立春图片-物业保洁员岗位职责

圆中的最值问题
【考题展示】
题1 (2012年武汉中考)在坐标系中， 点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内
一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m，则m的取值范围是_________．
题2 (2013年武汉元调)如图，在边长 为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作
⊙O，C为半圆弧
AB
上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=
a
，AC =
b
，求
ab
的最大值.（有修改）
题3 (2013年武汉四 调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P
为圆 心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_______ __．
题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，
A120
，
B C6
．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为
_________．（有修改）
题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF． 连接CF交BD于点G，
连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__ _______．

题1图 题2 图 题3 图


题4图 题5图
【典题讲练】
类型1（相关题：题5）

1.1 如图，边长为 a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O
的距离的最大 值是_________．
. . . .

1.2 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从 原点
开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值， 并确定此
时图形应满足什么条件．

1.3 如图，在平面直角坐标系中， 已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y
轴上，当点A从 原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．
（1）当A在原点时，求点B的坐标；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

1.4 边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD =45°，则顶
点C到原点O的最大距离为_________．

1.5 如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧
AB向B点运动（点
P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP的垂线CD交PB的延
长线于D点．
（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_________；
. . . .

（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_________．
D
C
A
O
P
B

1.6 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP
⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．

1.7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点 ，且AD=2，M为BD的中点，
在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．
A
D
M
CB

类型2（相关题：题4）
2.1 如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△A BC
面积的最大值是_________．

2.2 如图，已知直线MN经过 ⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC=OB，
若点P是⊙O 上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．

2.3 如 图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形A BDPC面
积的最大值是_________．
. . . .

2.4 已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．

2.5 如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．

2.6 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与C B，CA分别相交于点
E，F，则线段EF长度的最小值是_________．

2.7 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半 径为1（O为坐标原点），
点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．

2.8 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为 （﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于
点Q，则当PQ最小时，P点的坐 标为_________．
. . . .

类型3（相关题：题3）

3.1 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠AB C=45°，AB=2
别交AB，AC于E，F，连接EF．
，D是线段BC上的一个动点， 以AD为直径画⊙O分
（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；
（2）求出该最小值．

3.2 如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8， AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相
切，则线段PQ的最小值等 于_________．

类型4（相关题: 题2）
4.1 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．
（1）求弦CD的长 ；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．(参考2.4、2.5）

22

4.2 如图，半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆 心O的距离为1，则
AB+CD=_________．

. . . .

4.3 如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=
ABCD面积的最大值为_________．
，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形

4.4 如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．

4.5 如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，
则⊙O半径的最小值为 .
E
D
O
ACB

4.6 在平面直角坐标系中，以坐标原 点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过
点P作⊙O的切线与
x
轴相交于点A，与
y
轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .

类型5（相关题：题1）

5.1 如图，已知A、B两点的坐标 分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上
的一个动点 ，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是_________．
. . . .

5.2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30 °，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边
BC始终有交点（包括B、C两 点），则线段AO的取值范围是 .

A
5.3 如图，在R t△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E ，
则线段CE长度的最小值是 .
O

A
5.4 在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上 直线y=x+1上一动点，且CB
C
⊥AB于点B，则
D
tan
B< br>ACBm
，则
m
的取值范围是 .

B
5.5 如图，，以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P
(a，b)
为⊙A上 的一个动点，请分别探
y
A点的坐标为（-2，1）
C
ba
的最大 值；②
EB
ba
的最小值；③
ba
的最大值；④
ba
的最大值；
O
索：①
P

y
的范围；②
b2a
的范围；
yy
【拓展延伸】：①
b2a
O
类型6
Ax
P
O的直径，点A是半圆上的三等分点，
PP
6.1 如图，CD是⊙B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，
当CD=4时，
AAA
求：（1）AP+BP的最小值．
B
的最大值．
O

x
BOBO
xx
（2）AP﹣BP

6.2 如图，已知圆 O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB
上任一 点，则PC+PD的最小值为_________．

6.3 如图，AB、CD是半径为5 的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于
点F，P为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．
. . . .

6.4 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ ABC=60°．若动点E以2cms的速度从A
点出发沿着A→B方向运动，设运动时间为t（s）， 连接EF、CE，当t为_________秒时，CE+EF最小，其最
小值是_________．

6.5 四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．
（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；
（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．

补充练习（与例题类型不完全对应）
1. 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A， OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延
长线交直线l于点C，若在⊙O上 存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范
围为_________ ．

2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O 从A点出发，沿AB以每秒
3
cm的速度向B
点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0 )时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两
点，过E作EG⊥DE交射线B C于G.
（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是_________．
（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是_________．

3 ．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上 的任意一点，
直线

，当P、Q在两圆上任意运动时，
tan
< br>的最大值为_________．
C
C
PQ与连心线
l
所夹的锐角度数为

Q
D
G
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形AB CD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一
P
个动点，连接AP、OP，则△A OP面积的最大值为_________．
M
A

BE
F
N
A
B
l
O
P
5．如图，在Rt△ABC
D
中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、A
Q，则线段PQ长度的最小值是_________．

O
C
B
P
. . . .
C< br>Q
ADB

6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC =4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），
过A、D、E三点作⊙O，⊙O交 AC于另一点F，在此运动变化的过程中，
线段EF长度的最小值为
_________．< br>7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为 1，若D是⊙C上的
F
一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是___ ______．

E
O
8．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90° ，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则
B
切线长PQ 长度的最小值为
DC
_________．

A
9．在直角坐标系 中，点A的坐标为（3，0），点P（
m，n
）是第一象限内一点，且AB=2，则
m n
的范围为
P
_________．

y
10．在平面 直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连
Q
P
22
接PA、PB，则PA+PB最大值是_________．
CB

11.
O
如图所示，AC
A
⊥AB，AB =6
x
，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设 ∠
DAB=

，（0°＜

＜90°）．若要使点E在线段OA上（ 包括O、A两点），则
tan

的取值范围为_________．


A
. . . .