少先队知识竞赛-华人诺贝尔奖获得者

最值问题的基本解题策略之——活用“垂线段最短”
宁波东海实验学校 赵绍君

众所周知，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。本节课就意在说明它< br>在解题中的使用方法。

教学过程
1.直接使用
【引例1】如图 ，
O
的半径
OA5cm，
弦
AB8cm，
点
P
为弦
AB
上一动点，则点
P
到圆心
O
的最短距离 是 cm． （2008年济南市）



O


B
A
P



（第1题图）
y
B
A
O
x
（第2题图）
【热身】如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段 AB最短时，点B的坐
标为（ ） （2009年山东省德州市）
（A）（0，0） （B）（
2222
11
，

） （C）（－，－） （D）（－，－）
2222
22
点评：涉及点到直线的最短距离，一般要用到“垂线段最短”这一性质。
说明：在点与线确定的时候，我们可以通过作垂线段的方法确定点到直线最近的点。
【例1】（2008年甘肃兰州市）
如图，在
△ABC
中，
AB 10，AC8，BC6
，经过点
C
且与
边
AB
相切的 动圆与
CB，CA
分别相交于点
E，F
，则线段
EF
长
度的最小值是

点评：本题把EF的值转化 为OC+OT的值，由此知只有当T、O、
C三点在同一直线上时，EF的长度最小
【例2】2009年陕西省中考题
如图，在锐角
△ABC
中，
AB 42，BAC45°
，
BAC
的
平分线交
BC
于点
D，M、N
分别是
AD
和
AB
上的动点，则
BM MN
的最小值是___________ ．

M
D
B
E
C
F
图3
C
A
A
N B
图4

点评 本题有一定的难度，需要运用两个重要知识点：①当三点共线时， 两条线段和最小；②点
到直线上各点的距离，垂线段最短。

2.引申及应用
一定点到过另一定点的所有直线的距离中，最大等于两定点的距离。
【引例2】如图，圆O的半径OA=5cm，点P为圆O内一点，且OP=3，过点P作弦AB. 则弦
AB的最短距离是 cm．
A
P
O
B


【例3 】如图，在直角梯形ABCD中，∠A为直角，AB∥CD,AB=7，CD=5，AD=2.一条动直线
l交AB于点P，交CD于点Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分。则点A到动直线l的
距离 的最大值为
D
Q
E
C
B

AP


【例4】设△ABC是边长为1的正三角形，过顶点A引直线l，顶 点B、C到直线l的距离记为
d
1
、d
2
，求d
1
+d
2
的最大值。

【综合创新】如图，在平面直角 坐标系中，开口向上的抛物线与
x
轴交于
A、B
两点，
D
为 抛物
（OAOB）
线的顶点，
O
为坐标原点．若
OA、OB
的长分别是方程
x4x30
的两根，且
DAB45°．

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点
A
作
ACA D
交抛物线于点
C
，求点
C
的坐标；
（3）在（2）的条 件下，过点
A
任作直线
l
交线段
CD
于点
P，求
C、D
到直线
l
的距离分别为
2
d
1
、d
2
，试求
d
1
+d
2
的最大值．
y
C
l
P
B
A
O
D
x

解：（1）解方程
x4x30
得
2


x1或x3
，而
OAOB，

，0)
，点
B
的坐标为
(3，．0)
则点
A
的坐标为
(1
······················· ·················································· ········ 1分
过点
D
作
DD
1
x
轴 于
D
1
，
则
D
1
为
AB
的中点．
0)

D
1
的坐标为
(1，．
又因为
DAB45°

，AD
1
DD
1
2．
D
的坐标为
(1，2)．
······································ ·················································· ··················· 2分
令抛物线对应的二次函数解析式为
ya(x1)2．

2
0)


抛物线过点
A(1，，
则
0 4a2，
得
a
1
．

2

故抛 物线对应的二次函数解析式为
y
11
2
3
(x1)
2< br>2．
（或写成
yxx
） ················ 4分
222
．
（2）
CAAD，DAC90°
······· ·················································· ····························· 5分
又
DAB45°

，CAD
1
45°．
令点
C
的坐标为
(m，n)，
则有
m1n．
··· ·················································· ····················· 6分
1
··············· ·················································· ····· 7分

点
C
在抛物线上，
n(m1)
2
2．
2
化简得
m4m50．
解得
m5，m 1
（舍去）．
2
6)
·故点
C
的坐标为
(5， ．
············································· ·················································· ·········· 8分
（3）由（2）知
AC62，
而
AD22，

··· ·················································· ···································· 9分
DCAD
2
AC
2
45．
过
A
作
AMCD．

11
ACADDCAM，

22
AM
2465
······················· ·················································· ····························· 10分
．
5
45

