中秋节的小报-高三语文教学工作总结

最值问题


1 学情说明
适用对象：对最值问题已有一定认知基础与分析能力的九年级学生。
设计思想：一方面，最值 问题是初中教学的一大难点，也是中考命题的知识综合的结合
点和能力考查的区分点，素有“综合性强、 难度大和区分度高”等典型特点；另一方面，专
题复习主要用于中考的最后冲刺，目的在于掌握方法和提 升能力。因此本着“突出重点、突
破难点、立意在先、选题在后”的基本设计原则，所选例题兼顾了知识 的覆盖率（详见教学
设计中的标题）、问题的多样化（涵盖了“路程最短、周长最小、面积最大、造价最 低、用
时最短”等）和能力的发展性（以传授转化策略培养思维调控力、以教会“怎样想”提升问
题分析力、以探究思路自然生成强化学习力等），以便“有效构建知识网络，深度提炼思想
方法和全面 提升综合学力”。具体实施时可针对学情适度选取而因材施教，着重讲清“怎么
想到这样做”，即从知识 转化角度着重剖析解题思路自然的生成过程。
教学目标：本专题分两课时两模块完成，第1课时为知识 溯源模块，即从知识转化角度，
借助例1~例5的讲解，引导学生掌握处理最值问题的四大基本知识源（ 见教学设计中的标
题），明确解决最值问题的思考方向；第2课时为能力转化模块，即通过例6~例8的 分析，
着重训练学生运用基本知识源解题的转化技巧，调控受阻思维，拓宽解题思路，提升处理最
值问题的综合能力。

2 教学设计
第一课时
本课时主要复习处理最值问题的知识源，明确解题方向。
2.1 运用知识源“两点之间线段最短”处理
例1 （2014年·黔东南州）如图1，在平面直角坐标系中 ，点P是直线y=x上的动点，
A（1，0）、B（2，0）是x轴上两点，则PA+PB的最小值为 。
y
y=x
功能分析：掌握利用知识源“两点之间线段最短”和对称
性处理 “直线上一动点到直线同侧两定点距离之和最小值”问
题的基本策略。
解答要点：辅助线如图 1所示，易知A
1
的坐标为（0，1），
则PA+PB的最小值为A
1
B=
5
。
A
1
O
P
A
图1
B
x
教学建议：本题求解并不难，着力点有二：其一怎么想到
构造点A关于直线y=x的 对称点A
1
（根据“两点之间线段最短”可知，当点P位于线段AB
上时，其和最小； 又点P在直线y=x上，所以点P应是两者的交点。但A、B位于直线y=x
的同侧，再者没有交点，故 需利用线段的等量变换把两点转化到直线的两侧。而常见的等量
变换有“平移”“翻折”和“旋转”，结 合条件和图形特征，本
B
1
题宜选择“翻折”，即作点A关于直线y=x对称点A1
）；其二如
何求︱PA-PB︱和︱PA
1
-PB︱的最大值（本变式 主要强化对作对
D
C
称点的必要性与本质的理解）。
M
E
2．2 运用知识源“垂线段最短”处理
例2 (2015年·绥化) 如图 2，在矩形ABCD中 ，AB=10，
N
BC=5。若点M、N分别是线段AC、AB 上的两个动点，则BM+MN
AFB
的最小值为（ ）
图2

A． 10 B．8 C.
53
D．6
功能分析：在例1的基础上适度拓展，不仅可巩固上一知识源和解题方法，而且也为培
养学生运用“垂线段最短”处理最值问题的分析能力奠定了基础。
解答要点：辅助线如图2所示，其 中点B、B
1
关于AC对称，B
1
F⊥AB于点F，则
11
BE•AC=AB•BC，得BE=
25
，则BB
1
=
45
。
22
11
由勾股定理求得AE=
45
和S
△
AB B1
=AE•BB
1
=AB•B
1
F得B
1
F=8 。故BM+MN的最小值为
22
BM+MN=B
1
M+MN≥B
1< br>N≥B
1
F。由S
△
ABC
=
8，即选B。
教学建议：与例1相比，本题的难点在于除动点M外点N也在运动，给解题制造了不
小的障碍。教学中 可先作“退化”处理，即把N视为定点，类比例1可作出点B关于AC
的对称点B
1
， 且得BM+MN≥B
1
N；再让N点动起来，则问题转化为“求直线上一动点到直
线外 一定点距离的最小值”，根据知识源“垂线段最短”，作AB的垂线B
1
F也就水到渠成了。< br>另外，如何求B
1
F的长是本题的另一大难点。课堂上可依托方程思想，引导学生利用垂 直
与对称挖掘相等关系，构建方程（组）。当然本题也可用相似三角形对应边成比例列方程（组）
求BE和B
1
F的值。
2.3 运用知识源“平面内一点与圆上各点连线中，到过 该点和圆心的直线与圆的近交点
距离最短、远交点距离最长”处理
A
例3 (201 5年·武汉)如图3，△ABC、△EFG是边长
为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线 AG、
FC相交于点M。当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最
小值是（ ）
A．2-
3
B．
3
+1 C．
2
D．
3
-1
功能分析：培养学生解决平面内圆上动点与非圆上定点
间距离最值问题的能力。
解答 要点：辅助线如图4所示，由DC=DF、DA=DG得
B
M
D
C
F
图3
G
E
DCDF

