萝卜回来了-英语教学设计

点击解决最值问题的常用方法

点击解决最值问题的常用方法
建湖县颜单中学 陈国华
[内容提要] 在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低，消耗最
少，使 收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题。这类生活问
题一般可转化为求函数或线段的 最小值或最大值的数学问题，此类问题涉及知识
面广，综合性强，解法有一定技巧性。通过这类问题的解 决可以培养学生的数学
思想方法，提高学生的数学思维能力。本文举例介绍解决初中数学中有关最值问< br>题一些常用方法。
【关 键 词】 生活问题 数学问题 最值 数学思想方法 数学思维能力
一、配方法
配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式（等式）
配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解
决。
例1设x、 y为实数，代数式5x
2
+4y
2
－8xy+2x+4的最小值为
_ ______。
解析：配方得
原式=2（x
2
－2xy+y
2< br>）+x
2
+2x+4
=4（x－y）
2
+（x+1）
2
+3
显见，当x=－1，y=－1时，原式有最小值3。
二、分类讨论法
当解决的问题 存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定

的标准或原则分为若干类、然后逐类求 解，再综合这几点的结论从而
求解。
例2 已知0≤a≤4，那么
a23a
的最大值等于（ ）
（A）1 （B）5 （C）8 （D）3
解析：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。
根据绝对值的几何意义，a=2 , a=3是两个零点，结合0≤a≤4
分成0≤a≤2，2＜a≤3，3＜a≤4三段讨论：
①当0≤a≤2时，原式=5－2a，当a=0时达到最大值5；
②当2＜a≤3时，原式=1 ；
③当3＜a≤4时，原式=2a－5，当a =4时达到最大值3.
综合①②③在0≤a≤4范围，原式的最大值为5，所以选B。
三、数形结合法
有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方
式与 几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数
问题的条件及数量关系直接在图形中表现 出来，从而利用几何关系来
求解。
例3 使
x
2
4(8x)
2
16
取最小值的实数x的值为_________。
解析：通过观察不 难发现，题设条件中有明显的几何意义。即可
将
x
2
4
、
(8x)
2
16
分别视为x、2和
（8－x）、4为直角边的直角三角形的斜
边，进而构造如图所示的几何图形。
AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，

3
D
A
C
X
P
8-X
B
E

BD=4，AB=8。
则PC=
x
2
4
，PD=
(8x)
2
16
。于是，问题可转化为：在线段
AB上 找一点P，使得PC+PD最短，由“两点之间线段最短”的性
质知，当点P、C、D共线时，PC+P D最短，即原式取最小值。
此时，易知△APC~△BPD
PAAC21

，
PBBD42
18
从而PA=AB=。
33
∴
故原式取最小值时，x=。
四、函数模型法
函数模型的应 用是数学应用问题的主要类型，从数学角度理解问
题，分析问题中的变量和常量，将实际问题抽象成数学 问题建立函数
模型，再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值。
例4 某工厂 计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，
以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅 （一桌两椅）需木料
0.5m
3
，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m
3
，工厂现有库存木
料302m
3
。
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生
产成本为100元，运费2元； 每套B型桌椅的生产成本为120元，
运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系 式，
并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用=生产成本+运
费）

4
8
3

解析：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅 （500－x）
套，由题意得

0.5x0.7(500x)302


2x3(500x)1250

解得240≤x≤250，
因为x是整数，所以有11种生产方案；
（2）y=（100+2）x+（120+4）×（500－x）
=－22x+62000.
∵k=－22x＜0.
∴y随x的增大而减少，
∴当x =260时，y有最小值。
即当生产A型桌椅250套，B型桌椅250套时，总费用最少。
最少的总费用56500元。
例5 已知：抛物线y=ax
2
－2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），
与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（ 2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于
点E，连接CQ。当△CQE的面积最大 时，求点Q的坐标。
解析：（1）由题意，得
Y

16a8ac0


c4

1

a

解得

2


< br>c4
B
C
E
Q
G
O
A
X

5

∴所求抛物线的解析式为：
1
yx
2
x4
；
2
（2）设点Q的坐班为（m ，0），过点E作EG⊥x轴于点G。
由
 x
2
x40
，得
x
1
2,x
2
4

∴B的坐标为（－2，0），
∴AB=6，BQ=m+2.
∵QE∥AC，∴△BQE~△BAC，
EGBQEGm2
，即

COBA46
2m4
∴EG=，
3
1
2< br>∴
∴S
△
CQE
=S
△
CBQ
－S
△
EBQ

11
22
12m4
=（m+2）(
4
)
23
128
=
m
2
m

333
1
∵ a=－＜0，∴S
△
CQE
有最大值。
3
=
BQ
×CO－
BQ
×EG
即当m=1时，S
△
CQE
有最大值为3，此时Q（1，0）。
五、不等式法
一些要求最大利润，最优方案生活问题，可根据题意把实际问题
转化为 不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求
解。
例6：某加工厂以每吨30 00元的价格购进50吨原料进行加工，
若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价400 0元；
若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价为4500