S
△ADC
S
△APD
S
△APC
，
111
ACADAPd
1
APd
2
．
······························ ·············································· 11分
222
d
1
d
2

24245
≤24 45．

APAM
65
即此时
d
1
d
2
的最大值为
45．
··························· ·················································· ················· 13分
小结：这节课你学到了什么？
教师指出：
总所周知，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
引申：一定点到过另一定点的所有直线的距离中，最大等于两定点的距离。

布置作业：
课后练习：
1、矩形 ABCD中，AB=20cm，BC=10cm。若在AC、AB上各取一点M、N（如图9），使BM+MN< br>的值最小，求这个最小值。

D
M
A
C
N
图9
B


2、如图10，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分
别 过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为点B′、C′、D′。
求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.

D
B'
D'
A
图10
C
P
B
C'


★★6、如图11，在直角梯形A BCD中，∠A为直角，AB∥CD，AB=7，CD=5，AD=2. 一条动
直线l交AB于点P， 交CD于点Q，且将梯形ABCD分为面积相等的两部分。则点A到动直线
l的距离的最大值为
D
Q
E
C
B

图11
AP


3、如图12，在平面直角坐标系中，已知△OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点A的 坐标是（2，

4），点B在
x
轴上，点Q的坐标是（－6，0）， AD⊥
x
轴于点D，点C是AD的中点，点P是直
线BC上的一动点．
（1）求点C的坐标．
（2）若直线
QP
与
y
轴交于点M ，问：是否存在点P，使△QOM与△ABD相似？若存在，请求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由 ．
（3）以点P为圆心、
2
为半径长作圆，得到动圆⊙P，过点Q作⊙P的两条切线 ，切点分别是E、
F．问：是否存在以
Q
、E、P、F为顶点的四边形的最小面积S ？若存在，请求出S的值；若不
存在，请说明理由．

y
A
C
Q
O
D
图12
B
x


解：(1) ∵
AOB
是等腰三角形，顶点A的坐标是(2，4)
又∵AD⊥
x
轴于点D，点C是AD的中点 ∴C(2，2) (2分)
(2) ∵△QOM与△ABD相似，而
QOMADB90
0

y
A
M
P
C
O
B
OM
OQ
OM
OQ
或 (图1) (1分)

BDADADBD
又∵AD=4，BD=2，OQ=6
∴OM=3或者12
∴使条件成立的M点坐标可能是
(0，3)或者(0，－3)
Q
或者(0，12)或者(0，－12) (1分)
又∵Q(－6，0)
∴必有
∴①当M (0，3)时，直线QP的解析式是
y
D
x
1
x3

2
(图1)
1
x3

2
③当M(0，12)时，直线QP的解析式是
y2x12

④当M(0，－12)时，直线QP的解析式是
y2x12
(2分)
∵B(4，0)，C(2，2) ∴直线BC的解析式是
yx4
(1分)
②当M(0，－3)时，直线QP的解析式是
y
分别解由 直线QP与直线BC的解析式组成的方程组:

11


y 2x12

y2x12

yx3

yx 3
①

，②，③，④


22
y x4
yx4




yx4

yx4
8
2


x
x

x14
3
，④

x8

3
，②

得：①

，③


20
10
y10

y4



y
y
3

3

210820
使△ QOM与△BCD相似的点P的坐标是
(,)
，(
14,10
)，
(,)
或者(
8,4
). (2分)
3333
说明：以上解题过程中，每少一种情况扣1分，格式不对或解题不完整酌情扣分.

( 3)以P为圆心、2为半径作圆，过Q作此圆的两条切线，切点分别是E、F，连结PE、PF(图
2) .
则PE=PF=
2
，PQ=PQ，
PEQPFQ90
0

∴
PEQ
≌
PFQ
(1分)
∴
S
四边形QEPF
2S
QEP
2
1
 PEQE2QE
. (1分)
2
F
P
y
A
E
O
C
B
∵
QE
2
P Q
2
PE
2
PQ
2
2

当点P在直线BC上移动时，QE的大小
由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，
从而使四边形QEPF的面积最小。显然，
在所有点Q到直线BC的距离中，
当
QPBC
时QP的长是最小的。
∴此时四边形QEPF的面积即为最小面积. (1分)
当
QPB C
于P时，
QPBBDC90
，
PBQDBC
，
故
PBQ
∽
DBC

0
Q
D
(图2)
x
PQ

BD
PQ

∴
2
∴
BQ
，而CD=2，BD=2 ∴BC=
22

BC
10
∴PQ=
52
(1分)
22
∴
QEPQ
2
25024843

∴四边形QEPF的最小面积
2QE83
. (1分)
说明：解法不同参考给分，格式不对或解题不完整酌情扣分.