物理学习方法-斯隆管理学院

中考数学“最值问题”集锦
平面几何中的最值问题………………… 01
●几何的定值与最值……………………… 07
●最短路线问题…………………………… 14
●对称问题………………………………… 18
●巧作―对称点‖妙解最值题…………… 22
●数学最值题的常用解法………………… 26
●求最值问题……………………………… 29
●有理数的一题多解……………………… 34
●4道经典题……………………………… 37


●平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇 到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等
式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中 的经济问题联系起来，
可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段
的长度、图形的面积、角的 度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（1） 应用几何性质：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：
① 运用配方法求二次三项式的最值；
② 运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段 AB上，而线
段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，
在△A’BP中A’P’+B’P’＞ A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时
A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB 最小。

1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？

分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于
AB∥CD，必有AC=BD．若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周
长u=x+y+R的最大值即可．
解 作DE⊥AB于E，则 x
2
=BD
2
=AB·BE＝2R·(R-y) ＝2R
2
-2Ry，


所以

所以求u的最大值，只须求-x+2Rx+2R
2
最大值即可．
-x
2
+2Rx+2R
2
=3R
2
-(x-R)
2
≤ 3R
2
，
上式只有当x=R时取等号，这时有
2

所以 2y=R=x．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，
这时，梯形的底角恰为60°和120°．

2 .如图3－92是半圆与矩形结合 而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样
才能得出最大面积，使得窗户透光最好？


分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有 2x+2y+πx=8，

若窗户的最大面积为S，则
把①代入②有







即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？

分析与解 因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，
在极限
状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．
设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB
是切线．
为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，
使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，
所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，
所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．



4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△AC D
的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S
△
ABC
≥2S
△
AKL
．
证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．
因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，
所以 ∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．
因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以
∠1=∠2=45°，∠3=∠4，
所以 △ADN∽△BDM，

又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以 △MDN∽△BDA，
所以 ∠BAD=∠MND．
由于∠BAD=∠LCD，所以 ∠MND=∠LCD，
所以D，C，L，N四点共圆，所以 ∠ALK=∠NDC=45°．

同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为 △AKM≌△ADM，
所以 AK=AD=AL．而

而

从而

所以 S
△
ABC
≥S
△
AKL
．


5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．
证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P
1
，Q
1
，连结 P
1
C，显然，PQ≤P
1
Q
1
．
因为∠AQ< br>1
P
1
+∠P
1
Q
1
C=180°， 所以∠AQ
1
P
1
和∠P
1
Q
1
C中 至少有一个直角或钝角．
若∠AQ
1
P
1
≥90°，则 PQ≤P
1
Q
1
≤AP
1
≤AB；
若∠P
1
Q
1
C≥90°，则 PQ≤P
1
Q
1
≤P
1
C．
同理，∠AP
1
C和∠BP
1
C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠
BP
1< br>C≥90°，
则 P
1
C≤BC=AB．
对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．



6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距
离设为d
1
，d
2
，求d
1
+d
2
的最大 值(1992年上海初中赛题)．

解 如图3－96，延长BA到B′，使AB′=A B，连B′C，则过顶点A的直线l
或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．
(1)若l与BC相交于D，则
所以

只有当l⊥BC时，取等号．

(2)若l′与B′C相交于D′，则

所以

上式只有l′⊥B′C时，等号成立．



7. 如图3－9 7．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆
相切，延长AO，BO分别与单位圆 交于C，D．试求四边形ABCD面积的
最小值．

解 设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而
即 AB≥2．


当AO=BO时，AB有最小值2．从而

所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为
















●几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中 某些几何元素的几何量保持不变，或
几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值 问题的基本
方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，
先探 求出定值，再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确 定的量
(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基
本方法 有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点． 这
是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数
形结合、特 殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别
以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，
DQ⊥CC′，CD
2
=DQ
2
+CQ
2
，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小 ，
本例也可设AP=
x
，则PB=
10x
，从代数角度探求CD 的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特< br>殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．

【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，
⌒
切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为
的度数（ ）
A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动
C．保持30°不变 D．保持60°不变
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的量取得定值与最值．

【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=
a
，BC=
b
(
a
>
b
)，P为AB
边上的一动点，
直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．
思路点拨 设AP=
x
，把AP、BQ分别用
x
的代数式表示，运用不等式
a
2
 b
2
2ab
(当且仅当
ab
时取等号)来求最小值．


【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点
⌒
M，设 直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK
和BN的乘积与M点的选择无关 ．
思路点拨 即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC
的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为
△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB
2
，
从而我们的证明目标更加明确．

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证
明问题．

【例5】 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三
12

个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长 的最大可能
值．
思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB 上
时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或
CB)上时 ，设CX=
x
，CZ=
y
，建立
x
，
y
的 关系式，运用代数的方法求直角边的
最大值．

注：数形结合法解几何最值问题 ，即适当地选取变量，建立几何元素间的函
数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解． 常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．

学力训练
1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点
或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线， 垂足分别是B′、C′、D′，则
BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．

2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，
R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ．

3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到
MN的距离BD= 5，CD=4，P在直线MN上运动，则
PAPB
的最大值等
于 ．







4．如图，A点是半圆上一个三等分 点，B点是弧AN的中点，P点是直径
MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为( )
A．1 B．
2
C．
2
D．
31

2
5．如图，圆柱 的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，
沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短 距离是( )
A．
21

2
B．
214

2
C．
41

2
D．
24

2

6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是D C、BC上的点，E，F分别是
AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结 论成立
的是( )
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定

7．如图，点C是线 段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以
AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形BCE，AE与
CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否 存在这样的一点
C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不
存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)





8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，
P是 S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．





9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直< br>线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；
(2)当点P为线 段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，
请证明，如果不成立，请说明理由．





10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角 成为五边形ABCDE，其中
AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则 矩形PNDM的
面积最大值是( )
A．8 B．12 C．



25
D．14
2

11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于
点B，AB=2；AC =1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最
大面积是( )
A．
22
B．
12
C．
32
D．
32

12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、AC上分别取
点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长< br>度．







13．如图 ，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，
AV与DU相交于点P，BV与 CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．

14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已
知每个喷水器的 喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的
距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花 坛的面积最大?

