广西艺术学院地址-小学生教师节演讲稿

中考数学最值问题
2
【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）﹣4的最小值为 ．

【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB =45°，若点
M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．


【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）过点
A
(1，0)，
B
(3，0)两点，与
y
轴交于点
C
，
OC
＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
（2）过点
A
作
AM
⊥
BC
，垂足为
M
，求证：四边形
ADBM
为正方形；

（3）点
P
为抛物线在直线
BC
下方 图形上的一动点，当△
PBC
面积最大时，求
P
点坐标及最大面积的值；
（4）若点
Q
为线段
OC
上的一动点，问
AQ
＋
请说明理由．
2
1
QC
是否存在最小值若存在，求岀这个最小 值；若不存在，
2
y
C
3
2
1
-2
-1< br>O
-1

练 习
M
A
1
2
D

3
B
x
1 .（2018河南）要使代数式
23x
有意义，则x的（ ）
A.最大值为
33
22
B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为
33
22
2.（2018四川绵阳）不等边 三角形
ABC
的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么
此高的最大 值可能为________。
1

3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数 ，那么
aabba2b
的最小值为_______。
4.（2018云南） 如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上
的一 个动点，则PA+PB的最小值为 ．

22

5.（2018海 南）某水果店在两周内，将标价为10元斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元斤，
并且两次降价的 百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第
x
天(
x
为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表
所 示.已知该种水果的进价为元斤，设销售该水果第
x
(天)的利润为
y
(元) ，求
y
与
x
(1≤
x
＜15)之间的函
数关系式， 并求出第几天时销售利润最大
时间(天) 1≤
x
＜9 9≤
x
＜15
x
≥15
售价(元斤) 第1次降价后的
价格
第2次降价后的
价格
120－
x

3
x
－64
x
＋400
2

销量(斤)
储存和损耗费用
(元)
80－3
x

40＋3
x

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产 一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部
售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为
R50030x
，
P 1702x
。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少
7.（2018吉林）某工程队要 招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别
是600元和1000元，现 要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人
时可使得每月所付的工 资最少
2

x
2
x1
8.（经典题）求
2
的最大值与最小值。
xx1
9.（经典题）求代数式
x1x
的最大值和最小值。
10.（经典题）求函数
y|x1||x4|5
的最大值。
11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足
xym5
，
xyymmx3
，求实数m最大
值与最小值。
12.（2019年黑龙江省大 庆市）如图，在Rt△
ABC
中，∠
A
＝90°．
AB
＝8
cm
，
AC
＝6
cm
，若动点
D
从
B
出发，沿线段
BA
运动到点
A
为止（不考虑
D
与
B
，
A
重合的情况），运动速度为2
cm

s，过点
D
作
DE
∥
BC
交
AC
于点< br>E
，连接
BE
，设动点
D
运动的时间为
x
（
s
），
AE
的长为
y
（
cm
）．
（1）求
y
关于
x
的函数表达式，并写出自变量
x
的取值 范围；
（2）当
x
为何值时，△
BDE
的面积
S
有最大值最大值为多少
2

13.（2019年宁夏）如图，在△
ABC< br>中，∠
A
＝90°，
AB
＝3，
AC
＝4，点
M
，
Q
分别是边
AB
，
BC
上的动
点（ 点
M
不与
A
，
B
重合），且
MQ
⊥
BC
，过点
M
作
BC
的平行线
MN
，交
AC
于点
N
，连接
NQ
，设
BQ
为
x．
（1）试说明不论
x
为何值时，总有△
QBM
∽△
ABC
；
（2）是否存在一点
Q
，使得四边形
BMNQ
为 平行四边形，试说明理由；
（3）当
x
为何值时，四边形
BMNQ
的面积最大，并求出最大值．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角 形的判
定定理、二次函数的性质是解题的关键．
14. （2019广东深圳）如图所示，抛 物线
yaxbxc
过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
3
2

（2）点D， E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

15.（2019广西省贵港）已知：
ABC
是等腰直角三角形，
BAC90
，将
ABC
绕点
C
顺时针方向
旋转得 到△
ABC
，记旋转角为

，当
90

 180
时，作
ADAC
，垂足为
D
，
AD
与
BC
交于点
E
．

（1）如图1，当
CA D15
时，作
AEC
的平分线
EF
交
BC
于点
F
．
①写出旋转角

的度数；
②求证：
EAECEF
；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P
是直线
AD
上的一个动点，连接
PA
，
PF
，若
AB2
，求线
段
PAPF
的最小值．（结果保留根号）.
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线
y
＝
1
2
1
x
+
bx
+
c
与直线
y
＝
x+3分别相交于
A
，
B
两点，且此
22
抛物线与
x
轴的一个交点为
C
，连接
AC
，
BC
．已知< br>A
（0，3），
C
（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴
l
上找一点
M
，使|
MB
﹣MC
|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点
P
为
y
轴右侧抛物线上一动点，连接
PA
，过点
P
作
PQ
⊥PA
交
y
轴于点
Q
，问：是否存在点
P
使得以
A
，
P
，
Q
为顶点的三角形与△
ABC
相 似若存在，请求出所有符合条件的点
P
的坐标；若不存在，请
说明理由．
4

