线段最值问题专题
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线段最值问题专题
类型一 线段的最大、最小值
1. 如图，在Rt△AB
C中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M
是BC的中点，P是A
′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( )
A. 4
B. 3 C. 2 D. 1
第1题图
B 【解析】∵在Rt△
ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝4，根据旋转的性质，得A′B′＝4，如解图，连接CP，∵<
br>P是A′B′的中点，∴CP＝2，又∵M是BC的中点，∴CM＝1，由三角形的三边关系，得CM＋C
P＞PM，∴当M、C、P三
点共线时，PM最大，此时，PM＝MC＋CP＝1＋2＝3.
第1题解图
2. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA
＝30°，点D在线段AB上运动，
点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点
F.则线段EF的最小值为( )
A. 43 B. 23 C. 12 D. 26
第2题图
A 【解析】∵点E与点D关于AC对称，∴∠E＝∠CDE，又∵DF
⊥DE，∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°，
∴∠F＝∠CDF,
∴CD＝CF＝CE, ∴EF＝2CD，当CD最小时，EF最小，这时CD⊥AB, ∵AB＝8, ∠CB
A＝30°，∴AC＝4，
AC·CB4×43
BC＝43，用面积法得CD＝＝＝23，∴E
F的最小值为EF＝2CD＝43.
AB8
3. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为正
方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中
点，线段PE的最小值是( )
A.
2－2 B. 2＋1 C. 22－1 D. 22－2
第3题图
D
【解析】如解图，连接AC，BD交于点O, 当E、P、O共线时，PE＝OE－OP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACD＝45°，
∴AC＝42，AB⊥BC, ∵PE⊥AB, ∴PE∥BC, ∵P为AB中点，
∴
11
O为AC的中点， ∴OP＝BC＝2，OC＝AC＝22，
∵∠AED＝45°＝∠ACD, ∴A、C、E、D四点共圆， ∵∠ADC＝
22
90°，
∴AC为直径，O为圆心， ∴OE＝OC＝22， ∴PE＝OE－OP＝22－2,
即线段PE的最小值是22－2.
第3题解图
4. 如图，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，
点E为边BC上的动点，将△C
EF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离
的最小值是________．
第4题图
6
【解析】如解图，当点E在BC上运动时，PF的长固定不变，即PF
＝CF＝2.∴点P在以点F为圆心，以2为半径
5
FHAF
的圆上运动．过点F作F
H⊥AB交⊙F于点P，垂足为点H，此时PH最短．则△AFH∽△ABC，∴＝.由已知得AF＝
B
CAB
FH416166
4，AB＝AC
2
＋BC
2
＝10
，∴＝，即FH＝.∴P到AB距离的最小值PH＝FH－FP＝－2＝.
810555
第4题解图
类型二 线段和的最小值
5. 如图所示，正方形ABCD的
面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD＋P
E的和最小，则这个最小值为( )
A. 3 B. 92 C. 6 D.
32
第5题图
D 【解析】设BE与AC交于点P′，如解图，
连接BD、P′D.∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D＋P′E
＝P′B＋P′E
＝BE时最小．∵正方形ABCD的面积为18，∴AB＝32.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝3
2.故所求最
小值为32.
第5题解图
6. 如图，矩形ABCD中，
AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，
且AE＝CG，BF＝DH，则
四边形EFGH周长的最小值为( )
A. 55 B. 105 C. 103
D. 153
第6题图
B 【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G
交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB
于点G′，如解图．∵AE＝
CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝E′G′
2
＋GG′
2
＝55，
∴C
四边形
EFGH
＝2E′G＝105.
第6题解图
︵
7. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点M在⊙O上，∠MBA＝20°，N是MA的
中点，P
是直径AB上的一动点，若AN＝1，则△PMN周长的最小值为( )
A.
3 B. 4 C. 5 D. 6
第7题图
B 【解析】如解图，过N作NN′⊥AB，交AB于G，
交⊙O于N′，连接MN′交AB于P′，连接NN′，ON′，ON，MN′，
OM，∴NG＝N′G
，∴N、N′关于AB对称，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长最小时的点，∵N是弧MA的中点，∴
1
∠AON′＝∠NOA＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′为等边三
角形，∴MN′＝OM＝AB＝3，∴△PMN周长的
2
最小值为3＋1＝4.
第7题解图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD
平分∠CAB交BC于D点，
E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为( )
401524
A.
3
B.
4
C.
5
D. 6
第8题图
C 【解析】如解图，过C作C
G⊥AD交AB于G，过G作GF′⊥AC于F′，交AD于E′，∵AD平分∠CAB，∴点C与
点G
关于AD对称，∴E′C＝E′G，∴E′C＋E′F′≥FG即GF′为CE＋EF的最小值．在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝8，由勾股定理得AB＝10，由对称性可知，AG＝AC＝
6，∵GF′⊥AC，BC⊥AC，∴GF′∥BC，∴
2424
解得GF′＝.∴CE＋EF
的最小值为.
55
GF′
AG6
＝＝，
BCAB10
第8题解图