15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民 广
场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面
积的和 为800平方米．
(1)设矩形的边AB=
x
(米)，AM=
y
( 米)，用含
x
的代数式表示
y
为 ．
(2)现计 划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在
四个相同的矩形区域上铺设花岗岩 地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三
角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为2 35000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设
任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 ．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工
程的建设任 务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．
(镇江市中考题)





16．某房地产公司拥有一块―缺角矩形‖荒地ABCDE ，边长和方向如图，欲
在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的< br>最大面积(精确到1m
2
)．

参考答案

●最短路线问题

通常最短路线问题是以―平面内连结两点的线中，直线段最短 ‖为原则引申出
来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短
路线问题．

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面
内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许
走的路程限于凸多面体 表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱
和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但 允许上述哪种情况，它们都有一
个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥 面和棱
柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．
这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地
球（近似看成圆球）上A 、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两
点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的 截痕为圆周（称大圆），在
这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间 的
最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．

在 求最短路线时，一般我们先用―对称‖的方法化成两点之间的最短距离问

题，而两点之间 直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变
为一个和它等价的问题，再设法解决，是 数学中一种常用的重要思想方法．

例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报． 在去B地之前需要
先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．


解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且
使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，
此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′．
∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，
而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直
线段，
所以PA+PB是最短路线．

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一 条最短路线即直线段A′B，
所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．

例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的
B点 捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？
解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转9 0°（如下页右图），使它和含A
点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置 记为B′，则
A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，
折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．


证明：在墙棱上任 取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转
90°后的路线AP′B′走都比直线段A PB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．
由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平 面上的两点之间的最短路

线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上 的两点连起来，
所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的
最短路线．

例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′， AD=1，有一只小虫从顶
点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（ 1））


解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的 两个
相邻的面―展开‖在同一平面上，在这个―展开‖后的平面上 D′B间的最短路线就
是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择． < br>①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在
一个平面上（上页图（ 2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是
连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形 ABD′的斜边，根据勾股定理，
D′B
2
=D′A
2
+AB
2
=（1+2）
2
＋4
2
=25，∴D′B=5．

②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．

③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开
在同一平面上，同理 求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），
有：
D′B
2
＝2
2
+（1+4）
2
=29．

④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平
方也是29．

⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊
开在同一 平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），
D′B=（2+4）+1=37．
⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平
方也是37．

222

比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所 以小虫从D′点出发，经
过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入
下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．

利用例2、例3中 求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，
可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不 相邻的侧面上A和B两点之间
的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平 面都
相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2
是 线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．


圆 柱表面的最短路线是一条曲线，―展开‖后也是直线，这条曲线称为螺旋
线．因为它具有最短的性质，所 以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉
上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽， 枪膛里的螺纹等都是螺
旋线，看下面例题．

例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一 个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果
将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线 路嵌金线才能
使金线的用量最少？

解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成 平面图形如上页右图（把图
中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连 接AB′，
再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接
AB 且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．

例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为
起点， 以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中

的圆锥面 时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆
锥之后，AB′所成的曲线 为所求．

例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到
桶口 D点的距离是 8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果
蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程 总长是多少？


分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由 于B点在
里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，
作 出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．


解：将圆柱面展成平面 图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B
关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿 线CD于O．
因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短
线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，
故蚂蚁应该在桶 外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF 是斜边，EF=CD，
根据勾股定理， AF
2
=（AC+CE）
2
+EF
2
＝（12＋8）2
＋15
2
＝625=25
2
，解得
AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．

例7 A、B两个村子，中间隔了一条 小河（如下图），现在要在小河上
架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点 ，使A、
B两个村子之间路程最短．


分析 因为桥垂直于河岸，所以 最短路线必然是条折线，直接找出这条折线
很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河 宽，而河宽是定值，
所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，

就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．
< br>解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结
BC交河岸于D点，作D E垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村
行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ ED＋DB．

例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规< br>则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，
试问应选择怎样的 路线才能使路程最短？

解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和 B′，连
结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，
即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA．
证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线 段A′B′的长度．而
从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中
用―·—· —·‖表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于
A′B′的长度，所 以A→E→F→B→A是最短路线．

●对称问题

教学目的 ：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、
中心对称问题有一个比较深入的认识 ，可以通过对称的性质及三角形两边之和与
第三边的关系找到证明的方法。

教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。

一、点关于一条直线的对称问题
问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去 喝水。有什么
办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？

问题数学化：设小明 与小狗在A处，家在B处，小河为
L
L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使 得
AC+BC最短。（如图所示）
A

B
知识介绍：两条线段之和 最短，往往利用对称的思想，
把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出 结果。

中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。
轴对称 有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N
的方法是：过M作MO垂直于PQ于 点O，并延长MO到点N，使NO=MO，
则点N就是点M关于直线PQ的对称点。
A'
A'
问题分析：过A作AO垂直于直
线L于点O，延长AO到点A’， 使
C
C
L
L
O
O
A’O=AO，连接A’B，交直 线L于点
D
A
C，则小明沿着ACB的路径就可以满
A
B
B
足小狗喝上水，同时又使回家的路
程最短。

问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。

P
问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两
点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
L
提示：作PC平行于AB，且PC==AB，则问题变为：在直线L
A
B
上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。

问题的 延伸2：在两条相交线
P
2
之外有一个定点P，分别在两条直
C
B< br>C
P
1
B
L
1
P
L
2
L< br>1
P
L
2

线上找点B、C使得PB+BC+CP最短， 如何确定B、C的位置？
提示：分别作点P关于直线L
1
和直线L
2
的对称点P
1
和P
2
，连接P
1
P
2
分 别
与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。
二、桥该建在哪里：
问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，
农场主经常要在这 两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建
造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求 桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，
才能使两个加工厂之间的路程最短？

