哈佛男孩-银行从业报名

第16讲
最值问题
知识梳理

在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、 最大乘积等问
题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在
生产和生活中有很大的实用价值。这一讲就来讲解这个问题。
常用结论：
两个数的和一定时，差越小，积越大。
典型例题


【例1】★ 1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是 多少？
【解析】8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位 分别
是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的
前两位是76。同理可确定十位和个位数.
【小试牛刀】当A+B+C＝10时(A、B、C是非零 自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最
小值是＿＿＿＿。
【解析】当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；
当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。
【例2】★两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
【解析】48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。


1

所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
【小试牛 刀】要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，
这个猪圈的围墙最少长 多少米？
【解析】将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。，猪圈围 墙长
9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）.

【例3】 ★★有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，
直至不能再写为止，如 257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？
【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量 多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358
满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则 构造的数的位数较少，所以最前面两个数
字尽可能地小，取1与0．
【例4】★★有一类自然 数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小
的是几？
【解析】一个自 然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.
由于各数位上的和固定为2 003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而2003
2
599...9{
÷9=222……5，所以满足条件的最小自然数为：

【例5】★99个苹果 要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每
位小朋友至少要有一个苹果．问：这 群小朋友最多有几位?
【解析】1+2+3+…+13=91＜99，1+2+3+…+14=1 05＞99，说明若13位各分得1，2，3，…，
13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2 ，3，…，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，
在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分 别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：


222个9

2

13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14个．所 以最多有13位小朋友．(注：
13人的分法不唯一)

【小试牛刀】公园里有一排 彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到
这排旗的尽头是一面粉旗．已知这排旗不 超过200面，这排旗子最多有多少面?
【解析】旗子排列是9面一循环，关键在于最后几面旗子，如 果最后四面都能是粉旗那就好
了．200÷9=22…2，所以最多可以出现200-2=198面旗子 ，共22个循环．
【例6】★★（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于A、B码头之间 ，它在静水中 船速不变，
当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______ (填“多”
或“少”)
【解析】极限判断，当水速为10，船速是20时，我们可以往来A， B两地，当河水速度增
加时，比如增加到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B地，所以时间变 多了。
怎么样，现在你能解决例题么？
33331
，则每一次最少运÷5=，所以最多运1÷=
8
≈9次；
5525253
33332
假定5次运的恰好等于，则每一次最多运÷5=，所以最少运1÷ =
6
≈7次.
2020
443
假定5次运的恰好等于
【例 7】★某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生
迟到，如果有2 2名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？
【解析】三天都迟到 的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的．可
求出三天都迟到的学生最多有(1 5+12+9-22)÷2=7(人)．

【小试牛刀】某次数学、英语测试，所有参加测试 者的得分都是自然数，最高得分198，最
低得分169，没有得193分、185分和177分，并且 至少有6人得同一分数，参加测试的至
少多少人？
【解析】得分数共有198-169+ 1-3=27(种)，当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少，
共有27+6-1=32(人)．

【例8】★★149位议员中选举一位议长，每人可投一票．候选人是A，B，C三人．开票 中
途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票数最多者当选，那么A至少再有多少
票才能一定当选?


3

【解析】45+20+3 5=100，还有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都给C，
4 9-10=39，那么A至少还要有20票才能当选．
【小试牛刀】冬季运动会共有58面金牌，至今 A队已得lO面，B队已得11面，C队已得
13面．如果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多 少面金牌?
【解析】10+ll+13=34．还有58-34=24(面)可争夺．A队要再得4面 ，才超过C队．在余下
的奖牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能确保金 牌数居第一位．

【例9】★★如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有 学生上车．第一
站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到学校时，车上最
少有多少学生?


【解析】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有 1个学生上车．假如第五站只有一个
学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8， 16个．因此五个站上车的
人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一 个学生上车，那么上车的总人
数一定多于31个．所以，最少有31个学生．

【例 10】★★★某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车
从起点站开出， 除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的
每一站，那么为了使每位乘客都 有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？
【解析】法1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见， 车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至少”
二字是就座位而言的，座位 最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人


4

都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，
误 认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。
（法2）：因为车从某一站开出 时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这
一人数也和本站上车的人数一样多，因此： 车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=
站号×（15-站号）。
因此只要比较下列数的大小：1×14， 2×13， 3×12， 4×11， 5×10，6×9， 7×8， 8
×7， 9×6， 10×5，11×4， 12×3， 13×2， 14×1 . 由 这些数，得知7×8和8×7
是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位 .
此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法
的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各
种情况逐一考 察，最后归纳出需要的结论。
【例11】★★将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100
从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？
【解析】要得到最大 的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6
个9，要想左边保留6个9， 必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有
192－103=89（个）， 不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉
1～49中其余的84个数码。 然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：