6
1
3
1
2

元，现将这50吨原料全部加工完。
（1）设其中粗加工x吨，获利y元，求y 与x的函数关系式。
（2）如果必须在20天内完，如何安排生产才能获得最大利润？
最大利润是多少？
解析：粗加工x吨，则细加工为（50－x）吨，粗加工每吨利润
为（4000－3000）元，细加工 每吨利润为（4500－3000）元。则
y=（4000－3000）x－600x+（4500－ 3000）（50－x）－900（50
－x）=－200x+30000
由题意知：
11
x+（50－x）≤20，得x≥30，
32
∴30≤x≤50。
当x=30时，最大值
y=－200×30+3000=2400（元）。
30
=10（天），
3
5030
精加工=10（天）
2
故粗加工
所以10天粗加工，10天精加工可获得最大利润，最大利润是
24000 元。
六、垂线段法
在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把相
关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解。
例7：边长为a的菱形ABCD中，∠ DAB=60°，E是AD上异
于A、D两点的一个动点，F是CD上的动点，且满足AE+CF=a，

7

如图。

（1）证明：不论E、F怎样移动，
△BEF总是正三角形，
求出△BEF面积最小值。
解析：连结BD，可证△BED≌△BFC，
B
E
A
D
F
C

易得∠EBF=60°，且EB=BF，故△BEF为正三角形。
（2）由于△BEF面积大 小是由BE边所决定，根据垂线段最短，
当BE⊥AD时，BE最短，这时E为AD中点，因此，为所求 最小值。
S
△
BEF
=
=
333
BE
2

×
(a)
2

442
33
2
a

16
七、判别式法
求 某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再
变形转化为某个字母的一元二次方程，进而根 据一元二次方程根的判
别式去求出新字母的取值范围，即确定原代数式的取值范围，从而得
解。
例8：设a，b为实数，那么代数式
a
2
abb
2
a 2b
的最小值是
多少？
解析：设t=
a
2
abb< br>2
a2b
，变形得关于a的一元二次方程，
a
2
(b1)a(b
2
2bt)0
。
因为a、b、t为实数，因此有，

8

△=
(b 1)
2
4(b
2
2bt)
≥0，
即4t≥
3b
2
6b13(b1)
2
4

∴4t≥－4，t≥－1.
故当 a=0，b=1时，t有最小值，即代数式
a2
abb
2
a2b
有最
小值－1。
八、对称变换法
求某些几何图形中的线段的和的最小值时，可采用轴对称变换的
方法 将其中一条线段变换，进而把两条线段合并成一条线段根从而求
出最值。
例9：如图，正方形 ABC的边长为3，点E在BC上，且BE=2，
点P在BD上移动，则PE+PC的最小值是多少？
解析：作E点关于直线BD的对称点E′，
则E′点在AB上，且BE′=2，PE′=PE。
又PE+PC=PE′+PC≥E′C
（当E′、P、C三点共线时取等号），
所以PE+PC的最小值为：E′C=
23
=
13

22
A
E'
B
P
E
D
C

九、换元法
对于形如
yaxbcxd
的函数，一般可考虑用换元法 将其转化
为二次函数，通过求二次函数的最值来达到求原函数的最值的目的。
例10 求函数y=x－
12x
的最值。
解析：设
12xt(t0,x)
，
1t
2
则
x
，
2

9
1
2

1t
2
1
t(t1)
2
1
， ∴
y
22
∴当t＝0，即x=时，
y
最大值
＝，y无最小值。
十、消元法
对于有条件等式的多元问 题，常通过消元法把多个元素转化为以
某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问 题
逐步简化，再求解。
例11 a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5 , 2a+b－3c=1 ,
设m=3a+b－7c，记x为m的最小值，y为m的最大值，则
xy=_________。
解析：把视c为主元，由已知，求得a=7c－3 , b=7－11c。
由于a、b、c是非负实数，则有：

7c30


711c0


c0

1
2
1
2
从而有≤c≤
3
77

11
又m＝3a+b－7c=3c－2
∴－≤ m≤

5
7
5
7
1

11
15
, ∴xy=
1177
于是x=－，y=－
十一、枚举法
有些求最值问题可根据已知条件 列举所有可能出现的情形，再通
过计算后进行比较结果从而求出。

10