，又∠CDF=∠ADG，故△DCF ∽△DAG，得∠DCF=∠DAG，则∠DAG+∠
DADG
DCM=180°。又∠ADC =90°，所以∠AMC=90°，故点M的
轨迹是以AC为直径的⊙O。联结BO，交⊙O于N点，则 BM
≥BN。又由等边三角形的性质可得BO=
3
，所以BM的最
小值为3
-1，故选D。
N
D
C
A
E
O
M
G
B
教学建议：本题确定点M的轨迹形状是难点，一旦确定
F
其轨迹 为圆后求最小值就如入平川。教学中可引导学生由点M
图4
在几种特殊情况下的位置特征猜想其 轨迹是以AC为直径的
圆，而证明所需添加的辅助线可沿如下思路逐步生成。欲证明
点M的轨迹 是“以边AC为直径的圆”，通常可从“证明动点M到AC中点O的距离为定值
（依据圆的定义）”或“ 证明∠AMC为直角（逆用圆周角的性质）”两方面入手，本题宜采
用后者。一般地，要证明∠AMC为 直角可证其与某一直角相等（或证明∠AMC所在的△AMC
的另两个内角∠MAC、∠ACM互余）， 由于图1中没有已知直角，故通过添辅助线构造直角

已是必然之举。由“等边△ABC” 和“D为BC的中点”想到连结AD，则∠ADC=90°。再
由四边形ADCM的内角和为360°想 到证明∠DAM与∠DCM互补，又∠DCM与∠DCF互
补，所以问题转化为证明∠DAM=∠DCF 。考虑到∠DCF为等腰△DCF的一个底角，故想
到构造以∠DAM为底角的等腰三角形，利用相似三 角形对应角相等来证明∠DAM=∠DCF，
至此连结DG也就水到渠成了。
2.4 运用函数性质处理
例
4 (2015·
南宁
)
如图
5，为美化校园环境，某校计划在一块长为
60
米，宽为
40
米的长
方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽
为
a
米。

（
1
）用含
a
的式子表示花圃的面积；

（
2
）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
< br>2
（
3
）已知某园林公司修建通道、花圃的造价
y
1
（元）、
y
2
（元）与修建面积
x(m)
之间
的函数关系如 图
6
所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少
于
2
米且不超过
10
米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低 总造

价为多少元？

3
8
y
元
62000

y
2
花圃
y
1
通道

48000
O
图
5
8001200
图6
xm
2

功能分析：培养学生运用一次函数、二次函数性质处理应用题最值问题的建模能力。

解答要点：（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）5；（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，
由已知得y
1
=40x，且y
2
=


60x， 0x800
。又x
通道
=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=

35x20000，x800
﹣4a
2
+200a， x
花圃
=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a
2
﹣200a+2400，且当2≤a≤10 时，800≤x
花圃
≤2016。
所以y=y
1
+y
2=40（﹣4a
2
+200a ）+35（4a
2
﹣200a+2400 ）+20000=-20（a-25）
2
+91500，所以
当a=2时，y有最小值 105920，即通道宽为2米时总造价最低为105920元。
教学建议：相对于几何最值问题，代 数最值问题学生容易建模，心理障碍较小。本题着
重点在于如何理解题意和运用一次函数、二次函数性质 求最值，其中运用一次函数增减性求
最值时一定要注意自变量的取值范围和端点值的可取性。
C
例5 （2014·苏州）如图7，直线l与半径为4的⊙O相切于
P
点A ，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，
垂足为点B，连接PA。设PA=x、 PB=y，则x-y的最大值是 。
O
功能分析：培养学生运用二次函数性质处理几何最值问题的
建模能力。
l
B
A
解答要点：辅助线如图7所示，易证△ABP∽△CPA，由对应
图7< /p>