17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点
B
的坐标为
(1,0)
，且
OAOC4OB
，抛2
物线
yaxbxc(a0)
图象经过
A
，
B
，
C
三点．
（1）求
A
，
C
两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点
P
是直线
AC
下方的抛物线上的一个动点，作
P DAC
于点
D
，当
PD
的值最大时，求此时
点
P
的坐标及
PD
的最大值．

18.（2019内蒙古赤峰）如图， 直线
y
＝﹣
x
+3与
x
轴、
y
轴分别交于
B
、
C
两点，抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
经过点
B
、
C
，与
x
轴 另一交点为
A
，顶点为
D
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在
x
轴上找一点
E
，使
EC
+
ED
的值最小，求
EC
+
ED
的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是 否存在一点
P
，使得∠
APB
＝∠
OCB
若存在，求出P
点坐标；若不存在，请
说明理由．
2
5

19.（2019•湘潭）如图一，抛物线
y
＝
ax
2
+< br>bx
+
c
过
A
（﹣1，0）
B
（）、
C
（0，）三点


（1）求该抛物线的解析式；

（2 ）
P
（
x
1
，
y
1
）、
Q
（4，
y
2
）两点均在该抛物线上，若
y
1
≤
y
2
，求
P
点横坐标
x
1
的取值范围；
< br>（3）如图二，过点
C
作
x
轴的平行线交抛物线于点
E
，该抛物线的对称轴与
x
轴交于点
D
，连结
CD
、
CB
，点
F
为线段
CB
的中点，点
M
、
N
分别为直线
CD
和
CE
上的动点，求△
FMN
周 长的最小值．

20.（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△
ABC
的边
BC
在
x
轴上，∠
ABC
＝90°，以
A
为顶
点的抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx< br>+
c
经过点
C
（3，0），交
y
轴于点
E< br>（0，3），动点
P
在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点
P
从
A
点出发，沿
A
→
B方向以1个单位秒的速度匀速运动到点
B
停止，设运动时间为
t
秒，过点
P
作
PD
⊥
AB
交
AC
于点D
，过点
D
平行于
y
轴的直线
l
交抛物线于点
Q
，连接
AQ
，
CQ
，当
t
为何值时，< br>△
ACQ
的面积最大最大值是多少

（3）若点
M
是 平面内的任意一点，在
x
轴上方是否存在点
P
，使得以点
P
，
M
，
E
，
C
为顶点的四边形是
菱形，若存在，请 直接写出符合条件的
M
点坐标；若不存在，请说明理由．

6

【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）
2
﹣4的最小值为 ．

【答案】﹣4．

【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．

二次函数y=2（x﹣3）
2
﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），

所以最小值为﹣4．

【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5 ，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点
M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最 大值是 ．

7

【答案】．

【 解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求
得 最大值．


如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，

∴MN=BC，

∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，

连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，

∵BC′是⊙O的直径，

∴∠BAC′=90°．

∵∠ACB=45°，AB=5，

∴∠AC′B=45°，

∴BC′===5，

∴MN
最大
=．

2
【例题3】（2019湖南张家界）已 知抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）过点
A
(1，0)，
B
(3，0)两点，与
y轴交于点
C
，
OC
＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
（2）过点
A
作
AM
⊥
BC
，垂足为
M
，求证：四边形
ADBM
为正方形；

（3）点
P
为抛物线在直线
BC
下方 图形上的一动点，当△
PBC
面积最大时，求
P
点坐标及最大面积的值；
8

（4）若点
Q
为线段
OC
上的一 动点，问
AQ
＋
QC
是否存在最小值若存在，求岀这个最小值；若不存在，< br>请说明理由．
y
C
3
2
1
-2
-1
O
-1

M
A
1
2
D

3B
x
【思路分析】（1）将
A
、
B
、
C
三点坐标代入抛物线的解析式即可求出
a
、
b
、
c
的值（ 当然用两根式做
更方便）；（2）先证四边形
AMBD
为矩形，再证该矩形有一组邻边 相等，即可证明该四边形为正方形；（3）
如答图2，过点
P
作
PF
⊥
AB
于点
F
，交
BC
于点
E
，令
P
(
m
，
m
－4
m
＋3)，易知直线
B C
的解析式为
y
＝－
x
＋3，则
E
(
m< br>，－
m
＋3)，
PE
＝(－
m
＋3)－(
m
－4
m
＋3)＝－
m
＋3
m
．再由
S△
PBC
＝
S
△
PBE
＋
S
△
CPE
，转化为
PE
•
OB
＝×3×(－
m
＋3
m
)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定
S
△
PBC
的最 大值与点
P
坐标；（4）解决本问按两
步走：一找（如答图3，设
OQ
＝
t
，则
CQ
＝3－
t
，
AQ
＋
QC
＝
t
2
1
2
22
2
1
(3t)
，取
CQ
的中点
G
，以点
Q
为
2
圆心，
QG
的长为半径作⊙
Q
，则当⊙
Q
过点< br>A
时，
AQ
＋
QC
＝⊙
Q
的直径最小）、二 求（由
AQ
＝
QC
，解关于t
的方程即可）．
【解题过 程】（1）∵抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
≠0）过点
A
(1，0)，
B
(3，0)两点， ∴令抛物线解析为
y
＝
a
(
x
－1)(
x－3)．
∵该抛物线过点
C
(0，3)，
∴3＝
a
×(0－1)×(0－3)，解得
a
＝1．
∴抛 物线的解析式为
y
＝(
x
－1)(
x
－3)，即
y
＝
x
－4
x
＋3．
∵
y
＝
x< br>－4
x
＋3＝(
x
－2)－1，
∴抛物线的顶点
D
的坐标为(2，－1)．
综上，所求抛物线的解析式为< br>y
＝
x
－4
x
＋3，顶点坐标为(2，－1)．
（ 2）如答图1，连接
AD
、
BD
，易知
DA
＝
DB
．
2
22
2
2
9