所求最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数 是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，
其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数 码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数
（见下图）：

所求最小数是162…99100。
【小试牛刀】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个
22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？




5

【解析】在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数 ：99999…
99100（20个9）；最小数的第一位是“1”，再保留10～90中的9个“0” ，再在91～100中
留下12个尽量小的数，即得最小数：1456789100 .
【例 12】★★某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人
的年龄差都不 超过3．那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到
这个值，那么这个班里年龄 既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?
【解析】因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄 总和多(12.2-12)×50=10(岁)，所以
年龄最大的能是12+3=15(岁)．如果有人 年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均
12岁的年龄和多10—3=7(岁)，所以最多有 7人的年龄大于12岁，小于15岁．

【小试牛刀】有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超 过60块，那么这四袋糖块的总和至少
有多少块？
20
【解析】最多的一袋糖数不 小于另三袋糖的平均数，故不小于61÷3=
1
3
，即它不小于21．从
而四 袋糖总和不小于21十61=82(块)．比如四袋糖数量分别为21，21，20，20即可．

【例13】★把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
【解析】假设分成 的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，
将1+a作为分成的一个 自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有
1。
如果分成的自然数中 有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积
大于原来的自然数。例如，5=2 +3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这
个数就可以再分，所以分成的自 然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分 析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，
3×3 =9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分
成的自然数中最 多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，
为3×3×3×3×3× 2=486。
结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。


6

【小试牛刀】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
【解析】14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.
【例14 】★★★某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2
元……100元的 钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？
【解析】为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。
当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。
当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。
当9元的货币少于10张时，至少 有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2
张，这样也找不到比14张更少的方案。 < br>综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14
张货 币。
【小试牛刀】在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最
小的是几？
【解析】8654473.

【例15】★★阶梯教室座位有 10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着
的人数就一样多．我们希望人数一样的排 数尽可能少，这样的排数至少有多少排？
【解析】至少有4排．如果10排人数各不相同，那么最多坐 ：
16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；
如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；
如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；
如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．
148<150<152， 所以，至少有4排．

【例16】★★有一种商品，买
2
个要
1
角钱，买
5
个要
2
角钱，买11
个要
4
角钱，小
明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品
51
个，要是他们的钱合在一起，
则最多能买
115
个这种商品，那 么小红的钱最多能买这种商品__________个。

【解】若小明、小红的钱数多于< br>4
角，应先用
4
角买
11
个，当钱数不足
4
角又多于
2
角


7

时，应用
2
角买
5
个，只有当钱数不足
2
角时，才用
1
角买< br>2
个，这样买到的商品就最
多。由于
5111452
，所以小 明的钱数为：；
442119
（角）
11511105
，所以小明与小红共有：
410242
（角）；所以小红的钱数为：
421 923
（角），
234521
，所以小红的钱最多能买这种商品的个数为：
。
1155262
（个）

【小试牛刀】（
2007
年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）商店里销售的铅笔有两
种包装，五支包装的每包售价
6< br>元，七支包装的每包售价
7
元。某校至少
要购买铅笔
111
支 ，请问至少要花费________元。

【解析】 由条件
5
支包装的售 价
6
元，平均每支
651.2
元，
7
支包装的每包7
元，
平均每支
771
元。
7
支包装的比
5
支包装的每支笔要便宜，为了花费尽
量少，应多买
7
支包装的。尝试可知买
111
支铅笔最多买
7
支包装的可买
13
包，共
1 3791
支，剩下的买
5
支包装的
4
包共
5420
支，这样至少要
花费
911201.2115
(元)。
但 是，若买
7
支包装的买
16
包，共可买铅笔
167112
支，需花费
1121112
元，比
115
元少。因此至少要花费
112
元。

课后作业
1.比较下面两个乘积的大小：

a=57128463×87596512， b=57128460×87596515 .
【解析】对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位 数，尽管两组对应因数很相似，但并
不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两 组对应因数的大小发现，
因为57128463比57128460多3，87596512比8759 6515少3，所以它们的两因数之和相等，
即57128463+87596512=5712846 0+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得a＞b



