好段摘抄100字-股市放假

中考数学最值问题总结
考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“ 点
关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）
问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配
方求多项式取值 二次函数顶点）
出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、
圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”
几何基本模型：
条件：如下 左图，
A
、
B
是直线
l
同旁
的两个定点．
问题：在直线
l
上确定一点
P
，使
PAPB
的值最小．
方法：作点
A
关于直线
l
的对称点
A

， 连结
A

B
交
l
于
点
P
，则
PAPBA

B
的值最小
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角
形，M为对角线BD（不含B点）上任意一 点，将BM绕点
B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
A

′
B
A
l
P

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为
长。
时，求正方形的边





例2、如图13，抛物线y=ax
2
＋bx＋c(a ≠0)的顶点为（1,4），
交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于
点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，
点G为PQ上一动点，则x轴上是否存 在一点H，使D、G、
F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值
及G、H的 坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂
线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，

连接MD，使△DNM∽ △BMD，若存在，求出点T的坐标；若不
存在，说明理由.

例3、如图1 ，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的
边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以 下问题的结果可用
a,b表示）
（1）求S
△DBF
;
(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45
0
得图2,
求图2中的S
△DBF
;
(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程
中,S< br>△DBF
是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、
最小值；如果不存在，请 说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线
y=
1
x+1
与抛物线
2
y=ax
2
+bx3
交于A，B两点，点A在 x轴上，点B的纵坐标为
3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），
过点 P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
（1）求a，b及
sinACP
的值
（2）设点P的横坐标为
m

①用含
m
的代数式表示线段PD的长，并求出线段
PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，
是否存在适合的
m
值，使这两个三 角形的面积之比为9：10？
若存在，直接写出
m
值；若不存在，说明理由.

例5、如图，⊙C的内接 △AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=
3
,
4
抛物线
y ax
2
bx
经过点A(4,0)与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D .动点P在线
段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线
段DA上，从点D出发向点A 运动；点P的速度为每
秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当
PQ⊥AD时，求运动 时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB
面积最大时，求点R的坐标.

例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即
∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，
AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴
AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角
形． ∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点 处时，AM+BM+CM的值
最小，即等于EC的长．（11分）




例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：
ya(x1)
2
4
，依
题意，将点B（3，0）代入，得：
a(31)
2
40
解得：
a＝－1∴所求抛物线的解析式为：
y(x1)
2
4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与
点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则
HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛 物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入
抛物线
y(x1)
2
4< br>，得

y(21)
2
43

∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线
y(x1)
2
4图像分别与x轴、y轴交于点A、
B、D
∴当y＝0时，
(x1)
2
40
，∴x＝－1
或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D
（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝
GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：


kb0


2kb3

解得：

k1


b1

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴
DF
=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）

∴
EI

DE
2
DI
2
2
2
4
2
25
………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
yk
1
xb
1
(k
1
0)
，
分别将点E（2，3）、点I（ 0，－1）代入
yk
1
xb
1
，得：

2k
1
b
1
3



b
1
1
解得：

< br>k
1
2

b
1
1

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
1
；
2
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（
1
，0）
2
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝
DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
225

5
。 ∴四边形DFHG的周长最小为
22

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使
NM
MD

MD
即可，
BD
即：
MD
2
NMBD
………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
NM
BD

AM
AB


再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
3
∴
MN
AMBD(1a)3232
(1a)

AB44
2
，AB＝4
∵
MD
2
OD
2
OM
2
a
2
9
，
∴⑤式可写成：
2
a
2
9
32
(1a)32

4
解得：
a
3
或
a3
（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（
3
，0）
2
又∵点T在抛物线
y(x1)
2
4
图像上，
∴当x＝
3
时，y＝
15

22
的坐标为（
3
，
15
）.
22
∴点T
例3、
解：（1）∵点F在AD上，∴AF
2
=a
2
＋a
2
，
即AF=
∴
DFb
∴
S
 DBF
2a
。
2a
。
1113
DFAB（b2a）bb
2
ab
。
2222
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，

∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴
S
DBF
S
ABD

1
b
2
。
2
（3）正 方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是
以点A为圆心，AF为半径的圆。
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
∵△BFD的边BD=
2b
，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S
△BFD
取得最
大、最小值。
12b
2
2ab
如图，当DF⊥BD时，S
△BFD
的最 大值=
2b(b2a)
，
222
12b
2
2a b
S
△BFD
的最小值=
2b(b2a)
。
222

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
b
2
2ab
S
△BFD
的最大值=

。
2

例4、解：（1）由
1
x+1=0
，得到x=－2，∴A（－2，0）。
2
由
1
x+1=3
，得到x=4，∴B（4，3）。
2
∵
y=ax
2
+bx3
经过A、B两点，

1
a=


4a2b3=0

2
∴< br>
，解得

。
1
16a+4b3=3


b=

2

设直线AB与y轴交于点E，则E
（0，1 ）。
∴根据勾股定理，得AE=
5
。
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。
∴
sinACP=sinAEO=OA

AE
225

5
5
。
22< br>（2）①由（1）可知抛物线的解析式为
y=
1
x
2

1
x3
。
1
2
11

m
，
mm3m
，
m+1

。
由点P的横坐标为
m
，得P

，C


22

2
∴PC=
111

1

m+1

m
2
m3

m
2
+m+4
。
222

2

5
5
=
595

m1

2
+
55
1
2

2
在R t△PCD中，
PDPCsinACP=


m+m+4



2

，
∵

5
<0，∴当
5
m=1时，PD有最大值
9
29
5
5
。
②存在满足条件的
m
值，
m=
5
或
32
。

例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入
y=ax
2
+bx
中，得方程组


16a+4b=0

4a-2b=6，

1
a=
1
2
解之，得

2
.∴抛物线的解析式为
y=x-2x
.
2


b=-2
（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO，
AB
»
AO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB. ∴
»
∴∠ OAD=∠AOB
4
，∵OA=4 tan∠AOB=
3
4
，
∴OD=OA·tan∠OAD=4×
3
=3.
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×
3
=2.4.
5
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= =DQ
－FQ= t.
⊿ODF中，t=DF=
2
OD2OF2
=1.8秒.
（3）令R(x,
1
x－2x) (0＜x＜4).
2
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，
OG=
1
x+2x.
2
2
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=
3
.∴IG=
4
x
4
3

IR=
5
x,
3
Rt ⊿OIH中，OI=IG－OG=
4
x－（
1
x+2x）=
1
x－
2
=
4
22
3
22
3
5
（
1
x－
2
x）.
2
2
3
335155< br>52
22
x+
11
x=－
2
( x－
11
)+
121

5
5
440
22< br>当x=
11
时，RH最大.S
⊿ROB
最大.这时
1
x－2x=
1
×(
11
)
4224
－2×
11=－
55
.∴点R(
11
,－
55
)
432432
于是RH=IR－IH=
5
x－
4
（
1
x－
2
x）=－
2
x+
33
x=－
2

22