∵
O B
＝
OC
，∠
BOC
＝90°，
∴∠
MBA
＝45°．
∵
D
(2，－1)，
A
(3，0)，
∴∠
DBA
＝45°．
∴∠
DBM
＝90°．
同理，∠
DAM
＝90°．
又∵
AM
⊥
BC
，
∴四边形
ADBM
为矩形．
又∵
DA
＝
DB
，
∴四边形
ADBM
为正方形．
y
C
3
2
1
-2
-1
O
-1
M
A
12
D
图 1

2
B
3
x
（3）如答图2，过点
P
作
PF
⊥
AB
于点
F
，交
BC
于点
E
，令
P
(
m
，
m
－4
m
＋3 )，易知直线
BC
的解析式为
y
＝－
x
＋3，则
E
(
m
，－
m
＋3)，
PE
＝(－
m
＋3)－(
m
2
－4
m
＋3)＝－
m
2
＋3
m
．
y
C
3
E
M
A
1F
2
B
3
x
-2
G
2
1
Q< br>-1
O
-1
A
1
B
3
y
C
3
2
1
-2
-1
O
-1
2
D
x< br>P
D
图2 图3

2
∵
S
△
P BC
＝
S
△
PBE
＋
S
△
CPE
＝
PE
•
BF
＋
PE
•
OF
＝
P E
•
OB
＝×3×(－
m
＋3
m
)
10

＝－ (
m
－)＋，
∴当
m
＝时，
S
△
PBC
有最大值为，此时P点的坐标为(，－)．
（4）如答图3， 设
OQ
＝
t
，则
CQ
＝3－
t
，
AQ
＋
QC
＝
t
2
1
2
1
( 3t)
，
2
取
CQ
的中点
G
，以点
Q
为圆心，
QG
的长为半径作⊙
Q
，则当⊙
Q
过点< br>A
时，
AQ
＋
QC
＝⊙
Q
的直径最小，
此时，，解得
t
＝－1，
－1)＝4－． 于是
AQ
＋
QC
的最小值为3－
t
＝3－(



专题

典型训
有意义，则x的（ ） 1.（2018河南）要使代数式
A.最大值为 B.最小值为
C.最大值为 D.最大值为
【答案】A.
【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为。
2.（20 18四川绵阳）不等边三角形
ABC
的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那 么
此高的最大值可能为________。
【答案】5
【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为
2S
ABC4a12bch
，所以
a3b

又因为
cab4b
，代入
12bch

得
12b4bh
，所以
h3

又因为
cab2b
，代入
12bch

得
12b2bh
，所以
h6

所以33.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么
aabba2b
的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
aabba2b

22
22
11

a
2
(b1)ab
2
2b
b1
2
3
2
31
)bb

2424
b12
3
(a)(b1)
2
11
24
(a 
当
a
b1
0
，
b10
，即
a 0，b1
时，
2
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
4.（20 18云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上< br>的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．


【答案】2．

【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的 性质可知A′B即为PA+PB的最小
值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度 数，再由勾股定理即可求解．过A
作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′ B即为PA+PB的最小值，


连接OB，OA′，AA′，

∵AA′关于直线MN对称，

∴=，

∵∠AMN=40°，

∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，

∴∠A′OB=120°，

过O作OQ⊥A′B于Q，

在Rt△A′OQ中，OA′=2，

12

∴A′B=2A′Q=2，

．

即PA+PB的最 小值2
5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元斤的某种水果，经过两次降价后的价格 为元斤，
并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2 ）从第一次降价的第1天算起，第
x
天(
x
为正数)的售价、销量及储存和损 耗费用的相关信息如表
所示.已知该种水果的进价为元斤，设销售该水果第
x
(天)的 利润为
y
(元)，求
y
与
x
(1≤
x
＜1 5)之间的函
数关系式，并求出第几天时销售利润最大
时间(天) 1≤
x
＜9 9≤
x
＜15
x
≥15
售价(元斤) 第1次降价后的
价格
第2次降价后的
价格
120－
x

