一次函数中的最值问题
包头铁道职业学院-义和团口号
学校
课题
北师大三附中 教师 习富云 时间
一次函数中的最值问题
由实际问题中的最值问题建立数学模型引入，然后利用图形变换和一
知识与技能
次函数在直角坐标系中确定最值点，巩固一次函数的知识并进一步体
会数形结合思想.
体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直
过程与方法
线的交点，增强数学的应用意识.
在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的
情感价值观
喜悦.
教
学
目
标
教学
重点
教学
难点
教
学
过
程
图形变换和一次函数的应用.
如何通过图形变换进行转化，
确定对称点坐标然后求解析式进而求得最值点
活动内容
一、问题探究
1.
提出问题
问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分
别向
A
，<
br>B
两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所
用的输气管线最短?
师生活动
学生独立思考,教师
巡视.观察学生是否
作数学化,同时对转<
br>化正确的同学给予
肯定,并指出实际问
题转化为数学问题
是解决实际问题的第一步.
.
.
学生会回答：利用
两点之间线段最短;
利用图形变换实现
问题的转化
设计意图
选用“西气
东输”作为
背景，引导
学生了解
数学来源
于生活.
让学生明
确用数学
方法解决
实际问题，
2. 实际问题数学化
如图,已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P
，
使PA+PB最小.
A
B
l
提问：
1）.线段和的最小值的理论依据是什么
2）.如何将两条线段的和转化到一条线段上
3. 几何问题代数化
教
学
过
程
提问:“如图，已知点
A（4，3），点B（0，
1）。若点C是x轴上
一动
点，当
ACBC
的值最小时，求C点
坐标.
B
提问：
如何在直角坐标系中确定两条直线的交点
4．画图找点
解：做
B
点关于x轴的对
称点
B
'
(0,-1)
连接
B
B
'
交x轴与点C
设
AB
'
所在直线的解析
式为
y=kx+b，将
A,B
两点坐
标代入
'
学生想到通过求直
线的解析式再求其
与x轴的交点.
学生思考，讨论交
流.
利用轴对称变换和
一次函数解决问题.
得将实际
问题数学
化.
回忆轴对
称变换的
知识.
让学生复
习一次函
数的有关
知识
由辅助问
题的铺垫,
C
B'
b1
4kb3
求得，k=1
∴
AB
所在直线的解析式为y=x-1
∴点C坐标为（1,0）
5．思考
提出问题: 如图，已知点
A（4，3），点B（0，-1）。
若
点C是x轴上一动点，
当
ACBC
的值最大
B
'
时，求C
点坐标.
提出问题：轴对称变换在解决问题中起了什么作
用？
学生独立思考并回
利用轴对
二、拓展
问题2 如图，已知点A
（4，3）。
若点C是直线
y=-x+4上一点，B是直线
x=5上一点，当△ABC的
周长最小时
，求C
、
B
两
点
的坐标.
答
称变换和
一次函数
求解该题.
使学生从
另一个角
度对利用<
br>轴对称变
换求解该
题作说明，
进一步理
解轴对称
变换.
让学生明
确轴对称
变换在该
题中的转
化作用.
分析：先找点A关于两条直线的对称点
A
1
（1，0）、
A
2
（6，3）,连接
A
1
A
2
分别较
两条直线于B、C
从而将△ABC的周长转化为线段
A
1
A
2
的长
设
A
1
A
2
所在直线的解析
式为y=kx+b，将
A
1
（1，0）、
A
2
（6，3）两点坐标代入
学生读完题后尝试
独立求解，教师巡
视指导.
学生在
解该题时可
能模仿问题1容易
想到利用轴对称变
换求解，但对为什
么这样做缺
少理性
思考,此时提问学生
kb0
6kb3
33
求得，k=，b=-
55
33
∴
AB
所在直线的解析式为y=x-
55
'
yx4
∴
33
yx
55
∴点C坐标为
A<
br>2
C
A
1
y=-x+4
B
239
12
,
，B的坐标为
5,
<
br>。
88
5
如何求解，引导
学
生理解运用轴对称
变换求解最短路线
的实质，即“折化
直”关键抓住点A<
br>通过两次轴对称变
换后得到的A
1
、A
2
为定点， 同时由轴
对称性质可将三角
形周长转化为非封
闭的折线段的长
度，从而利用问题1的结论又可求解该
题.
问题2在这
里起承上
启下的作
用.该题变
得更复杂，
但究其
实
质，与问题
1一样都是
利用轴对
称变换将
多条路径
转化到一
条直线上，
从而解决
路线最短
问题.
问题3 如图，已知点A（4，3）,B（1，2）。若点
C是y轴上点，D是x
轴上一点，当四边形ABCD
的周长最小时，求C
、
D
两
点的坐标.
B
.
学生独立思考、交
流讨论解决问题.
引导学生考虑
我
们学过的图形变
换除了轴对称之
外还有平移变换，
探讨是否可以通
过平移变换实现
问题的转化
与前面问题相
似，都是涉及路
径的最短问题.
让学生在收获
成功喜悦的同
时，对转化的思
想上升到理性
层面.
问题4 如
图，已知点A（4，3）,B（1，2）。若点
C、D是x轴上两点，且CD=1当使四边形ABCD<
br>的周长最小时，求C
、
D
两
点的坐标.
解：
B
分析：可将点向右平移1个单位到
B
1
（2，2），再