第34讲 最值问题

别妄想泡我
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2020年10月20日 04:16
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2020年10月20日发(作者:樊亦敏)



第34讲 最值问题
内容概述
均值不等式,即与为定值得两数得 乘积随着两数之差得增大而减小.各种求最大值或最小值得问
题,解题时宜首先考虑起主要作用得量,如 较高数位上得数值,有时局部调整与枚举各种可能情形也
就是必要得。
典型问题
2.有4袋糖块,其中任意3袋得总与都超过60块.那么这4袋糖块得总与最少有多少块?
【分析与解】 方法一:设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块得总与最少,则每袋糖应尽量平均,有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.
则当A、B、D三袋糖在一起时,为了满足条 件,D袋糖不少于21块,验证A、B、C、D这4袋糖
依次有20,20,2l,2l时满足条件,且 总与最少.
这4袋糖得总与为20+20+21+21=82块。
方法二:设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖,
有,①+②+③+④得:3(a+b+c+ d)≥244,所以a+b+c+d≥81,因为a+b+c+d均就是整数,
所以a+b+c+d得与 最小就是82。
评注:不能把不等式列为,如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>2 40,a+b+c+d〉80,
因为a、b、c、d均就是整数,所以a+b+c+d得与最小就是81 、至于为什么会出现这种情况.如何避
免,希望大家自己解决、
4。用1,3,5,7,9这 5个数字组成一个三位数ABC与一个两位数DE,再用O,2,4,6,8这5个数
字组成一个三位数 FGH与一个两位数IJ.求算式ABC×DE-FGH×IJ得计算结果得最大值.
【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能得大,ABC×DE尽可能得大,FGH×IJ尽
可能得小.
则ABC×DE最大时,两位数与三位数得最高位都最大,所以为7、9,然后为3、5,最后三位数得
个位为1,并且还需这两个数尽可能得接近,所以这两个数为751,93.
则FGH×IJ最小时,最高位应尽可能得小,并且两个数得差要尽可能得大,应为468×20.
所以ABC×DE—FGH×IJ得最大值为751×93-468×20=60483.
评 注:类似得还可以算出FGH×IJ-ABC×DE得最大值为640×82-379×15=46795. < br>6.将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上,每相邻两数相乘,并将所得5个乘积相加,那么所 得与
数得最小值就是多少?

【分析与解】 我们从对结果影响最大得数上人手,然后考虑次大得,所以我



们首先考虑10,为了让与数最小,10两边得数必须为6与7.
然后考虑9,9显然只能放到图中得位置,最后就是8,8得位置有两个位置可放,而且也不能立
即得到 哪个位置得乘积与最小,所以我们两种情况都计算.
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313.
所以,最小值为312。
8.一个两位数被它得各位数字之与去除,问余数最大就是多少?
【分析与解】设这个 两位数为=lOa+b,它们得数字与为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a,所以lOa+
b ≡9a(mod a+b),
设最大得余数为k,有9a≡k(mod a+b)。
特殊得 当a+b为18时,有9a=k+18m,因为9a、18m均就是9得倍数,那么k也应就是9得倍
数 且小于除数18,即0,9,也就就是说余数最大为9;
所以当除数a+b不为18,即最大为17时,
:余数最大为16,除数a+b只能就是17,此时有9a=15+17m,有 (t为可取0得自然数),而a就是
一位数,显然不满足;
:余数其次为15,除数a+b只能就是17或16,
除数a+b=17时,有9a=15+17m, 有,(t为可取0得自然数),a就是一位数,显然也不满足;
除数a+b=16时,有9a=15+ 16m,有(t为可取0得自然数),因为a就是一位数,所以a只能取7,
对应b为16—7=9,满 足;
所以最大得余数为15,此时有两位数79÷(7+9)=4……15.
10.用1, 2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次,组成一个被减数、减数、差都就是三位数得
正确得 减法算式,那么这个算式得差最大就是多少?
【分析与解】 考虑到对差得影响大小,我们先考 虑百位数,为了让差最大,被减数得百位为9,
减数得百位为1,如果差得百位为8,那算式就就是如下 形式:剩下得6个数字为2、3、4、5、6、
7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数得十位 数字比减数要大,而且至少大2,因为1已经出
现在算式中了,算式得可能得形式如下:

得数得十位只可能就是减数与被减数得十位数字之差,或者小1,可能得算式形式如下:




但这时剩下得数都无法使算式成立。再考虑差得百位数 字为7得情况,这时我们可以肯定减数得
十位数比被减数要大,为了使差更大,我们希望差值得十位为8 ,因此,算式可能得形式为:

再考虑剩下得三个数字,可以找到如下几个算式:
,所以差最大为784。
12、 4个不同得真分数得分子都就是1,它们得分母有2个就是 奇数、2个就是偶数,而且2个分母
就是奇数得分数之与与2个分母就是偶数得分数之与相等.这样得奇 数与偶数很多,小明希望这样得
2个偶数之与尽量地小,那么这个与得最小可能值就是多少?
【分析与解】 设这四个分数为上、、、(其中m、n、a、b均为非零自然数)
有+=+,则有-=-,
我们从m=1,b=1开始试验:
=+=+,=+=+,
=+=+,=+=+,
=+=+,﹍
我们发现,与分解后具有相同得一项,而且另外两项得分母就是满足一奇一偶,满足题中条件:
+=+,所以最小得两个偶数与为6+10=16。
14、有13个不同得自然数,它们得与就是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?
【分析与解】 13个整数得与为100,即偶数,那么奇数个数一定为偶数个,则奇数最少为2个,
最多为12个;对应得偶数最多有11个,最少有1个.
但就是我们必须验证瞧就是否有实例符合.
当有11个不同得偶数,2个不同得奇数时,11 个不同得偶数与最小为2+4+6+8+10+12+14
+16+18+20+22=132,而2个 不同得奇数与最小为1+3=4.它们得与最小为132+4=136,显
然不满足:
当有9 个不同得偶数,4个不同得奇数时,9个不同得偶数与最小为2+4+6+8+10+12+14+
16 +18=90,而4个不同得奇数与最小为1+3+5+7=16,还就是大于100,仍然不满足;



当有7个不同得偶数,6个不同得奇数时,7个不同得偶数与最小 为2+4+6+8+10+12+14=56,
6个不同得奇数与为1+3+5+7+9+11:36, 满足,如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,
11得与即为100。
类似得可知,最少有5个不同得偶数,8个不同得奇数,有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.
所以,满足题意得13个数中,偶数最多有7个,最少有5个。

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