3
x
－64
x
＋400
2

销量(斤)
储存和损耗费用
(元)
80－3
x

40＋3
x

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元
【答案】看解析。
【解析】（1） 设该种水果每次降价的百分率为
x
，则第一次降价后的价格为10(1－
x
) ，第二次降价后的价
格为10(1－
x
)，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先 利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费
用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论； （3）设第15天在第14天的价格基础上降
a
元，利用不等
关系“（2）中最大利润 －[－
a
－×销量－储存和损耗费用]≤”求解．
解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为
x
，依题意得：
10(1－
x
)＝．
解方程得：
x
1
＝＝10% ，
x
2
＝(不合题意，舍去)
答：该种水果每次降价的百分率为10%．
（2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元斤)，
当1≤
x
＜9时，
y
＝(9－(80－3
x
)－(40＋3
x
)＝－＋352；
当9≤
x
＜15时，
y
＝－(120－
x
)－(3
x
－64
x
＋400)＝－3
x
＋6 0
x
＋80，
13
22
2
2


－＋352(1≤
x
＜9，
x
为整数)，
综上，
y
与
x
的函数关系式为：
y
＝


2

－3
x
＋60
x
＋80(9≤
x
＜15，x
为整数)．
当1≤
x
＜9时，
y
＝－＋352，∴当
x
＝1时，
y
最大
＝(元)；
当9≤
x
＜15时，
y
＝－3
x
＋60
x
＋80＝－3(
x
－10)＋380，∴当
x
＝10时，
y
最大
＝380(元 )；
∵＜380，∴在第10天时销售利润最大．
（3）设第15天在第14天的价格上最多可降
a
元，依题意得：
380－[－
a
－(120－15)－(3×15－64×15＋400)]≤，
解得：
a
≤，
则第15天在第14天的价格上最多可降元．
6. （2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部
售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为
2
22
R50030x
，
P1702x
。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少
【答案】看解析。
【解析】（1）根据题意得：

(1702x)x(50030x)1750

整理得
x70x11250

解得
x
1
25，
x
2
45
（不合题意，舍去）
（2）由题意知，利润为

PxR2x140x5002(x35)1950

所以当
x35
时，最大利润为1950元。
7.（2018吉林）某工程 队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别
是600元和1000元 ，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人
时可使得每月所付 的工资最少
【答案】看解析。
【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为
(150x)
人，
由题意得：
150x2x
所以
0x50

设所招聘的工人共需付月工资y元，
则有：
y600x1000(150x)400x150000
（
0x50
）
因为y随x的增大而减小
所以当
x50
时，
y
min
130000
（元）
14
22
2

x
2
x18.（经典题）求
2
的最大值与最小值。
xx1
【答案】最大值是3，最小值是。
【解析】此题要求出最大值与最小值， 直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二
次方程；再根据x是实数，推得
 0
，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
x
2
x1
设
2
y
，整理得
xx1
即
因为x是实数，所以22



即
(1y)4(1y)0

解得
1
y3

3
x
2
x1
所以
2
的最大值是3，最小值是。
xx1
9.（经典题）求代数式
x1x
2
的最大值和最小值。
【答案】最大值为12，最小值为-12.
【解析】设
yx1x
，1x1
，再令
xsin

，

2
< br>2




2
，则有
yx1x
2
sin

1sin
2

sin

cos


所以得y的最大值为12，最小值为-12.
1
sin2


2
10.（经典题）求函数
y|x1||x4|5
的最大值。
【答案】0
【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在 各个区间上的最大值，
再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
易知该函数有两个零点
当
x4
时

y(x1)(x4)50

当
4x1
时

当
x4
时，得

10y2x80

当
x1
时，
y(x1)(x4)510

15
、

综上所述，当
x4
时，y有最大值为
11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足
xym5
，
xyymmx3
，求实数m最大
值与最小值。
【答案】 m的最大值是
13
，m的最小值是－1。
3

xy5m
【解析】由题意得


2

xy3m(xy)3m(5m)m5m3
所以x、y是关于t的方程
t(5m)t(m5m3)0
的两实数根，
所以
[(5m)]4(m5m3)0

即
3m10m130

解得
1m
m的最大值是
2
22
22
13

3
13
，m的最小值是－1。
3
12.（2019年黑龙江省大庆 市）如图，在Rt△
ABC
中，∠
A
＝90°．
AB
＝8< br>cm
，
AC
＝6
cm
，若动点
D
从
B
出发，沿线段
BA
运动到点
A
为止（不考虑
D
与
B
，
A
重合的情况），运动速度为2
cm

s
，过点
D
作
DE
∥
BC
交
AC
于点E
，连接
BE
，设动点
D
运动的时间为
x
（< br>s
），
AE
的长为
y
（
cm
）．
（1）求
y
关于
x
的函数表达式，并写出自变量
x
的取值范 围；
（2）当
x
为何值时，△
BDE
的面积
S
有 最大值最大值为多少

【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定 、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比
是解题的关键．
（1）由平行线得 △
ABC
∽△
ADE
，根据相似形的性质得关系式.
动点
D
运动
x
秒后，
BD
＝2
x
．
又∵
AB
＝8，∴
AD
＝8﹣2
x
．
∵
DE
∥
BC
，
16