A问题数学化：在直线L
1
和直线L
2
之间作一条垂线段
CD，使 得BC+CD+DA最短。
L
1

L
2
知识介绍：
关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：
B
（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，
线段最短）；
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线 段连接成一条线段，利用两点
之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。
另外 ，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：
如果一个四边形的一组对边平行且 相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：
平行四边形的对边相等。）

问题分析 ：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最
短既可。我们想办法把线段AD
A
A
平移到和线段BC共线的位置，
于是变化为下面两图。
A'< br>A'
问题的总结与结论：一般来
D
Q
L
D
L
1
1
说，我们利用图形的对称性寻找
L
2
L
C
C< br>P
2
到最近的位置，然后利用三角形
B
B
和对称的性质去证明 你所选取的
位置是题目中所要求的位置即可。

A
问题的延伸：如果有两条 河，需要建造两座桥，又
A'
该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段
D
L
1
AA’等于河L
1
－L
2
的宽度；把B向上平 移到B’的位置，
L
2
使线段BB’等于河L
3
－L
4的宽度。连接线段B’A’，交
C
F
L
3
L
2
于点C，交L
3
于点F。过C、F分别作垂线段CD、
L
4
FE，就 是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河
B'
E
流建更多的桥又如何呢？
B

三、对称问题的进一步延伸。

我们已经可以应用轴对称 的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对
于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢 ？
1、直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C，使得：A、B到
B
L
A
C
A'
A
B
L
C的距离的差的绝对值最小。
2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质？
等腰三角形、矩形、正多边形等。

四、如何平分土地：
问题超市：水渠旁有一大 块耕地，要画一条直线为分界
F
D
线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC 边是灌
溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个
E
A
人的需 要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右
图所示），应该怎样平分呢？
B
C

问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直 线，
使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。

问题分析：
M
1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用
AD
矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所
O
Q
N< br>在直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的
对称中心。即经过对称中心O的任意 一条直线都可以平分矩
形的面积。
B
C
P
F
A
B
l
E
D
A
F
E
D
l
C
l
A
B
F
E
D
C
B
C
2、利用这个 结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每
个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个 点作一条直线，这条直线就可以把这
两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：

问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：―这三种
方法只是把土地平分 了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。‖两人为了灌溉
方使，都想把靠近水源的BC边也平分了，谁 会愿意要水源少的那块地呢？这三
种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法 呢？

问题的分析：（如右图所示）
F
T
R直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，
E
取线段BC的中点为P，则直线 PS就是满足两个农民要求
A
的分界线。
S
问题的证明：
TRS
与
PQS
中，三组内角对应相等，
B
Q
且RS=PS，则 两个三角形全等，所以两个三角形的面积相
P
等，于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分 ，且过点
P也使得水源得到了平分。
思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方
案？
五、台球桌上的数学问题
问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称 问题。
台球从球桌的一个角出发，若沿着
45
角将球打到对边，然后，球经过几次碰 撞，
最后到另外的三个角落之一。如果台球桌的长和宽之比为2:1，需要碰撞几次？
如果台球 桌的长和宽之比为3:2、4:3、5:2、5:3……情况又会怎样？
知识介绍：此题类似于物理中 光线的反射，当光线入射到平面镜上的时候，
光线会被镜子反射。把反射光线和入射光线看成两条直线的 话，那么入射角等于
反射角。这在数学上就是轴对称。在台球桌（长方形），由于入射角是
45 
，所
以反射角也是
45
，这样入射线和反射线形成一个直角，相应的，在 台球桌上就
构成了一个等腰直角三角形，利用这一性质我们可以得到一些有趣的结论。
问题分析：我们分下面几种情况进行分析：
（1）如果长宽比为2:1，如图，则1次就够了；
（2）如果长宽比为3:2，如图，则要碰撞3次，可以到左下角；
（3）如果长宽比为4:3，如图，则要碰撞5次，可以进洞；
（4）如果长宽比为5:3和 7:5，分别如下图所示，分别需要6和10次碰撞
D
C
始
始
1可以进洞。
终
始
3
4
5
3
终
23
终
问
1
始
2
1
始
5
10< br>9
6
6
4
1
3
2
终
题
的< br>总
结：
7
2
4
5
8
1
终
可能的关系
2+1－2=1
3+2－2=3
台球桌的长a
2
3
台球桌的宽b
1
2
碰撞的次数c
1
3

4+3－2=5
4 3 5
5+3－2=6
5 3 6
7+5－2=10
7 5 10
ab2c

a b ?
问题的猜想：如果台球桌的长和宽之比为m:n（其中m、n互质的正整数），
那么碰撞的次数 是：
mn2







●巧作―对称点‖妙解最值题

在初中平面几何尤其在初中数学竞赛题中，我们经常 会碰到求两线段和的最
大值或和最小值的问题，对这类题目大家感到无从下手，求解有一定的难度，但< br>只要通过作―对称点‖都可迎刃而解的，现举例说明如下：

例1 如图1，点A、 B表示两个村庄，直线L表示一条公路，（村庄A、B
在公路的同侧）现要在公路L上建造一个汽车站， 使车站到A、B两个村庄的距
离之和最短，问车站应建在何处？
解 作A点于L的对称点< br>A

，连结
A

B交L于C，则点C就是所建车站的
位置。
证明 在直线L上另取一点
C

连结AC，A
C

，
A

C

，
C

B
，因为直线L
是点A、
A

的对称轴，点C在对称轴上，所以AC=A
C

，A
C

=
A

C
，
所以AC+CB= A
C

+CB=
A

B，
在△
A

C

B
中，
因为
A

B<
A

C

+
C

B
，
所以AC+CBC

+
C

B
即AC+CB最小










例2 已知定点A（1，2），B（3，4），在x轴的点P，使点P到A、 B两点
距离之和最短，求P点坐标。
解 由例1启发，如图2作A（1，2）关于x轴的对 称点
A

