安阳市党建网-十二生肖歇后语

中考复习《最值问题》压轴综合
[中考真题]
（2019·无锡 ）如图，在
ABC
中，
ABC,ABAC5,BC45
,
D
为边
AB
上一动
点(
B
点除外)，以
CD
为一边作正方形
CDEF
，连接
BE
，则
BDE
面积的 最大值为
E
F
A
D
B
C

[思路解析]
过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由A B=AC=5，BC
=4
5
，得到BM=CM=2
5
，易证△AMB ∽△CGB，求得GB=8，设BD=x，则DG=
8-x，易证△EDH≌△DCG，EH=DG=8 -x，所以S
△BDE
=
1
BD•EH=
2
11
x(8−x)=−(x−4)
2
+8，当x=4时，△BDE面积的最大值为8．
22

[考点提炼]
类型一：代数最值
解数学题时，我们常常碰 到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的
最值问题，求最值问题的方法归纳起来 有如下几点：
1. 利用绝对值求最值；
2. 运用配方法求最值；
3. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
1

4. 建立函数模型求最值；
5. 利用基本不等式求最值；
6. 构造几何模型求最值.
类型二：几何最值
几何中的最值问题是指在一定的条件下， 求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、
角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值 问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点；
2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短；
3．数形结合法，比如图形面积问题．
注：几 何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有
很强的探索性(目标 不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

[例题精讲]
【例1】利用配方法求最值
设a、b为实数，那么
a
2
ab b
2
a2b
的最小值是 ．
【答案】-1
【例2】 利用判别式法求最值
设
x
1
、
x
2< br>是方程
2x
2
4mx2m
2
3m20
的两 个实根，当
m
为何值时，
x
1
2
x
2
2
有最小值，
并求这个最小值．

2

【答案】
8

9
注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：
(1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得．

【例3】利用基本不等式求最值
某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备 的跟踪调查显示，该设备
投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第
x< br>天应付的养护与维修费
为[
(x1)500
]元．
(1) 如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到
每一天，叫做每天 的平均损耗，请你将每天的平均损耗
y
(元)表示为使用天数
x
(天)的函数 ；
(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，
问该设备投入使用多少天应当报废?
【答案】（1）y=
500000x7
499
；
x88
1
4
（2）2000天.
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1)
a
2
0
； (2)
a
2
b
2< br>2ab
；（3）若
a0
，
b0
，则
ab2 ab
； (4)若
a0
，
b0
，
x0
，则< br>axa
．
2
xbb
以上各式等号当且仅当
ab
(或
ax

)时成立．
xb
【例4】利用函数模型求最值
如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度
a
为l0m)，围成中间隔有一 道篱
笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm
2
．
3

(1)求s与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m
2
的花圃，AB的长是多少米?
(3)能围 成面积比45m
2
更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，
请说明理由．


【答案】（1）S=-3x
2
+24x（14
x8
）；（2）AB=5m；
3
22
（3）
S
max
46
.能围成，围法：长10m，宽
4
m.
33
【例5】构造几何模型求最值
22
求代数式
x1(x3)4
最小值．
解：如图，建立平 面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则
22
（0，1）的距离，
(x3) 2(x0)
2
1
2
可以看成点P与点A
可以看成点P与点B（ 3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成
线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最 小值．
∴原代数式的最小值为3
2
.
【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值
如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一 点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△
APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．

4

【答案】5
注：从特殊位置与极端 位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位
置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例7】利用定理或公理求最值
（1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10 ，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点
O)，则△PQR的周长的最小值为 ．

【答案】10
2

（2）如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，< br>CD=4，P在直线MN上运动，则
PAPB
的最大值等于 ．
【答案】5
（3）如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN 上一动点，
⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为( )
2
C．
2
D．
31

2
A．1 B．

【答案】C

（4）如图，在边长为2的 菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，
将△AMN沿MN所在的直 线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .
5

【答案】
71

（5）如图，菱形A BCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别
是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．

【答案】3
【例8】数形结合求最值
1、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4， 点E为边AC上一动点（不与
点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S
1，△ABF的面积为S
2
，记S＝S
1
﹣S
2
，S是否 存在最大值？若存
在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