∴
∴
，
，
（0＜
x
＜4）． ∴
y
关于
x
的函数关系式为
y
＝
（2）由
S
＝•
BD
•
AE
；得到函数解析式，然后运用函数性质求解． < br>S
△
BDE
＝
当
＝＝
2
（0＜
x< br>＜4）．
时，
S
△
BDE
最大，最大值为6
cm
．
13.（2019年宁夏）如图，在△
ABC
中，∠
A
＝90°，
AB
＝3，
AC
＝4，点
M
，
Q
分别是边
AB
，
BC
上的动
点（点
M
不与
A
，B
重合），且
MQ
⊥
BC
，过点
M
作
BC
的平行线
MN
，交
AC
于点
N
，连接
NQ
，设
BQ
为
x
．
（1）试说明不论
x
为何值时，总有△
QBM
∽△
ABC
；
（2）是否存在一点Q
，使得四边形
BMNQ
为平行四边形，试说明理由；
（3）当
x
为何值时，四边形
BMNQ
的面积最大，并求出最大值．

【答案】见解析。
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的 判定、二次函数的性质，掌握相似三
角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
（1）∵
MQ
⊥
BC
，
∴∠
MQB
＝90°，
∴∠
MQB
＝∠
CAB< br>，又∠
QBM
＝∠
ABC
，
∴△
QBM
∽△
ABC
；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
当
BQ
＝
MN
时，四边形
BMNQ
为平行四边形，
∵
MN
∥
BQ
，
BQ
＝
MN
，
17

∴四边形
BMNQ
为平行四边形；
（3）根 据勾股定理求出
BC
，根据相似三角形的性质用
x
表示出
QM
、
BM
，根据梯形面积公式列出二次
函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
∵∠
A
＝90°，
AB
＝3，
AC
＝4，
∴
BC
＝
∵△
QBM
∽△
ABC
，
∴＝＝，即＝＝，
＝5，
解得，
QM
＝
x
，
BM
＝
x
，
∵
MN
∥
BC
，
∴＝，即＝，
解得，
MN
＝5﹣
x
，
x
+
x
）×
x
＝﹣（
x
﹣
．
过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．
）+
2
则四边形< br>BMNQ
的面积＝×（5﹣
∴当
x
＝
，
时，四边形
BMNQ
的面积最大，最大值为
14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D， E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

【思路分析】（1）先求出点B的坐标，然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组， 解方程组即
可得出a，b，c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；（ 2）利用轴对称
原理作出点C的对称点，求出四边形CDEA的周长的最小值；（3）方法1：设CP与 x轴交于点E，先根据面
积关系得出BE：AE=3:5或5:3，求出点E的坐标，进而求出直线CE 的解析式，解直线CE与抛物线的解析
18

式联立所得的方程组求出点P的坐 标；方法2：设P（x，－x+2x+3），用含x的式子表示四边形CBPA的面
积，然后求出CB的 解析式，再用含x的式子表示出△CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的
值，得出P的坐 标．
【解题过程】（1）∵点C（0，3），OB=OC，∴点B（3，0）．
把A（－1，0），C（0，3），B（3，0）代入，得
2
解得
2

∴抛物线的解析式为y=－x+2x+3．
∵y=－x+2x+3=－（x－1）+4，
∴抛物线的对称轴为x=1．
（2）如图，作点C关于x=1的对称点C′（2，3），则CD=C′D．
取A′（－1，1），又∵DE=1，可证A′D=AE．
在Rt△AOC中，AC===．
22
四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =+1+CD+AE．
要求四边形ACDE的周长的最小值，就是求CD+AE的最小值．
∵CD+AE=C′D+A′D，
∴当A′D，C′三点共线时，C′D+A′D有最小值为
∴四边形ACDE的周长的最小值=+1+．
，

（3）方法1：由题意知点P在x轴下方，连接CP，设PC与x轴交于点E，
∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，
又∵S
△CBE
： S
△CAE
=S
△PBE
：S
△PAE
=BE：AE，
∴BE：AE=3:5或5:3，
∴点E
1
（，0），E
2
（，0）．
19

设直线CE的解析式为y=kx+b，（，0）和（0，3）代入，得
解得
∴直线CE的解析式为y=－2x+3．
同理可得，当E
2
（，0）时，直线CE的解析式为y=－6x+3．
由直 线CE的解析式和抛物线的解析式联立解得P
1
（4，－5），P
2
（8，－ 45）.

方法2：由题意得S
△CBP
=S
四边形CBPA或S
△CBP
=S
四边形CBPA
．
令P（x，－x+2x+3），
S
四边形CBPA
=S
△CAB< br>+S
△PAB
=6+×4·（x－2x－3）=2x－4x．
直线CB的解析式为y=－x+3，
作PH∥y轴交直线CB于点H，则H（x，－x+3），
S△CBP=OB·PH=×3·（－x+3+x－2x－3）=x－x．
当S
△CBP
=S
四边形CBPA
时，x－x=（2x－4x），
解得x
1
=0（舍），x
2
=4，
∴P
1
（4，－5）．
当S
△CBP
=S
四边形CBPA
时，x－x=（2x－4x），
解得x
3
=0（舍），x
4
=8，
∴P
2
（8，－45）．
22
22
22
22
2
20