（1，-2）则过

点
A

（1，-2）、B（3，4）两点的直线解析为：
y3x5
，该直线与x轴交点坐
5
标为
(,0)
即为所求P点坐标。（证略）
3

例3 如图3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，
求PE与PC的长度和 的最小值。
解 因为ABCD为正方形，所以A、C是关于BD所在直线对称的对称点，
连 结AP，由对称性知：AP=PC，则PC+PE的最小值为AP+PE的最小值，而AP+PE
的最小 值由例1证明可知即为线段AE。 在
RtABE
中
AEAB
2BE
2
2
2
3
2
13
。
本 例还可如图4，在AB上作点E关于BD的对称点
E

，连
PE
< br>，
CE

，同
样有
PCPEPCPE

CE

BE

2
BC
2
13
。








例4 三角 形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一
点，PA+PM的最大值和最小值分别 记为S和t则
S
2
t
2
=__________________
分析 本题比上例更有一定的难度，S还好求，因为PA≤AC，PM≤CM，所
以
PAPMCACM23
，当点P为顶点C时，等号成立，所以
S23
。
关键在于T，以BC为边作正三角形
A

BC
，如图5，作M关于B C所在的
直线对称点
M

，连结
PM

、
AM

，因为
ABCCBA

，所以
M
< br>在
BA

上，
且
BM

BM1
，PM=
PM

，PA+PM=PA+
PM

≥
A M

，连结
CM

，则
ACM

90
0
，所以
AM

AC
2
CM

2
437
所以
t7
。所以
S
2
t< br>2
(23)
2
(7)
2
43











例5 矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、AB上各取一
点M、 N，使MB+MN值最小，求这个最小值。
解 如图6，作B关于AC的对称点
B

，连结
AB

，则N点关于AC的对称

点
N

在
AB

上，这时BM+MN的最小值，即为BM+M
N

的最小值，显然
BM+M
N

的最小值等于点B到AB

的距离BH。

现在求BH的长，设
AB

与DC交于P点，连结BP，则
111
S
ABP
APBHS
矩形ABCD
2010100 (平方厘米)

222
B

与B关于AC对称12


13PAPC

矩形ABCD中,DCAB23


设AP=PC=x，则DP=20-x
在Rt△APD中，由勾股定理，得PA
2
=DP
2
+DA
2
即
x
2
(20x)
2
10
2
，
解得x=12.5（厘米），即AP=12.5（厘米 ）。
2
16(厘米)
， 所以
BH100
12.5
即BM+MN的最小值是16厘米。
通过 作―对称点‖使几何题中求两线段和的最大或最小值，这类难题得到
顺利解决。此法简单明了，直观易懂 ，而对于培养学生创新思维和创新能力，提
高学生空间想象能力确有一定的帮助。




●数学最值题的常用解法

在中学数学题中，最值题是常见题 型，围绕最大（小）值所出的数学题是各
种各样，就其解法，主要为以下几种：

一. 二次函数的最值公式
二次函数
yax
2
bxc
（a、b、c为常数且
a0
）其性质中有
b
4acb
2①若
a0
当
x
时，y有最小值。
y
min

；
2a
4a
b
4acb
2
②若
a 0
当
x
时，y有最大值。
y
max

。 < br>2a
4a
利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。

例1. 某玩 具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出
的产品全部售出，已知生产x只玩具熊 猫的成本为R（元），售价每只为P（元），
且R、P与x的关系式分别为
R50030x
，
P1702x
。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）根据题意得
1750PxR

(1702x)x(50030x)1750

整理得
x
2
70x11250

解得
x
1
25
，
x
2
45
（不合题意，舍 去）
（2）由题意知，利润为

PxR2x< br>2
140x5002(x35)
2
1950

所以当
x35
时，最大利润为1950元。

二. 一次函数的增减性
一次函数
ykxb(k0)
的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条< br>直线，因而没有最大（小）值；但当
mxn
时，则一次函数的图象是一条线
段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种 的工人150人，甲、乙两种工种的工
人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数 不少于甲种工种人
数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为
(150x)
人，
由题意得：
150x2x
所以
0x50

设所招聘的工人共需付月工资y元，则有：

y600x1000(150x)400x150000
（
0x50
）
因为y随x的增大而减小
所以当
x50
时，
y
min
130000
（元）

三. 判别式法
x
2
x1
例3. 求
2
的最大值与最小值。
xx1
分析：此题要求出最大值与最小值，直 接求则较困难，若根据题意构造一个
关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得
 0
，进而求出y的取
值范围，并由此得出y的最值。
x
2
x1
y
，整理得
x
2
x1yx
2
yxy< br> 解：设
2
xx1
即
(1y)x
2
(1y)x1y0

因为x是实数，所以
0

即
(1y)
2
4(1y)
2
0

1
解得
y3

3
1
x
2
x1
所以
2
的最大值是3，最小值是。
3
xx1

四. 构造函数法
―最值‖问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函
数。
例4. 求代数式
x1x
2
的最大值和最小值。

解：设
yx1x
2
，
1x1，再令
xsin

，

2

1sin
sin

cos



yx1 x
2
sin

2




2< br>，则有
1
sin2


2
所以得y的最大值为
11
，最小值为


22

五. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有
a
2
b
2
kk
，当且仅当
ab0
时，等号成立，
即
a2
b
2
k
的最小值为k。

例5. 设a、b为 实数，那么
a
2
abb
2
a2b
的最小值为___ ____。
解：
a
2
abb
2
a2b

a
2
(b1)ab
2
2b
b1
2
3
231
)bb

(a

2424
b 1
2
3
(a)(b1)
2
11
24
b1
0
，
b10
，即
a0，b1
时， 当
a
2
上式等号成立。故所求的最小值为－1。

六. 零点区间讨论法
例6. 求函数
y|x1||x4|5
的最大值。 分析：本题先用―零点区间讨论法‖消去函数y中绝对值符号，然后求出y在
各个区间上的最大值， 再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
解：易知该函数有两个零点
x1
、
x4