解：（1）∵△ABC是等边三角形
6

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
∴DF∥AB；
（2）存在，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2
∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S
△
ABF
最小，
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°
∴MD＝2
∴S
△
ABF
的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6
∴S
最大值
＝﹣（6﹣6）＝3 +6
2、综合与探究
7

如图，抛物线y ＝x
2
+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，
连 接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此
时点E的坐 标；

解：（1）∵OA＝2，OC＝6
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∵抛物线y＝x
2
+bx+c过点A、C
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x
2
﹣x﹣6
（2）∵当y＝0时，x
2< br>﹣x﹣6＝0，解得：x
1
＝﹣2，x
2
＝3
∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝
∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称
∴x
D
＝，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C
△< br>ACD
＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小
8

设直线BC解析式为y＝kx﹣6
∴3k﹣6＝0，解得：k＝2
∴直线BC：y＝2x﹣6
∴y
D
＝2×﹣6＝﹣5
∴D（，﹣5）
故答案为：（，﹣5）
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E（t，t
2
﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）
∴EF＝2t﹣6﹣（t
2
﹣t﹣6）＝﹣t
2
+3t
∴ S
△
BCE
＝S
△
BEF
+S
△
CEF< br>＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣
t
2
+3t）＝﹣（t﹣）
2
+
∴当t＝时，△BCE面积最大
∴y
E
＝（）
2
﹣﹣6＝﹣
∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．


[举一反三]
1、若
x1
y1
z2
，则
x
2
y
2
z
2
可取得的最小值为( )

23
599
C． D．6
142
9
A．3 B．

【答案】B
2、正实数
x
、
y
满足
xy1，那么
1
x
4

1
4y
4
的最小值为 ( )
A．
15
5
B． C．1 D． E．
2

24
8
【答案】C
3、如图，已知；边长为4的 正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB
上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
25
D．14
2
A．8 B．12 C．


【答案】B 4、如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( )
A．
22
B．
12
C．
32
D．
32

【答案】A
5、当－2 ≤x≤l时，二次函数
y

xm

m
2
 1
有最大值4，则实数m的值为（ ）
A.

B.

4
【答案】C
6、如图，点P（-1，1）在双曲线上，过点P的 直线l
1
与坐标轴分别交于A、B两点，且tan
∠BAO=1．点M是该双曲线在第 四象限上的一点，过点M的直线l
2
与双曲线只有一个公共点，
并与坐标轴分别交于点 C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（ ）
A 10 B 8 C 6 D 不能确定
10
2
77
3
或
3
C. 2或
3
D. 2或
3
或


4

【答案】B
7、设
x
1< br>、
x
2
是关于
x
的一元二次方程
x
2
axa2
的两个实数根，则
(x
1
2x
2
)(x
2
2x
1
)
的
最大值为 ．
【答案】
-
63

8
8、若抛物线
yx
2
(k1)xk1
与
x
轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的 面积最小值
为
【答案】1
9、甲、乙两种商品，经 营销售这两种商品所能获得的利润依次是
p
(万元)和
q
(万元)，它们与投入资金
x
(万元)的关系有经验公式
p
13
x
，
qx
．
55
今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润， 对甲、乙两种商品的资金投入
分别应为多少?能获得多大的利润?

【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.
10、已知：△A BC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得
到△A′B′C，记旋 转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D
与B′C交于点E．
11

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1） 的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB
＝，求线段PA+PF的最小值． （结果保留根号）
【答案】（1）①解：旋转角为105°．
理由：如图1中，

∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC＝90°，
∵∠CA′D＝15°，
∴∠A′CD＝75°，
∴∠ACA′＝105°，
∴旋转角为105°．
12

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，
∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′OF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
13

∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝，
∴AB′＝＝＝．
∴PA+PF的最小值为．
14

11、如图，抛物线
y
于点C，顶点为D.
1
2
x3

1
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
2
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与 抛物线的对称轴交于点E，连接AE，
AD.求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中 的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点
P作⊙O的切线，切点为Q， 当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.

【答案】（1）
32, 0
，
32, 0
，

3, 1

；（2）证明略；（3）（5，1）；（3，< br>

1913

1）或

,


.

55

15