15.（2019广西省贵港）已知：
ABC
是等腰直角三角形，
BAC90
，将
ABC
绕点
C
顺时针方向
旋转得 到△
ABC
，记旋转角为

，当
90

 180
时，作
ADAC
，垂足为
D
，
AD
与
BC
交于点
E
．

（1）如图1，当
CA D15
时，作
AEC
的平分线
EF
交
BC
于点
F
．
①写出旋转角

的度数；
②求证：
EAECEF
；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P
是直线
AD
上的一个动点，连接
PA
，
PF
，若
AB2
，求线
段
PAPF
的最小值．（结果保留根号）.
【思路分析】（1）①解直角三角形求出
ACD
即可解决问题．
②连接
AF
，设
EF
交
CA
于点
O
．在EF
时截取
EMEC
，连接
CM
．首先证明
CFA 
是等边三角形，
再证明
FCM
△
ACE(SAS)
，即可解决问题．
（2）如图2中，连接
AF
，
PB
，
AB
，作
BMAC
交
AC
的延长线于
M
． 证明△
AEF
△
AEB
，
推出
EFEB
，推出
B
，
F
关于
AE
对称，推出
PFP B
，推出
PAPFPAPBAB
，求出
AB
即可解决问题．
【解题过程】（1）①解：旋转角为
105
．
理由：如图1中，
21

ADAC
，
ADC90
，
CAD15
，
ACD75
，
ACA105
，

旋转角为
105
．
②证明：连接
AF
，设
EF
交
CA
于点
O
．在
EF
时截取EMEC
，连接
CM
．
CEDACECAE451560
，
CEA120
，
FE
平分
CEA
，
CEFFEA60
，
FCO180457560
，
，
FCOA EO
，
FOCAOE
FOC∽
△
AOE
，


OFOC
，

AOOE
OFAO
，

OCOE
COEFOA
，
COE∽FOA
，
FAOOEC60
，

△
AOF
是等边三角形，
CFCAAF
，
EMEC
，
CEM60
，
22

CEM
是等边三角形，
ECM60
，
CMCE
，
FCAMCE60
，
FCMACE
，
FCM
△
ACE(SAS)
，
FMAE
，
CEAEEMFMEF
．
（2）解：如图2中，连接
AF< br>，
PB
，
AB
，作
BMAC
交
AC
的延长线于
M
．

由②可知，
EAFEAB 75
，
AEAE
，
AFAB
，

△
AEF
△
AEB
，
EFEB
，
B
，
F
关于
AE
对称，
PFPB
，
PAPFPAPBAB
，
在Rt
△
CBM
中，
CBBC2AB2
，
M CB30
，
1
BMCB1
，
CM3
，
2
ABAM
2
BM
2
(23)
2< br>1
2
626
．
PAPF
的最小值为
626
．
16.（2019贵州省安顺 市）如图，抛物线
y
＝
x
+
bx
+
c
与直 线
y
＝
x
+3分别相交于
A
，
B
两点，且 此抛物
线与
x
轴的一个交点为
C
，连接
AC
，BC
．已知
A
（0，3），
C
（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴
l
上找一点
M< br>，使|
MB
﹣
MC
|的值最大，并求出这个最大值；
23
2

（3）点
P
为
y
轴右侧抛物线上一动点， 连接
PA
，过点
P
作
PQ
⊥
PA
交
y
轴于点
Q
，问：是否存在点
P
使得以
A
，P
，
Q
为顶点的三角形与△
ABC
相似若存在，请求出所有符合 条件的点
P
的坐标；若不存在，请
说明理由．


2【思路分析】（1）①将
A
（0，3），
C
（﹣3，0）代入
y
＝
x
+
bx
+
c
，即可求解；
（2）分 当点
B
、
C
、
M
三点不共线时、当点
B
、
C
、
M
三点共线时，两种情况分别求解即可；
（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．
2
【解题过程】（1）①将
A
（0，3），
C
（﹣3，0）代入
y
＝
x
+bx
+
c
得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是
y
＝
x
+
x
+3；
（2）将直线
y
＝
x
+3表达式与二次函数表达式联立并解得：
x< br>＝0或﹣4，
∵
A
（0，3），∴
B
（﹣4，1）
①当点
B
、
C
、
M
三点不共线时，
|
MB
﹣
MC
|＜
BC

②当点
B
、
C
、
M
三点共线时，
|
MB
﹣
MC
|＝
BC

∴当点、
C
、
M
三点共线时，|
MB
﹣
MC
|取最大值， 即为
BC
的长，
过点
B
作
x
轴于点
E< br>，在Rt△
BEC
中，由勾股定理得
BC
＝＝，
2
24

； ∴|
MB
﹣MC
|取最大值为
（3）存在点
P
使得以
A
、
P
、
Q
为顶点的三角形与△
ABC
相似．
设点
P
坐标为（
x
，
x
+
x
+3）（
x
＞0）
在Rt△
BEC
中，∵
BE
＝
CE
＝1， ∴∠
BCE
＝45°，
在Rt△
ACO
中，∵
AO
＝
CO
＝3，∴∠
ACO
＝45°，
∴∠
ACB
＝180°﹣45﹣45＝90，
AC
＝3
000
2
，
过点
P
作
PQ
⊥
PA
于点
P
，则∠
APQ
＝90°，
过点
P
作
PQ
⊥
y
轴于点
G
，∵∠
PQA
＝∠
APQ
＝90°
∠< br>PAG
＝∠
QAP
，∴△
PGA
∽△
QPA

