例11：实数
x
、
y
适合 ：
4x5xy4y5
，设
Sxy
，则
2222
1
S
max
+
1
S
min
=____
解析：令
xScos

，
ySsin

，则
4S5Scos

sin

5

55

S
5
45sin

cos

4sin2< br>
2
510510
当
sin2

1
时，< br>y
max

；当
sin2

1
时，< br>y
min

．
55
133
44
22
所以
1
S
ma x

1
S
min

3138

．
10105
22
例12：求函数
y(ax)x
(
|x|a
)的最值．
2232
解析：令
xacos

，则
yasin

acos

asin

cos


又令
tsin

cos
< br>，则
tsin
2
24

cos
2

sin
2

sin
2

2cos
2


1
2
1sin
2

sin
2
2cos
2

3
4
)

(

2327

232323
3
23
3
taya
即有

9999
23
3
23
3
a
，
y
min
a

99
所以
y
max

注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” < br>例13：已知
x
、
y
R
且
3x2y6x
，求
xy
的最值．
22
x1cos


y
2

解析：化
3x2y6x
为
(x1)

6
1
，得参数方程为

ysin

32

2

22
2
xy1cos


610
sin

1sin(



)

22
1010
，
(xy)
min
1
．
22
故
(xy)
max
1

(三)均值换元法
例14 ：已知
ab1
，求证：
ab
的最小值为
44
1
．
8
解析：由于本题中
a
、
b
的取值范围为一切实数， 故不能用三角换元，但根据其和为１，我
11
t
，
bt
，(< br>tR
)，则
22
1111
a
4
b
4< br>(a
2
b
2
)
2
2a
2
b< br>2
[(t)
2
(t)
2
]
2
2( t)
2
(t)
2

2222
11
2222

(2t)2(t)

24
11
2244

(2t4t)(t2t)

48
11
24

3t2t

88
11
44
∴
ab
的最小值为．在
t0
即
ab
时取等号
82
们可以令
a
四、三角函数有界法
对于
xR
，总有
|sinx|1
，
|cosx|1

例15：求函数
ysin2x2cosx
的最值．
解析：
ysin2x2cosxsin2xcos2x1
因为
|sin(2x
当
sin(2x
2
2
2sin(2x)1< br>
4


4
)|1
，故

) 1
时，
y
max
21
；当
sin(2x)1时，
y
min
21
．
44

五、均值不等式法
例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．
解析：设三角形的三边长分别为< br>a
、
b
、
c
，面积为
S
，三角形内一点P
到三边的距离分别
为
x
、
y
、
z

axbycz2S
(定值)
axbycz(
8S
3
即
xyz
(
axbycz
时取等号)
27abc
axbycz
3
)

3
因此，当此 点为三角形的重心时(这时
PAB
、
PBC
、
PAC
面积相等)，它到三边之积
为最大．
例17：有矩形的铁皮，其长为30
cm
，宽为14
cm
，要从四角上剪掉边长为
x

cm
的四个
小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问
x
为何值时，矩形盒子容积最大， 最大
容积是多少？

解析：依题意，矩形盒子底边长为
(302x)

cm
，底边宽为
(142x)

cm
，高为
x

cm
．

盒子容积V＝(302x)(142x)x4x(15x)(7x)x
(显然：
15x0
、
7x0
、
x0
)
设
V
4
(15aax)(7bbx)x

(a0
，
b0)
要用均值不等式．则
ab
ab10

13
解得：，，
x3
．从而
ab

44
15aax 7bbxx

V
6415x213x
()()x576

34444
3
故矩形盒子的最大容积为576
cm
．
也 可：令
V
44
(15aax)(7x)bx
或
V(15x )(7aax)bx

abab
注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件( 一正二定三相等)，当条件不满足时要灵
活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以 用待定系数法来求．
例18：已知
sin

sin

 sin

1
(

、

、

均为 锐角)，那么
cos

cos

cos

的
最大值等于__________
解析：因

、

、

均为锐角，所以
cos

cos

cos


222
cos
2

cos
2

cos
2


cos
2

cos
2

cos
2

3
1sin
2

1s in
2

1sin
2

3
26
()()
339
当且仅当
sin
2

sin< br>2

sin
2


1
时取等号，故
cos

cos

cos

的最大值为
3
26
．
9
ab

的最小值(
a
、
b< br>R
)．

22
sinxcosx
ab
2222

解析：
y
aacotxbbtanxab2abtanxcotx

22
sinxsinx
例19：求函数
y

ab2ab

22
当且仅当
actgxbtgx
即
tgx
2
a
时，函数
y
取得最小值
ab 2ab

b
六、单调性法
(一)利用若干次“

”(或“

”)求函数的最值

例20：求函数
y
11

在
(0
，
)
内的最小值．

sinxcosx
2
解析：
y
当
x
11sinxcosx222
22

sinxc osxsinxcosx
sinxcosxsin2x

4
时，
si nxcosx
，
sin2x1
．上式中的两个 “

”中的等号同时成立，所以
y22
是 “精确的”不等式．因而
y
min
22

另：此题还可用换元
tsinxcosx
以及函数单调性来判断
(二)形如
y
xb

的函数的最值
ax
(1)
a0
，
b0
时，函数在
(
，
ab
］内递增，在
[ab
，
0)
内递减，
在
(0
，
ab
］内递减，在
[ab
，
)
内递增．
(2)
a0
，
b0
时，函数在
(< br>，
ab
］内递减，在
[ab
，
0)
内递增，
在
(0
，
ab
］内递增，在
[a b
，
)
内递减．
(3)
a0
，
b0< br>时，函数在
(
，
0)
内递减，在
(0
，
)
内递减．
(4)
a0
，
b0
时，函数在(
，
0)
内递增，在
(0
，
)
内递增 ．
1
的最值．
16sin
2
xcos
2
x11
222
解析：函数
y4sinxcosx

