧





1

二、精讲精练
1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周 长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂
蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为______cm．
A
蚂蚁
A
C
蜂蜜
O
M
P

N
B

第1题图 第2题图
2. 如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB= 45°，OP=3
2
，
则△PMN周长的最小值为 .
3. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和A E
上的动点，则DQ+PQ的最小值为 .
A
P
Q
D
E
A
K
Q
D

第3题图 第4题图
则PK+QK的最小值为 .
5. 如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
y
y
P(a,0)N(a+2,0)
O
B(4,-1)
x
B
C
B
P
C

4. 如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，
B
C< br>D

第5题图 第6题图
A(1,-3)
O
E
FAx

2

6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴
上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF
的周长最小时，则点F的坐标为 .
7. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5 ，CD=4，
P在直线MN上运动，则
PAPB
的最大值等于 ．
A
B
y
A
O
MDPCN
B
x


第7题图 第8题图
8. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若< br>P是x轴上使得
PAPB
的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则
OPOQ
＝ ．
9. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，B C=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M
为EF中点，则AM的最小值为 _________．
A
F
E
B
M
P
C
APB
C
D

第9题图 第10题图
10. 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和P B为边作等边△APC
和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
11. 如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，
点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△AB P
中边PA的长度改为
22
，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为____ _____．
3

y
B
P
B
P
A'
C
O
Ax

A
QD
第11题图 第12题图


12. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分
别 在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．
13. 如 图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△ AEF
沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为 ；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 .


D
C
D
F
P
C
D
F
P
E
C
A
B
AE
B
A
B

14. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动 点，将△AMN沿MN
翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是________ _．
A
M
A'
B
C
N





4

【参考答案】
1. 15


9．
2．6 3．
22
4．
3
5．
77
6．（，0） 7．5
43
8．3
12

5
10．5 11.
3+1
；
5+1
12．2
13．(1)
843PD4
；(2)
458

14.
434


5