∵∠
PGA
＝∠
ACB
＝90°
∴①当
△
PAG
∽△
BAC
，
∴，
时，
解得
x
1
＝1，
x
2
＝0，（舍去）
∴点
P
的纵坐标为×1+×1+3＝6，
∴点
P
为（1，6）；
②当时，
2
△
PAG
∽△
ABC
，
∴，
解得
x
1
＝﹣（舍去），
x
2
＝0（舍去），
25

∴此时无符合条件的点
P

综上所述，存在点
P
（1，6）．
17.（2019广西贺州）如图，在平 面直角坐标系中，已知点
B
的坐标为
(1,0)
，且
OAOC 4OB
，抛
物线
yax
2
bxc(a0)
图象经过
A
，
B
，
C
三点．
（1）求
A
，
C
两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点
P
是直线
AC
下方的抛物线上的一个动点，作
P DAC
于点
D
，当
PD
的值最大时，求此时
点
P
的坐标及
PD
的最大值．

【思路分析】（1）
OAOC4OB4
，即可求解；
（2）抛物线的 表达式为：
ya(x1)(x4)a(x
2
3x4)
，即可求解 ；
（3）
PDHPsinPFD
2
(x4x
2
3x4
，即可求解．
2
【解题过程】（1）
OAOC4OB4
，
故点
A
、
C
的坐标分别为
(4,0)
、
(0,4)
；
（2）抛物线的表达式为：
ya(x1)(x4)a(x
2
3x 4)
，
即
4a4
，解得：
a1
，
2
故抛物线的表达式为：
yx3x4
；
（3）直线
CA
过点
C
，设其函数表达式为：
ykx4
，
将点
A
坐标代入上式并解得：
k1
，
故直线
CA
的表达式为：
yx4
，
过点
P< br>作
y
轴的平行线交
AC
于点
H
，
26

OAOC4
，
OACOCA45
，
PHy
轴，
PHDOCA45
，
2
设点
P(x,x3x4)
，则点
H(x,x4)
，
PDHPsinPFD

22
2
(x4x
23x4)x22x
，
22
2
0
，
PD
有最大值，当
x2
时，其最大值为
22
，
2
此时点
P(2,6)
．
18.（2019内蒙古赤峰）如图， 直线
y
＝﹣
x
+3与
x
轴、
y
轴分别交于
B
、
C
两点，抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
经过点
B
、
C
，与
x
轴 另一交点为
A
，顶点为
D
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在
x
轴上找一点
E
，使
EC
+
ED
的值最小，求
EC
+
ED
的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是 否存在一点
P
，使得∠
APB
＝∠
OCB
若存在，求出P
点坐标；若不存在，请
说明理由．
2

【思路分析】（1） 直线
y
＝﹣
x
+3与
x
轴、
y
轴分别交于
B
、
C
两点，则点
B
、
C
的坐标分别为（ 3，0）、
（0，3），将点
B
、
C
的坐标代入二次函数表达式，即 可求解；
（2）如图1，作点
C
关于
x
轴的对称点
C′，连接
CD
′交
x
轴于点
E
，则此时
EC< br>+
ED
为最小，即可求
27

解；
（3）分 点
P
在
x
轴上方、点
P
在
x
轴下方两种情 况，分别求解．
【解题过程】（1）直线
y
＝﹣
x
+3与
x
轴、
y
轴分别交于
B
、
C
两点，则点
B
、
C
的坐标分别为（3，0）、
（0，3），
将点
B、
C
的坐标代入二次函数表达式得：
故函数的表达式为：
y
＝﹣
x
+2
x
+3，
令
y
＝0，则
x
＝﹣1或3，故点
A
（﹣1，0）；
（2）如图1，作点
C
关于
x
轴的对称点
C
′，连接
CD
′交
x
轴于 点
E
，则此时
EC
+
ED
为最小，
2
，解得：，

函数顶点坐标为（1，4），点
C
′（0，﹣3），
将
CD
的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线
CD
的表达式为：
y
＝7
x
﹣3，
当
y
＝0时，
x
，故点
E
（，
x
）；
（3）①当点
P
在
x
轴上方时，如下图2，

∵
OB
＝
OC
＝3，则∠
OCB
＝45°＝∠
APB
，
过点
B
作
BH
⊥
AH
，设
P H
＝
AH
＝
m
，
28

则
PB
＝
PAm
，
222
由勾股 定理得：
AB
＝
AH
+
BH
，
16＝
m
+（
则
PB
则
y
P
②当点
P
在< br>x
轴下方时，
则
y
P
＝﹣（
故点
P
的坐标为（1，
）；
）或（1，
2
2
m
﹣
m
）
2
，解 得：
m
m
＝1，
（负值已舍去），
；
）．
）三点

19.（2019•湘潭）如图一，抛物线
y
＝
a x
+
bx
+
c
过
A
（﹣1，0）
B
（）、
C
（0，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）
P
（
x
1
，
y
1
）、
Q
（4，
y
2
）两点均在该抛物线上，若
y
1
≤
y< br>2
，求
P
点横坐标
x
1
的取值范围；
（3）如图二，过点
C
作
x
轴的平行线交抛物线于点
E
，该抛物线的对称轴与
x
轴交于点
D
，连结
CD
、
CB
，点
F
为线段
CB
的中点，点
M
、
N
分别为直线
CD
和
CE
上的动点，求△
FMN
周长 的最小值．