当
x4
时

y(x1)(x4)50

当
4x1
时

y(x1)(x4)52x8

当
4x1
得

10y2x80

当x1时，
y(x1)(x4)510

综上所述，当
x4
时，y有最大值为
y
max
0


七. 利用不等式与判别式求解
在不等式xa中，
xa
是最 大值，在不等式
xb
中，
xb
是最小值。
例7. 已知x、y 为实数，且满足
xym5
，
xyymmx3
，求实数m
最大值与最小值。

xy5m
解：由题意得

< br>2

xy3m(xy)3m(5m)m5m3

所以x、y是关于t的方程
t
2
(5m)t(m
2
5m3)0
的两实数根，
所以

[(5m)]
2
4(m
2
5m3)0

即
3m
2
10m130

13
解得
1m

3
13
m的最大值是，m的最小值是－1。
3

八. ―夹逼法‖求最值
在解某 些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值
范围内，再通过解不等式获取问题的 答案，这一方法称为―夹逼法‖。
例8. 不等边三角形
ABC
的两边上的高分别 为4和12且第三边上的高为整
数，那么此高的最大值可能为________。
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为
2S
ABC
4a12bch
，所以
a3b

又因为
cab4b
，代入
12bch

得
12b4bh
，所以
h3

又因为
cab2b
，代入
12bch

得
12b2bh
，所以
h6

所以3

●求最值问题

最值型应用问题经常出现在近几年的中考试卷中。这类问题贴近生活、贴近
社会，有 利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、
建模和综合应用等各方面的能力。 本文举几例求最值的问题。

利用一次函数的性质来求最值问题
对于一般的一次函 数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在
最大最小值（简称―最值‖），但在实际问题中 ，因题目中的自变量受到实际问题
的限制，所以就有可能出现最大或最小值。求解这类问题除正确确定函 数表达式
外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。

例１、（2008年 泉州市初中学业质量检查）红星服装厂准备生产一批A、B
两种型号的演出服，已知每小时生产A型演出 服比B型演出服少2套，且生产
18套A型演出服与生产24套B型演出服所用的时间相同。
设该厂每小时可生产A型演出服a套，用含a的代数式表示该厂生产24套
B型演出服所用的时间；求出 a的值。
若该厂要在8小时之内（含8小时）先后生产A、B两种型号的演出服50
套，且生 产一套A、B两种型号的演出服可得利润分别为40元和30元，问应如
何安排生产A、B两种型号的演 出服的套数，才能使获得的总利润最大？最大的
总利润是多少元？
2418
分析：（１） ①或
a2a
2418

②解得
a6

a2a
（２）设生产A型演出服
x
套，依题意得
x50x
8
， 解得
x42
。W利润＝
4 0x30

50x

10x1500

68
W利润是
x
一次函数，利用一次函数的增减性
∵
k100

∴W随
x
的增大而增大，
∵
x42
，
∴当
x42
时，W利润有最大值＝
104215001920


例２ 某房地产开发公司计划建A、B两种户 型的住房共80套，该公司所筹
资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于 建房，两种户
型的建房成本和售价如下表：

A B
成本(万元套)
25 28
售价(万元套)
30 34
(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?
(2)该公司如何建房获得利润最大?
(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将

会提高a万 元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得
利润最大?

注：利润=售价-成本
分析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80- x)套，根据题
意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不等式，
解不等式组，即可求出x的取值范围，进而确定x的正整数值. (2)根据一次函数
的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维
的缜密性.
解析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套．
由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096
48≤x≤50
∵ x取非负整数， ∴x为48，49，50．
∴ 有三种建房方案：
A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30
套
(2)设该公司建房获得利润
Ｗ
(万元)．
由题意知
Ｗ
=5x+6(80-x)=480-x
∴ 当x=48时，
Ｗ
最大
=432(万元)
即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大
(3)由题意知
Ｗ
=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x
∴ 当OＷ
最大，
即A型住房建48套，B型住房建32套
当a=l时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等
当a>1时，x=50，
Ｗ
最大，
即A型住房建50套，B型住房建30套.
答:略.
说明:此题的第(1)问是利用一元一次不等式组解决的,第(2) 、(3)问是利用一
次函数的增减性解决问题的,要注意三问相互联系.

二、利用反比例函数的性质来求最值问题
例：一名工人一天能生产某种玩具３至５个，若每天 须生产这种玩具４００
个，那么须招聘工人多少名？
分析：这是一道反比例函数模型的应用题 ，这里４００是常量。设每人每天
400
生产x个玩具，需要工人
y
名。则有
y
。（３
x5
，且x为整数）
x
∵当
x0
时，
y
随
x
的增大而减小，
4004001
y
∴，即
80y133

533< br>∵
y
为正整数，∴
y
取８０至１３４。即须招聘工人为80至134人 。

三、利用二次函数的性质求最值问题
对于某些与二次函数有关的实际问题，如 果我们能够将实际问题抽象为二次

函数的数学模型，建立起二次函数的关系式，应用二次 函数最值性质，可以解决
许多实际问题。
例１．将进货单价40元的商品按50元一个售出时 ，能卖出500个，若此商
品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少 ？
解：设利润为
y
元，每个售价为
x
元，则每个涨（
x< br>－50）元，从而销售量
减少
10(x50)个,共售出500-10(x-50)= 100-10x(个)

∴
y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)
2
9000(50x
＜100）
∴
x70时y
max
9000
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例２、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件 成本为
50
元，第二、
第三季度每件产品平均降低成本的百分率为
x

