线段最值问题解法汇编

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2020年10月20日 04:19
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2020年10月20日发(作者:许林枫)


线段最值问题解法汇编

一、定点到定点⇒连线段
点P在直线l上,AP+BP何时最小?

二、定点到定线⇒作垂线
点P在直线l上,AP何时最小?


三、定点到定圆⇒连心线
点P在圆O上,AP何时最小?

线段最值问题一般转化为上述三个问题.
例题赏析:
1.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,
OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长最小值为 .


思路:把点P分别沿OA、OB翻折得P
1
、P
2
, 周长即为P
1
M+MN+P
2
N,
转化为求P
1
、 P
2
两点之间最小值,得△PMN最小值为P
1
P
2
=OP =6.
2.如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC
于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值
是 .

思路:点N沿AD翻折至AC上,BM+MN=BM+MN',转化为求点
B到 直线AC的连线最小值,即BN'⊥AC时,最小值为2√2.
3.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心、1为半径画圆,
E是⊙A
上一动点,F是BC上的一动点,则FE+FD的最小值是 .


思路:点D沿BC翻折至D',DF+EF=D'F+EF,转化为求点D'到圆
A 上各点的最小距离,易求D'E=4.
4.在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,点E、F分别是边 AB、
BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF 的最小
值,则这个最小值是 .

思路:点E沿AC翻 折,转化为点到点的距离.(将军饮马问题实质就
是通过翻折转化为定点到定点的问题)
5. 如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON
上,当B在边ON上运动时, A随之在边OM上运动,矩形ABCD
的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到 点O的
最大距离为 .



思路:取AB中点E,连接DE、OE,由两点间线段最短,得OD≤OE+ DE,
最大为1+√2.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3 ,P是AB边上的动
点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP,
连接B′A,则B′A长度的最小值是 .

思路:B'点运动路径为以C 为圆心,BC为半径的圆弧,转化为点到圆
的最短距离AC-B'C=1.


7.在⊙O中,圆的半径为6,∠B=30°,AC是⊙O的切线,则CD的
最小值是 .

思路:D是定点,C是直线AC上的动点,转化为求点到线的最短距
离. 8.在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=35,将△ABC绕点C顺时针
旋转,得到 △A'B'C,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,
在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程 中,点F的对应点是F',求线段EF'
长度的最大值与最小值的差.

思路:先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半
径为AB边上的高,F'是 A'B'上任意一点,因此F'的运动轨迹是圆环
内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长距 离.



E到圆环的最短距离为EF
2
=CF
2
-CE=4.8-3=1.8,E到圆环的最长距
离为EF
1=EC+CF
1
=3+6=9,其差为7.2.
问:何时需要作辅助线翻折其中的定点(定线或定圆)?
答:当动点所在直线不在定点(定线 或定圆)之间时,需把定点(定
线或定圆)沿动点所在直线翻折以使定点(定线或定圆)处于动点所在直线的两侧,从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到
交点.如上述例3,动点F所在 直线不在定圆A和定点D之间,因而需
把D点沿BC翻折至D',即可转化为定点D'到定圆A的最短距 离,
另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧,同样可以转化为定点D到定圆
A'的最短距离,如下 图.






关键方法:动中求定,动点化定线;以定制动,定点翻两边.
(1)动中求定 ,动点化定线:如例7、例8、例10,动点所在路径
未画出时需先画出动点所在轨迹,一般动点所在轨 迹为线或圆.
(2)以定制动,定点翻两边:如例1、例2、例3、例5,定点(线
或圆)在 动点所在直线同侧时需翻折至两侧,转化为上述三种关系.

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