8

2．如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？
799...9
{
【解析】1996÷9=221……7，N=

3．某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛
的有20人 ，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？

【解析】因为参加竞赛的有28+2 3+20=71(人)．让这71人尽可能多地重复，71÷2=35…1，
所以至多有35人参加两科 ．
4．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1个人需
1分钟，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每
人均有 电话)
【解析】应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，< br>可以先花10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共可
通知 ：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分钟．

5．有四个 数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是
多少？ 【解析】把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）< br>÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。

6．一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球
上标 有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8
个球，它们 的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
【解析】假设摸出的8个球全是红球，则数字之 和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，
这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用 一个绿球换一个红球，数字和可增加
（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4= ）1。为了使红球尽可能地多，
应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球 ，再用一个黄球换红球，
这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中 最多可能有
（8-3-1=）4个是红球。


221个9
.
9

7．小明有一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2 千克，鱼3．5千
克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把哪几样 东西放
进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重?
【解析】大提兜能装的重 量限制在10千克之内．把哪几样东西的重量加在一起，使和不超
过10千克，但最接近lO千克我们不 妨列举．在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放
(共10.1千克)，但二者应取其一，否则才装 2+3.5+1.7+1=8.2千克．列举如下：
白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)；
白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；
蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)；
蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)．
显然，把5.1千克蚕豆，1.7千克的酱油，2千克的 猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最
重．
8.一把钥匙只能打开一个房间，现有20把钥匙 和20个房间，但不知哪把钥匙开哪个房间，
现要开所有房间，最多开几次？
【解析】极端情 形是开第一个房间时19把均没打开只能再开一次，共20次，类似地，开第
二个房间最多19次，…… ，最后一个房间用1次，一共20＋19＋……＋1=210次。

9.在一个布袋中有红黄 绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小相同，红球上标有4，
黄球上标有5，绿球上标有6。小明 从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多有几
个红球？
【解析】假设摸出的8个都 是红球，则数字和为32，与实际相差7。用一个绿球换一个红球，
数字和增加2，用一个黄球换一个红 球，数字可增加1，因此可用3个绿球换红球，再用一
个黄球换红球，这样8个球的数字和刚好为39， 其中最多可以有4个红球。

10. 8个互不相等的非零自然数和为56，若去掉最大的和 最小的数，那么剩下的数和为44，
问：剩下的数中，最小的数是多少？
【解析】因为最大数 与最小数的和为56－44=12，所以最大数不会超过11。去掉最大和最小
数后剩下的6个互不相同 的自然数在2～10之间，且和为44，这6个数只能是4、6、7、8、
9、10。最小是4。


10

11．若干人的年龄和为4476，其 中最大的不超过79岁，最小的不小于30岁，而年龄相同
的人不超过3人，这些人中至少有多少位年龄 不小于60岁的老人？
【解析】要老年人尽量少，则非老年人越多，当30～59岁的各有3人时，非 老年人最多。
他们的年龄和为（30＋31＋32＋……＋59）×3=4005（岁）。老年人的年龄 和为4476－
4005=471（岁）。
因为79×5=395<471<79×6，所以老年人至少有6位。

12.有四 袋糖块，其中任意三袋的总和都超过
60
块，那么这四袋糖块的总和至少有
多少块？

【解析】最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，而另三袋糖的总数超过
60块，
所以超过
60320
，即它不小于
21
块。从而四袋糖 的总和不小于
216182
(块)。
另外，当四袋糖的块数分别为
21< br>，
21
，
20
，
20
时，总和恰好为
82< br>块。所以至少
有
82
块。


【13】一个布袋中 有红、黄、绿三种颜色的小球各
10
个，这些小球的大小均相同，
红色小球上标有数字 “
4
”，黄色小球上标有数字“
5
”，绿色小球上标有数字“
6”。
小明从袋中摸出
8
个球，它们的数字和是
39
，其中最多可 能有多少个球是红色的？

【解析】假设摸出的
8
个球全是红球，则数字之 和为
4832
，与实际的和
39
相差
7
，这是因为将摸 出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，
数字和可增加
642
，用一个黄球换一个红球，数字和可增加
541
。为了使红
球尽可能地多，应该 多用绿球换红球，由于
723L1
，因此可用
3
个绿球换红球，
再用一个黄球换红球，这样
8
个球的数字之和正好等于
39
。所以要使
8
个球的数字
之和为
39
，其中最多可能有
8314
个红球。



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