⑴ 请用含
x
的代数式表示第二季度每件产品的成本；
⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少
9.5
元，试求
x
的值
⑶ 该产品第二季度每件的销售价为
60
元，第三季度每件的销售价比第二
．．．
季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分
．．率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于
48
元，设第三季度每件产品获得
的 利润为
y
元，试求
y
与
x
的函数关系式，并利用函数图象与 性质求
y
的最大值
．．
（注：利润

销售价
成本）
分析：（1）
50

1x

⑵
50

1x

2
509.5
解得
x0.1

（3）
60

1x

48,
解得
x0.2
而
x0
，∴
0x 0.2

而
y60

1x

50

1x

2

＝
50x
2
40x10

＝
50

x0.4

2
18
∵当
x0.4
时，利用二次函数的增减性，
y
随
x
的 增大而增大，而
0x0.2
，
∴当
x0.2
时，
y
最大值＝18（元）
说明：当自变 量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，
而当自变量取值范围为某一区间时，二次函 数的最值应注意下列两种情形：
若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函
数的最值。

四、利用对称性来求最值问题。
类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。
（一）在几何题组中的应用
例１、如图，菱形ABCD中，AB＝2，，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P
是对角线AC上 的一个动点，则PE+PB的最小最是
Ｄ
分析：由菱形的性质知：点Ｂ与点Ｄ关于ＡＣ对称。因为Ｐ
在ＡＣ上支运动，所以ＰＢ＝ＰＤ。
P
1
Ｐ
要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。连接ＤＥＡ
1
Ｍ
交ＡＣ于点
P
，则ＤＥ即为所求。又∠BAD＝60°， ＡＥ＝Ａ
Ｅ
1
2
Ｂ
Ｃ

Ｄ，Ｅ为ＡＢ的中 点，所以ＤＥ⊥ＡＢ，而ＡＢ＝ＡＤ＝２，所以ＤＥ＝
3
，
即 PＤ+PB的最小值为
3


例２、如图，∠ＡＯＢ＝４５°角内有一点Ｐ， ＯＰ＝１０，在角的两边上
有两点Ｑ、Ｒ（均不同于点Ｏ），则△ＰＱＲ的周长的最小值为
Ａ
P
1

分析：作Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ的对称点
P
1
，
P
2
。
连接
P
1
P
2
，分别交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。
Ｑ
Ｐ
如图所示，再连接ＰＱ，ＰＲ。
易知
P
1
Ｑ＝ＰＱ，
P
2
Ｒ＝ＰＲ，
Ｏ Ｒ
所以△ＰＱＲ的周长＝
P
1
Ｑ+ＱＲ+
P
2
Ｒ。
根据两点之间线段最短，
P
2

PP
△ＰＱＲ的周长＝
P
，而∠ＰＯＡ＝∠ＯＡ，
121
∠ＰＯＢ＝∠
P
2
ＯＢ，且ＯＰ＝Ｏ
P
1
＝Ｏ
P< br>2
＝１０，
又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠
P

1
Ｏ
P
2
＝９０°
即△
P
1
Ｏ
P
2< br>为等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周长的最小值为
102


（二）在代数题组中应用
1
例1，如图，抛物线
yx
2
bx2
与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C
2
点，
Y
且A（－1，0）。求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标
判断△
ＡＢＣ
的形状，证明你的结论。点Ｍ（m，0）
E
是Ｘ轴上的一个动点，当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，
求m的值
M
1
2
A O B
分析：（1）将A（－1，0）代入
yxbx2

2
313< br>得
b
，所以抛物线的解析式
yx
2
x2

C
222
1325

325

配方得：
y(x)
2

，所以顶点D

,


D
228
28

（2）求出AC=
5
，BC=
20
，而AB=5
∴
AC
2
BC
2
 AB
2
，故△ＡＢＣ为RT△
（3）作点C关于X轴的对称点E（
2
，0），
连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的
41
解析式：
yx2
，当
y
=0
Y
12
24
时，解得
x
=
41
P
2424
∴Ｍ（，0）即m=
4141
C 2 F B

N
1

F
1

例2、如图以矩形ＯＡＢＣ的顶
N
O
E
D M
Ｂ
X

P
1

M
1

A
3 X
E
1

点Ｏ为原点，ＯＡ所在的直线为Ｘ轴 ，ＯＣ所在的直线为Ｙ轴，建立平面直角坐
标系。
已知ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，点Ｅ是ＡＢ的中 点，在ＯＡ上取一点Ｄ，将△
Ｂ
ＡＤ
沿ＢＤ翻折，使点Ａ落在ＢＣ边上的点Ｆ处。
直接写出点Ｅ、Ｆ的坐标：
设顶点为Ｆ的抛物线交Ｙ轴正半轴于点Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ为顶点 的三角形
是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
在Ｘ轴、Ｙ轴上是否分别存在点Ｍ、Ｎ，使得 四边形ＭＮＦＥ的周长最小？
如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。
分析：（1）Ｅ（3，1），F（1，2）
在RT△FEB中，FB=2，BE=1，∴EF=
5
，
当
EP
1
（0，0）不合题意
1
5
时，
P
当
EP5
时，如图所示P（0，4）
设抛物线的解析式为
y a(x1)
2
2
，且过点P（0，4），代入得
4a(01)2
2

∴
a2
，∴
y2(x1)
2
2

作点F关于Y轴的对称点
F
1
，点E关于X轴的对称点
E
1
，连接
F
1
E
1
分别交
X轴，Y轴于点M，N。此时四边形 ＭＮＦＥ的周长最小，
∵
F
1
E
1
= FN+MN+M E=
F
1
NMNME
1
F
1
N
1< br>M
1
N
1
M
1
E
1