sin2 x
222
16sinxcosx4sin2x
1
11
2
令
tsin2x
，则
t[0
，
1]
，于是
y t
4
在
(0
，
]
内递减，在
[
，
1]
内递增．
t22
11
22
所以当
t
，即
sinxcosx
时，
y
min
1
；无最大值． 28
例21：求函数
y4sinxcosx
22
2sinxcos
2
x
例22：求函数
y
的最大值．
1sinx
sin
2
x2sinx1(sinx1)
2
22
( sinx1)()
解析：
y

sinx1sinx1sinx1
令
sinx1t
，则
0t2
，函数
yt
2
在
(0
，
)
内递增．所以在
(0
，2]
内也
t
是递增的．当
t2
，即
sinx1时，
y
max
1
．

七、平方开方法
例23：已知
a
、
b
是不相等的正数，求函数
y
的最值 ．
解析：因
a
、
b
是不相等的正数，
cosx
与
sinx
不能同时为０，故
y0
．
acos
2
xbsin
2
x
asin
2
xbcos
2
x
(ab)
2
yab2sin
2
2xab
4
2
当
sin2x1
时，
y
2
2
2
max
2(ab)
，
y
max
2(ab)

ab2ab
，
y
min
ab
当
sin2x0
时，
y
2
min
八、数形结合法
有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，
化难为易的功效 ．
例24：求函数
y
4sinx1
的最值．
3cosx6
1
1
4(sinx)
sinx
4
，只需求函数
u
4
的最值． 解析：将函数式变形为
y
3(cosx2)
c osx2
把
u
看成两点
A(2
，
)
，
B (cosx
，
sinx)
连线的斜率，(
B
即为单位圆上的点)，
则当直线
AB
为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．
设过
A< br>点的单位圆的切线方程为
y
1
4
11
k(x2)
，即
kxy2k0
．
44
1
2k|
35< br>4
1
，解得：
k
1

，
k
2
．从而函数 则圆心到切线的距离为
412
1k
2
|最大值为
y
max

43455
1
；最小值为y
min
()
．
343129
1
2
，求当
x
、
y
为何值时，
ulog
1
(8xy 4y1)
取
3
2
九、利用二次函数的性质
例25：设
x0
，
y0
且
x2y
得最大值和最小值，并求出最大值和最 小值．
解析：由
x2y
11
，得
x2y

22
1
ulog
1
[8(2y)y4y
2
1] log
1
(12y
2
4y1)

33
2< /p>

由
x0
，
y0
且
x2y
1< br>14
2
可得
0y
，从而
112y4y1
(当
y0
时
2
4
3
左边取“=”号，
y1
6
时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即
当
x1
6
、
y
1
6
时，
u(
41
min
log
1
3
)
；当
x
2
、< br>y0
时，
u
max
0
．
3
例26：求函数
y3cosx2cos2x
的最值．
解析 ：
ycos2x3cosx12(cosx
31
4
)
2

8

要使
y
有意义，必须有
cos2x3cosx10
，即
1
2
cosx1
．
故 当
cosx
34
时，
y
12
1
max

8

4
；当
cosx
2
(或
1
)时，
y
min
0
.
例27：求函数
y24msinxcos2x
的最值．
解析：
y24msinx(12sin
2
x)2(sinxm)
2
 12m
2

因为
|sinx|1
，结合二次函数图象及其性质：
当
m(
，
1]
时，
y
max
3 4m
，
y
min
34m
．
当
m[1< br>，
0]
时，
y
2
max
34m
，
y
min
12m
．
当
m[0
，
1]时，
y
2
max
34m
，
y
min
12m
．
当
m[1
，
)
时，
ymax
34m
，
y
min
34m
．
十、放缩法
例28：若
a
、
b
、
cR

，且
abc3
，则
a1b1c1
的最大值是（
解析：
a12
(a1)2
2

a3
2

同理，
b12
b3c3
2
，
c1 2
2
．
三式相加，
a12b12c12
a 3
2

b3c3
2

2
6

即
a1b1c132

）

当且仅当
a1
十一、导数法
b1c12
即
abc1
时取等号．
例29：求函数
f(x)xxx3
在
[3,3]
上的最值
解析：
f(x)3x2x1(3x1)(x1)0
，得
x< br>2
32
1
或x1

3
122
f()2
，
f(1)4
，
f(3)12
，
f(3)36

327
所以函数最大值为36，最小值为
12

注意： 要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都
用该方法，导数法往 往就是最简便的方法，应该引起足够重视．
例30：求函数
f(x)2x16x
的最值
解析：函数的定义域为
[1,6]
,
f(x)

1
x1

1< br>26x

f

(x)01x5
；
f

(x)05x6
，又
f(x)
是
[1,6]
上的连 续函数
故有
f(x)
在
[1,5]
上递增，在
[5,6]
上递减．
f(1)
故函数最大值为
5
，最小值为
5

当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里
只是 对求最值问题的方法作一个部分的归纳．就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，
如例7就用到了换 元法和单调性法，例12就用到了三角换元法和重要不等式法，例17用导
数法甚至更为简单．解函数的 最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理．

5
，
f(5)5
，
f(6)25