边成比例可得y=
1
2
11
x
，则x-y=- x-
x
2
=-
(x4)
2
+2，故当x=4时，t=x- y的最大值为2。
888
教学建议：首先，对于解题思路的形成可引导学生如此探究。由于直 接从x-y（即PA-PB）
的几何意义入手较为棘手，故可从构建函数角度打通思维之路。设t=x- y，因为表达式中除
t外还有两个变量x、y，所以代换其中之一已是必然选择，即要利用相等关系找出 y与x间
的数量关系，代入消元。而平面几何中与两线段有关的相等关系主要有“线段间固有的数量关系（等角对等边、全等三角形对应边相等、三角形中位线定理等）”、“勾股定理”、“比例
式（ 平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质）”和“等积式（图形面积相等）”。本题
结合条件和图形 特征定位在相似三角形，即通过证明△ABP∽△CPA巧构函数关系式。
其次，本题也可不用三角形 相似处理。既然是建立t的函数关系式，变量就不一定要选
择线段，也可选择角。如设∠PAC=∠AP B=θ，则AP=ACcosθ=8cosθ、AB=APcosθ=8cos
2
θ，
所以t=8cosθ-8cos
2
θ=-8(cosθ-

1
2
)+2，也可得x-y的最大值为2。
2

第二课时

其实第1课时中的四大知识源都有对应的基本模型（如知识源“两点之间 线段最短”对
应的基本模型如基本图一所示），而不少中考题也都是由这些基
B
本模型 引申拓展而成的，直观上与上述知识源似乎关联不大，
A
但经过适当变形便可巧妙地转化为上述 知识源所对应的基本模
l
型之一，从而化难为易。本课时就以如何转化为基本模型为线
P
P
'
索，着重剖析转化技巧，渗透化归思想，提升转化能力。
A
'
2.5 利用平移转化
基本图一
例6（2012年·南宁）已 知点A（3，4），点B为直线x=-1
上的动点，设B（-1，y）。
（1）如图8，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出
y
最大值；若没有，请说明理由；
A
（3）如图9，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另
取两点E，F，且EF =1。线段EF在x轴上平移，线段EF平移
B
至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此 时点E的坐标。
DOC
M
x
功能分析：掌握如何运用平移变换把问题转化为 基本图一
求解的化归策略。
图8
解答要点：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，由< br>x=-1
△ACM∽△CBD，易得y=-
1
2
13
x+x+ ；
424
1
2
（2）配方得y=-
(x1)
+1，结合 -14
y有最大值1；
（3）在四边形ABEF的四条边 中，由于AB和EF的长度为
定值，所以要求其周长最小值，只需求出BE+AF最小值即可。
把线段AF向左平移1个单位，设点A落在点H处。作点B
关于x轴的对称点G，联结GH、GE，交 x轴于点N，则
BE+AF=GE+HE≥GH，故点E位于点N处时，BE+AF的值最小，
y
H
A
B
N
O
E
F
G
x=-1< br>图9
x

得四边形ABEF的周长最小。易求直线GH与x轴的交点N坐标 为（-
移到点E位于（-
2
，0），故当线段EF
5
2
，0 ）处，四边形ABEF的周长最小。
5
教学建议：与基本图一不同的是，本题中的E、F皆为 动点，给问题解决制造了不少障
碍。那么能不能把E、F两点合二为一呢？注意到EF=1，故可把A点 向左平移一个单位至
H点，联结HE，则BE+AF=BE+HE（因为四边形AHEF为平行四边形） ， 这就巧妙地把E、
F合二为一了。
另外上述思路生成过程可通过下列问题驱动：（1）隐 去坐标系后图2与基本图的区别在
哪里？（动点P被分成两个动点E、F）；（2）如何化异为同？（平 移线段AF）。
2.6 利用旋转转化
例7（自编题）如图10，已知抛物线y=ax2
+bx（a≠0）与直线y=kx(k≠0)交于点A（4，
4），与x轴正半轴交于点 B，且以直线x=1为对称轴。
（1）求a、b和k的值；
（2）设P为在直线y=kx下 方的抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交直线y=kx于
点Q，试求当△POA的面积最大时点Q的 坐标；
（3）已知点C是点B关于直线y=kx的对称点，把点C绕原点O按逆时针方向旋转60°，
点C落在点D处。①请问点D是否在抛物线y=ax
2
+bx上，为什么？②在线段O A上是否存
在点M，使得MB+MO+MC的值最小？若存在请求出最小值；若不存在，请说明理由。
y
功能分析：渗透运用旋转变换把非折线问题转化为折线问
A
题并用“两点之 间线段最短”处理的转化意识和技巧。
解答要点：（1）a、b、k的值分别为
（2）设P（x，
1
、-1和1；
2
O
Q
x
P
图10
B
1
2
xx
），则Q（x，x）。显然S
△
POA
=S
2
11
PQ（x-2）+PQ(4-x)=2PQ，所以当
△
POQ
+S
△
PQA
=
22
1
2
1
2
PQ=
x2x
=
(x2)2
取最大值2时，△POA的
22
面积 最大。此时x=2，故Q的坐标为（2，2）；
（3）①易得C、D的坐标分别为（0，2）和（3
，1），
故D点不在抛物线上；②把△OCM绕点O按逆时针旋转60°
（如 图，显然点C与点D重合，设点M落在点N处，则△
OMN为等边三角形，得NM=MO，所以
MB+MO+MC=BM+MN+ND≥BD，由两点之间距离公式可得其
最小值为8+4
3< br>。
y
N
D
O
C
M
A
x
B
图11
教学建议：本题可放手让学生观察、思考、讨论与探究，着重引导学生如何通过旋转变< br>化构造折线。显然线段MB、MO、MC不构成折线段，不能直接用“两点之间线段最短”处
理， 必需利用图形变换进行适当转化。如何转化呢？观察到三线段共用M点，可通过把△
OCM绕点O逆时针 旋转至△OEN（点M落在点N处），构造折线E-N-M-B，且NM=MO，
所以△OMN为等边三 角形，即把△OCM绕点O逆时针旋转60°，此时点E与点D重合。
2.7 利用全等三角形转化