【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出
a
、
b、
c
，即可求出关系式；

（2）可以求出点
Q
（4，
y
2
）关于对称轴的对称点的横坐标为：
x
＝﹣2，根据函数的增减 性，可以求出
当
y
1
≤
y
2
时
P
点横坐标
x
1
的取值范围；

（3）由于点
F
是< br>BC
的中点，可求出点
F
的坐标，根据对称找出
F
关于直线< br>CD
、
CE
的对称点，连接两
个对称点的直线与
CD
、
CE
的交点
M
、
N
，此时三角形的周长最小，周长就等于 这两个对称点之间的线段的
长，根据坐标，和勾股定理可求．

【解答】（1）∵抛物 线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
过A
（﹣1，0）
B
（）、
C
（0，
∴解得：
a
＝，
b
＝，
c
＝；

）三点

∴ 抛物线的解析式为：
y
＝
x
2
+
x
+．

29

（2）抛物线的对称轴为
x
＝1，抛物线上与
Q
（4，
y
2
）相对称的点
Q
′（﹣2，
y
2
）

P
（
x
1
，
y
1
在该抛物线上，
y
1
≤
y
2
，根据抛物线的增减性得：< br>
∴
x
1
≤﹣2或
x
1
≥4
答：
P
点横坐标
x
1
的取值范围：
x
1
≤﹣2或
x
1
≥4．

（3）∵
C
（0，
∴
OC
＝
），
B
，（3，0），
D
（1，0）< br>
，
OB
＝3，
OD
，＝1

）

∵
F
是
BC
的中点，∴
F
（，
当点
F
关于直线
CE
的对称点为
F
′，关于直线
CD
的对称点为
F
″，直线
F
′
F
″与
CE
、
CD
交点为
M
、
N
，
此时△
FMN
的周长最小，周长为
F
′
F
″的长，由对称可得到：
F
′ （，），
F
″（0，0）即点
O
，

F
′
F
″＝
F
′
O
＝
即：△
FMN
的周长最小 值为3，

＝3，


20.（2019•辽阳）如图，在平面直角 坐标系中，Rt△
ABC
的边
BC
在
x
轴上，∠
A BC
＝90°，以
A
为顶
点的抛物线
y
＝﹣
x2
+
bx
+
c
经过点
C
（3，0），交
y
轴于点
E
（0，3），动点
P
在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点
P
从
A
点出 发，沿
A
→
B
方向以1个单位秒的速度匀速运动到点
B
停止 ，设运动时间为
t
秒，
过点
P
作
PD
⊥
A B
交
AC
于点
D
，过点
D
平行于
y
轴的直线
l
交抛物线于点
Q
，连接
AQ
，
CQ< br>，当
t
为何值时，
△
ACQ
的面积最大最大值是多少

（3）若点
M
是平面内的任意一点，在
x
轴上方是否存在点
P
，使得以点
P
，
M
，
E
，
C
为 顶点的四边形是
菱形，若存在，请直接写出符合条件的
M
点坐标；若不存在，请说明理 由．

30

【分析】（1）将点
C
、< br>E
的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）
S
△ACQ
＝×
DQ
×
BC
，即可求解；

（3） 分
EC
是菱形一条边、
EC
是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）将点
C
、
E
的坐标代入二次函数表达式得：
故抛物线的表达式为：
y
＝﹣
x
2
+2
x
+3，

则点
A
（1，4）；

（2）将点
A
、
C
的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线
AC
的表达式为：
y
＝﹣2
x
+6，

点
P
（1，4﹣
t
），则点
D
（，4﹣
t
），设点
Q
（，4﹣），

，解得：，

S
△
ACQ
＝×
DQ
×
BC
＝﹣
t
2+
t
，

∵﹣＜0，故
S
△
ACQ
有 最大值，当
t
＝2时，其最大值为1；

（3）设点
P
（1 ，
m
），点
M
（
x
，
y
），

①当
EC
是菱形一条边时，

当点
M
在
x
轴下方时，

点
E
向右平移3个单位、向下平移3个单位得到
C
，

则点
P
平移3个单位、向下平移3个单位得到
M
，

则1+3＝
x
，
m
﹣3＝
y
，

而
MP
＝
EP
得：1+（
m
﹣3）
2
＝（
x
﹣1）
2
+（
y
﹣
m
）
2，

解得：
y
＝
m
﹣3＝
故点
M（4，）；

，

当点
M
在
x
轴上方时，

31

< br>同理可得：点
M
（﹣2，3+
②当
EC
是菱形一对角线时，< br>
则
EC
中点即为
PM
中点，

则
x
+1＝3，
y
+
m
＝3，

）；

而
PE
＝
PC
，即1+（
m
﹣3）＝4+（
m
﹣2），

解得：
m
＝1，

故
x
＝2，
y
＝3﹣
m
＝3﹣1＝2，

故点
M
（2，2）；

综上，点
M
（4，

）或（﹣2，3+）或
M
（2，2）．

22
32