F
1
E
1
=
3
2
4
2
5
，
∴四边形ＭＮＦＥ的周长最 小值=
F
1
E
1
+EF=
55

●有理数的一题多解

有理数是学生进入初中阶段接触的第一块系统 学习的代数知识，它不仅在知
识体系上让学生第一次领略了系统性、层次性，而且也渗透了―分类‖、― 一题多
解‖等好的数学思想。所谓―一题多解‖，是指答案的多样性或方法的多样性。
本文试就本章出现的一题多解问题作一归类说明。

绝对值方程中的一题多解
一个数的绝对值表示点到原点的距离，而互为相反数的两数到原点的距离相
同，故方程 |x|=a(a>0) 的解有两个：x
1
=a或x
2
=—a,他们是一对互为相反数。

例1解方程|x+1|=2
解：∵|x+1|=2 ，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.
评注
：若|x|=0,则x=0,此时方程只有一解，注意区别。

例2 方程|x-2|+|x-3|=1的解的个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3（第41届美国高中数学竞赛，第4届
初中祖冲之杯数学邀请赛试题）
解：该题的几何意义是：点x到2的距离与到3 的距离的和等于1，由图形
可知，x在这两点之间（含这两点），
即方程的解是2≤x≤3 ,故选E
0 1 2 3

最值问题中的一题多解
所谓最值，即指最大 值或最小值，在本章中涉及的最值问题主要是与绝对值
相关的距离的最值，在竞赛中会有所涉及。

例3 求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此时x的取值范围。
解：根据 绝对值的几何意义，y表示数轴上的一点x到两点1和3之间的距
离之和，从数轴上看，当x<1或x> 3时,y取不到最大、最小值，当1≤x≤3时，y
A B
可取最小值2，此时使y取最小值2的
点分布在线段AB上，即1≤x≤3.
0 1 3

例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此时x的取值范围。
解: 同例3,y表示数轴上的点x到点1、3的距离之差，分情况讨论如下：
1)x>3时，y=2
x
2) 1≤x≤3时,-2≤y≤2
0 1 3
3)x<1时，y=-2.
故y取最大值为2，此时x≥3,取最小值
-2，此时x≤1.

x
0
0
1
1
x
3
3
评注
：例3与例4的区别在于相差一个

符号，而结果却大相径庭。但这一点从几
何意义上来看，是很清晰的。所以， 对于此类与距离有关的最值问题，我们
可以借助于图形，以获得直观的理解。
乘方运算中的一题多解

在乘法运算中，根据符号法则——同好得正，异号得负，故 有1

1=1，
(-1)

(-1)=1，故解方程x
2< br>=1时，x可取1或-1，即二次方程x
2
=1有二解。当然，
这里的1可以换 成其他的数。

例5解方程(x-3)
2
=9
解：∵3
2
=9,(-3)
2
=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.
评注：由于所学知识有限，现阶段我们只能利用乘方的含义求解诸如―x
2
=a
2,a
为有理数‖的二次方程，更一般的二次方程的解法构成了初中数学的一大分支，
将在以 后学到。

例6 解方程x
3
=x
解:由x
3
=x得x
3
-x=0,即：x(x
2
-1)=0,故，x=0或x
2
=1，即x=1或-1，
综上，原方程的解为x=0，1，-1.
评注
： 并非所有的形如x
n
=a(a≥0)的方程都有多解，如x
4
=64就只有一 个解
x=4.一般地，对方程x
n
=a(a>0)，若n为偶数，则方程有2解，且二 解互为相反数；
若n为奇数，则只有一解。

四则运算中的一题多解
< br>此处的―一题多解‖取多种解法的意思。我们知道，四则运算中，运算律或运
算技巧的使用可以让 我们充分领略―条条大路通罗马‖的数学思想方法。当我们熟
悉多种方法后，可以选择一种最好的。

37778
例7计算(
1
--)

(-)+(-)
83
4
812
8
77788
解一：原式=（--）
(

)+(-)=

422114

8
-
3
4812
7
247
3
=

7

8

8
= -3
2473< br>解二：原式=（
8
7778
--）

(

) +(-)
3
4812
7
28
=

7

8

7

8

7

8

8
=-2+1+-=-3
33
47871273< br>评注
：解法一在括号内通分后计算，是通常的路子；解法二注意到括号内分
数分子相同， 可与括号外的分数约分，使用了分配律，易于口算。因而快捷一些。

例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.
解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+ …+(2001-2002)+2003
=(-1)+(-1)+(-1)+ …(-1)+2003

=-1001+2003=1002
解二：S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2 002)=
(12003)1002
-
(22002)1001

2
2
=1002

1002-1002

1001=1002
解三：S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+ …+(-2002+2003)
=1+1

1001=1002
评注
：解法一、三 如出一辙，不过解法三灵活利用了减法的意义——减去一
个数等于加上这个数的相反数，因而避开了负数 的运算，解题过程更―安全‖；解
法二思路简单：正负数分别相加，再把结果相减，不过利用了数列的求 和公式，
技巧颇高。

例9计算S=2-2
2
-2
3-2
4
-2
5
-2
6
-2
7
-28
-2
9
+2
10
解一：S=(2
2
-2) –(2
3
-2
2
)-(2
4
-2
3
)-… (2
10
-2
9
)+2
10
=2
2
-2-2
3
+2
2
-2
4
+2
3
-…-2
10
+2
9
+2
10

=2
2
-2+2
2
=6
解二:S=(2< br>10
-2
9
)-2
8
-2
7
-…-2
2
+2=(2
9
-2
8
)-2
7
-2
6
…-2
2
+2
=(2
8
-2
7
)-2
6
-2
5
-…-2
2
+2=……=2
3< br>-2
2
+2=6
解三:由题意S=2-2
2
-2
3
-2
4
-2
5
-2
6
-2
7
-2
8
-2
9
+2
10

故 2S=2
2
-2
3
-2
4
-2
5
-2
6
- 2
7
-2
8
-2
9
-2
10
+2
11
两式相减得 S=2
2
-2+2
2
-2
10
-2
10
+2
11
=-2+8=6
评注
：解法一 巧用相邻两项的关系得2
n
=2
n+1
-2
n
,因而利用加 法运算律解决问
题；解法二是―倒着走‖，每一步总是把S得表达式缩短一点，从而得解，过程富
有节奏感；解法三则运用了―错位相减法‖，技巧性较强，但具有一般性。

