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动点最值问题
最值分为几何最值与代数最值，结合最值利用三角形三边关系求解；代数最值利用函数
性质求解
1、应用几何性质
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长
⑤对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；② 对称轴是两个对称图形对应点连
线的垂直平分线；
常见作图模型



例1、（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G< br>分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG
的周 长的最小值是 ．


1
2
2、（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中 ，Rt△OAB的顶点A在
x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，
3
），点C的坐标 为（，0），点P为
斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为（ ）

第 1 页 共 1 页

A．
13

2
B．
319
31
C．
2
2
D．2
7

y
A
B
O

P
x
3、如图所示，已知
A(,y
1
)
，
B(2,y
2
)
为反比
例函数< br>y
1
2
1
图像上的两点，动点
P(x,0)
在x
正半轴上运动，当线段
x
AP
与线段
BP
之差达到 最大时，点
P
的坐标是（ ）
1
2
35
C.
(,0)
D.
(,0)

22

A.
(,0)
B.
(1,0)

2、运用代数证法：（此类问题通常在压轴大题中出现）
① 运用配方法求二次三项式的最值；
② 运用一元二次方程根的判别式。
综合例题
1、
例5 （2012•南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（ 3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF
在x轴 上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．



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思路分析： （1 ）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD≌△CAE，再根据相似三角形
对应边成比例即可求出y 与x之间的函数关系式；
（2）先运用配方法将y=﹣x+x+写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；
（ 3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为
此，先 确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，
使AA′=1，作 点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取
线段EF=1，则点E、F的 位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令
y=0，即可求出点E的横坐标，进而 得出点E的坐标．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．
在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°﹣∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，
∴y：（3﹣x）=（x+1）：4，
∴y=﹣x+x+（﹣1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：
∵y=﹣x+x+=﹣（x﹣2x）+=﹣（x﹣1）+1，
又∵﹣1＜x＜3，
∴当x=1时，y有最大值1；

（3）如图2，过 点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，
作点B关于x轴的对称点B ′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，
则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则，
222
2
2
解得．
∴直线A′B′的解析式为y=x+，
当y=0时，x+=0，解得x=﹣．

第 3 页 共 3 页

故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E 的坐标为（﹣，
0）．


点评： 本题考查了相似三角形的性质与判定， 待定系数法求一次函数的解析式，轴对称﹣
最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅 助线证明△BCD∽△CAE是解
题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置 是关键，也是难点．


2．（2012•孝感）如图，抛物线y=ax+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣ 1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2 ）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的
最大值和此时P 点的坐标；
（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P 的
坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边
形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．
2

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8．解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴，解得
2
2
2

∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2x+3
22
又∵y=﹣x+2x+3，y=﹣（x﹣1）+4
∴顶点D的坐标是（1，4）．

（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）
∴，解得
∴直线BD的解析式：y=﹣2x+6
∵P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，﹣2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=﹣2m+6，OM=m
又∵A（﹣1，0），C（3，0）∴OA=1，OC=3
设四边形PMAC面积为S，则
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×
=﹣m+m+=﹣（m﹣）+
∵13

22
（﹣2m+6+3）•m

∴当m=时，四边形PMAC面积的最大值为
此时，P点坐标是（，）．

（3）答案：（2，3）；（

，）．
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******注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，∴y
P
=PE=CO=3．
又CP∥x轴，则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，∴x
P
=2．
∴P（2，3）．
②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．
2
设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=﹣m+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC =
∵PQ∥CA，∴tan∠PQE=
∴QE=n，PQ=
，tan∠CAO=3，c os∠CAO=；
=tan∠CAO=3，
=n．
过点Q作QM∥PC，交AC 于点M，则四边形PCMQ为平行四边形，△QAM为等腰三角
形．再过点Q作QN⊥AC于点N．
则有：CM=PQ=n，AN=AM=（AC﹣CM）=（1﹣n），
AQ==5（1﹣n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m﹣n），
∴5（1﹣n）=1+（m﹣n），化简得：n=3﹣m；
又P点在抛物线上，有n=﹣m+2m+3，
∴﹣m+2m+3=3﹣m，化简得：m﹣∴m=
∴P（
，n=3﹣m=
，）．
，
22
2
m=0，解得m
1
=0（舍去），m
2
=


第 6 页 共 6 页

3．（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、
D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式； 2
（2）记直线AB的解析式为y
1
=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y< br>2
=ax+bx+c，求当y
1
＜
y
2
时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间 的一
个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

9．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣；
∴抛物线：y=﹣x+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y
1
=﹣x﹣；
由（1）得：y
2
=﹣x+x+4，则：
2
2
，
解得：

，；
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由图可知：当y
1
＜y
2
时，﹣2＜x＜5．

（3）∵S
△
APE
=AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S
△
ABC
最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
﹣x+b=﹣x+x+4，且△=0；
求得：b=，即直线L：y=﹣x+；
2
可得点P（，）．
由（2）得：E（5，﹣
则点F（
），则直线PE：y=﹣
；
×（+）=
．
．
x+9；
，0），AF=OA+OF=
∴△PAE的最大值：S
△
PAE
=S
△
PAF
+S△
AEF
=×
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为


4．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1， 0），C（2，3）
两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

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2

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF
∥ BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E
的坐标；若不 能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

2
12．解：（1）由抛物线y=﹣x+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
2
故抛物线为y=﹣x+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直线AC为y=x+1；

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

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则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
2
∴x+3=﹣x+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上
2
∴x﹣1=﹣x+2x+3
解得x=
∴E（
或x=
，

）或（，）
，）或（，）； 综上，满足条件的点E为E（0，1）、（

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1
2
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）
2
∴PQ=（﹣x+2x+3）﹣（x﹣1）
2
=﹣x+x+2
又∵S
△
APC
=S
△
APQ+
S
△
CP Q
=PQ•AG
=（﹣x+x+2）×3
=﹣（x﹣）2+
∴面积的最大值为

．
2

方 法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如
图2，
2
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）
又∵S
△
A PC
=S
△
APH
+S
直角梯形
PHGC
﹣S△
AGC
=（x+1）（﹣x+2x+3）+（﹣x+2x+3+3）（2﹣x）
﹣×3×3
=﹣x+x+3
=﹣（x﹣）+
2
2
22

． ∴△APC的面积的最大值为

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20．（2012•苏州）如图，已知半径 为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半
圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C ，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设
PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？

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20．解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴=，即PA=PC•AB，
2
∵PC=，AB=4，
∴PA==，
，
=；
∴Rt△APB中，AB=4，PA=
由勾股定理得：PB=

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，
∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，
22
∴PD•C D=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x+12x﹣16=﹣2（x﹣3）+2，
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．

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