例8 （改编自2015年天津中考第18题）在矩形ABCD中，AB=3、BC=4 ，点E、F分
别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF，试求AE+AF的最小值。
功能分析：提升通过构造全等三角形把问题转化为基本图一求解的转化技能。
C
解答要点：在BC边的另一侧构造与△ADF全等的△PBE，
D
P
N
过点P作PM⊥AD于点M，交BC与点N，联结AP（如图12）。
M
FE12
易知△BPN∽△DBA，由对应边成比例计算得NP=、
5
BN=
162716
，则PM=、AM=。所以AE+AF=AE+EP≥
A
555
B
图12
AP=
985
。
5
教学建议：解题关键是如何引 导学生构造全等三角形把两动点E、F合二为一，且把点
A一分为二于边BC的两侧。而用平移与旋转不 易直接转化，故考虑构造全等三角形来加以
转化。注意到DF=BE，因此可在BC的右侧根据“边角边 ”定理构造与△DFA全等的△BEP。
教学中可组织学生讨论，主要由“基本图一中作对称点的本质是 什么”“能否用平移翻折和
旋转进行转化”和“如何利用BE=DF”等问题展开，逐步引导学生作出辅 助线。应当指出
的是本题也可兼用平移和旋转进行转化，即把△ABD沿射线DB平移，使点D与B重合 ，
然后再绕点B按逆时针方向旋转即可。
2.8 利用特殊三角形转化
例9 （2 015•日照）如图13，抛物线y=
1
2
1
x+mx+n与直线y=﹣x+ 3交于A、B两点，
22
交x轴与D、C两点，联结AC、BC，已知A（0，3），C（3， 0）。
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
y
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下 ：（1）P为y轴右侧抛物线上一动
点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存N
G
A
在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存
E
F
在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明
理由。
D< br>C
O
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），联结DE，一
图13
动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到
B
x
E点，再沿线段EA以 每秒
2
个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点
M在整个运动中用时 最少？
功能分析：强化通过构造特殊三角形利用边之间的数量关系把问题化为基本模型求解的转化技能。
解答要点：（1）；（2）满足条件的点P的坐标为（11，36）、（
1< br>3
13141744
，）、（，）；
399
3
（3）如图13 ，以AE为斜边构造等腰直角△AEN，易知△AOC也为等腰直角三角形，所以
AN∥x轴。作DG⊥ AN于点G，联结DN，则
DEEA

=DE+EN≥DN≥DG。所以当点E位1
2
于DG与AC交点F（2，1）处时，点M用时最少。

教学 建议：本小题的突破口在于如何把
DEEA
22
=DE+EA中的EA用系数为1
1
22
2
的线段代替。由
2
联想到等腰直角三角形的 直角边与斜边存在这种数量关系，至此以AE
2
1
33
、、和
3可联想构造
2
23
为斜边构造等腰直角△AEN也就呼之欲出了。类似地，由含30°角的直角三角形，由
n
可联想运用“平行线分线段成比例”或构造相似三角形处理
m
等。
总之运用基本模型转化的关键是通过差异分析，找出要解决问题与基本模型之 间的不同
点，再运用上述转化技巧适当变形，便可化难为易化未知为已知，使问题迎刃而解！