本章中的一题 多解问题只是为我们提供了一个领略数学思想方法的窗口，在
后继课程中我们还要学习更多的一题多解问 题，同学们要能养成及时总结、归纳
的习惯，形成自己的学习方法，从而更高效地学习数学知识。

最后，提供一组练习，供同学们复习巩固使用。

解方程 (2x+4)
2
=16 （x=0或-4）
①求y=|2x-2|+|2x-4|的最值； （1≤x≤2时，y取最小值2）
②求y=|2x-2|-|2x-4|的最值 （x≥2时，y取最大值2；x≤1时，y取最小值-2）

若数x满足|1-x|=1+|x|，那么|x-1|等于下式中的哪一个？
A.1 B.-(x-1) C.x-1 D.1-x
（第三届祖冲之杯试题 选D）

39
1111
计算①
(111)()
（答案：

）
2
281212
63
②S=
1< br>1

1

1

1

1
< br>1
（S=1）
64
248163264

●4道经典题

1.小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回 答说：―我今年的岁数是你的岁
数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年 变成你
的4倍。‖你说，小明的爷爷今年是多少岁？
解：设小明今年的年龄是x岁，那么爷爷年龄是7x。
过n年后，爷爷的年龄是小明的6倍，所以 6(x+n)=7x+n, x=5n.所以x除得尽5。
过m年后，爷爷年龄是小明年龄的6倍，所以5(x+m)=7x+m。所以x=2m.因此x
是偶数。
因此x是10的倍数。爷爷的年龄是70的倍数。(140岁，也可能啊：))
所以爷爷年龄是70岁

设小明的年龄为x岁，爷爷是7x岁。
过了a年，小明的年龄为x+a岁，爷爷是7x+a岁。有
（x+a）*6 = 7x+a，化简得 x = 5a ………………………………（1）
又过了b年，小明的年龄为x+a+b岁，爷爷是7x+a+b岁。有
（x+a+b）*5 = 7x+a+b，化简得 x = 2*（a+b）…………………（2）
又过了c年，小明的年龄为x+a+b+c岁，爷爷是7x+a+b+c岁。有
（x+a+b+c）*4 = 7x+a+b+c，化简得 x = a+b+c …………………（3）

由（1）、（2）、（3）式得
x = 5a ，3x = 10b，x = 2c
x，a，b，c都是正整数，x是5、10、2的倍数，b是3的倍数。
所以x是10的倍数，最小的数是10。

因为小明是小学生，所以只能是10岁，而不能是20岁。所以首先考虑x =10。
因此，a = 2，b = 3，c = 5

当小明是10岁时，爷爷是70岁——爷爷是小明的岁数的7倍；
过了2年，小明是12岁，，爷爷是72岁——爷爷是小明的岁数的6倍；
又过了3年，小明是15岁，，爷爷是75岁——爷爷是小明的岁数的5倍；
又过了5年，小明是20岁，，爷爷是80岁——爷爷是小明的岁数的4倍；

小明的爷爷今年是70岁.

2. 某部队执行任务,以每小时8千 米的速度前进,通信员在队伍中间接到任务
后,以每小时12千米的速度把命令传到队头,然后再传到队 尾,最后返回他在队中
原来的位置,从离开他在队中的位置到返回共用7分12秒,问队伍长多少米?
解：设队伍长x米,通信员来回地跑,往队头跑时,相对于队伍的速度是
12-8=4(千米小 时),而往后跑时,相对于队伍的速度是12+8=20(千米小时),他总共
相对于队伍跑了2倍队伍 的路程,一段速度为4000米小时,一段为20000米小时,
所以 x4000 + x20000 = (7×60+12)3600
解得x=400 则队伍长400米.

设队伍长2x。因为通信员在队伍中间，所以他到队头和队尾的距离均为x。
那么，设他传到队头用的时间t1(也就是他追上最前面的那个人所用的时间)，则：
12t1=x+8t1 即：t1=x4
那么，当他后来从队尾回到原来自己所在位置（队伍中间）的运动过程
与上面相
同，所用的时间也是t2=t1=x4
当他从队头传到队尾时候，设时间为t3（也就是他与最后面的那个人相
遇的时间），则： t3=2x(8+12)=x10
故，整个过程用的时间t=t1+t2+t3=(x4)+(x4)+(x10)=3x5
所以： 3x5=(7.260) 解得： x=0.2km=200m
所以，整个队伍的长=2x=400m

如果以部队为参照物(速度为0) 通信员同向(通信员行进与部队前进方向相
同)速度为 12-8=4kmh 反向速度为 12+8=20kmh
同向所用的时间应该是反向的5倍,等于7分12秒的 56，即6分钟，所以
队伍长度为：4000*（660）=400米

3.如图， Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC
为直径作三个半圆，求阴 影部分的面积。
解：设顶点A、B、C的对边分别为a,b,c，由于ABC为等边三角形，
则a
2
+b
2
=c
2
。以c为直径的半圆除三角形之外的 部分面积为π（c2)
2
2-20,所
以阴影部分的面积为
[π（a2)
2
]2+[π(b2)
2
]2-[π(c2)
2
]2+20=[π(a
2
+b
2
-c
2
)]8 +20=20
三角形ABC的面积+以BC,AC为直径的两个半圆面积- 以AB为直径的半圆
面积

4.有一个三角形满足 a平方+b平方+c平方+338=10a+24b+26c，这是什么三
角形？

解：（a-5）+（b-12）+（c-13）=0
a
2
+ b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c，
答案就是：（a -5）
2
+（b-12）
2
+（c-13）
2
=0,
a=5，b=12，c=13为直角三角形

222