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【最值问题复习】
一、 将军饮马
1. 如图，在矩形ABCD中，AD= 3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足
1
S
△PAB
=S< br>矩形ABCD
，则
DPEP
的最大值为_____________.
3

2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S
△
PAB
＝S
矩形
ABCD
，则点P到A、
B两点距离之和P A+PB的最小值为 ．

类型二：点到直线距离垂线段最短
3.在平面直角坐 标系中，原点O到直线
ykx2k4
的最大距离为____________.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥A B于E，
PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）

A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F 在边AC上，并且CF＝2，点
E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则 点P到边AB的距
离的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．

6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点 ，点C、P
分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为 ．

7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O， E是线段BO
上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的 个
数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC
边的 中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN
的最小值是 ．

9. 如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在 AB的同侧
作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为 ．

类型三、平行线间的距离为最值
10.如图 ，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上
的任意一 点，则PM+PN的最小值为 ．

11. 如图，在等边△ABC中，AB＝4， P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN
的最小值是 ．

类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值
12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标 原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动
点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相 交于点A，与y轴相交于点B．点
P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值 为___________.

13. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8， BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上
一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大 值为 ．

14. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90 °，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动
点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段 CE长度的最小值为 ．

类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）
15. 如图，Rt△ABC中， AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠
PAB＝∠PBC，则线段 CP长的最小值为 ．

16. 在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（ a，2）、C（0，m）、D（n，0），且m
2
+n
2
＝4，
若E 为CD中点．则AB+BE的最小值为 ．
17. 如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴 交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠
BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG 的最小值是 ．

18.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、 F分别是AB、AC上的动点，以EF为
边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点O，连接CO .已知AC=4，则CO的最小值为
___________.

类型六、面积、周长最值问题
19. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O 相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，
且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形M ANB面积的最大值是（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8
20. 如图 ，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝4，点P是菱形ABCD内或边上的一
点，且∠DA P+∠CBP＝90°，连接DP，CP，则△DCP面积的最小值为 ．

21. 如图，sin∠C＝，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC
＝5，则△B DE周长的最小值为 ．

类型七、函数最值问题
22.已知
y (x3)9(x1)4
，则
y
的最大值为_____________.
23.已知
6a2b133c，且b≥0，c≤9,则a3bc的最大值为____ _______.

24.如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，AB=8，若P为AB反向 延长线上的一个动点（不
与点A重合），过点P作半圆的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的 延长线于点D，
则AC+BD的最大值为_______________.
22

25. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A 重合），
过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是 ．

26. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M 为弧上一点，MN
⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为 ．

27. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱< br>形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角
线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为 （结
果留根号）．

类型八、胡不归与阿氏圆问题
28. 如图，在平面 直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x
正半轴上．以AB为边在A B的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值
_________.

29. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆 心，6为半径的圆上
有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是 ．

30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为
1 0
，点B在圆C上
运动，则
OB
5
AB
的最小值为___ ____________.
5

31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1, 0），B（0，
22
），点C是线段OB上的动点，则
3ACBC
的最小 值为_________,此时点C的坐标为_______________.

【参考答案】
1.【解答】

DPEP
≤
DE
1
=
2

2. 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S
△
PAB
＝S
矩形
ABCD
，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距 离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点
E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最 短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝
．
＝，
即PA+PB的最小值为
故答案为：．

kx2）4< br>过定点（2,4）,OH≤OA，当OA垂直于该3.【解答】直线
ykx2k4
=
y（
直线时，距离最大，为
25
.

4. 【解答】解：连接AP，
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．

5. 【解答】解：如图所示：当PE∥AB．

由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．

又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即＝，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故选：D．
6. 【解答】解：作点D关于x轴对称点D′，过点D′作DC⊥AB于点C， 与OA交于
点P，则此时PC+PD值最小．
当x＝0时，y＝x+4＝4，
∴OB＝4；
当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣4，
∴OA＝4．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OBA＝45°．
∵D′C⊥AB，
∴△BCD′为等腰直角三角形，
∴∠BD′C＝45°．
在△OPD′中，∠POD′＝90°，∠OD′P＝45°，
∴∠OPD′＝45°，
∴OP＝OD′＝OD．
又∵点D为线段OB的中点，
∴OD＝2，
∴OP＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．

7. 【解答】解：如图，连结CE，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故选：C．

8. 【解答】解：取MN的中点D连接PD，
∵∠MPN＝90°，
∴MN＝2PD，

∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，

∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴△APD∽△ABC，
∴
∴PD＝
，即
，
．
．
，
∴MN＝2PD＝2
故答案为：2
9. 【解答】解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，
∵△AMP和△NPB都是等边三角形，
∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．
∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，
若半径OP最短，则OP⊥AB．
又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，
∴OA＝OB，
∴AP＝BP＝3，
∴在直角△AOP中，OP＝AP•tan∠OAP＝3×tan30°＝
故答案为：．
，

10. 【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
当PM⊥AB，PN⊥AD时，
PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为AE，

•AB•PM+•AD•PN＝AD•AE，
PM+PN＝AE，
∵菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴BE＝EC＝2，
∴AE＝
故答案为：2．
＝2．

11. 【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK， 作点N关于直线AC
的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为 PM+MN
的最小值（垂线段最短）．
∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱 形，N′P′是菱形的高＝
∴PM+MN的最小值为2
故答案为2．
，
×4＝2，

12. 【解答】线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，

则AB＝2OC；
当OC＝OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB＝4；
13. 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．

14. 【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝
∴AB＝AC＝4，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
，

∴OC＝
∴CE＝OC﹣OE＝2
＝2，
﹣2，
﹣2． 即线段CE长度的最小值为2
故答案为2﹣2．


15. 【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2．

16. 【解答】解：由题意CD＝
∵E为CD中点，
∴OE＝CD＝1，
∴点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y＝2的对称点A ′，连接OA′
交直线y＝2于B，交⊙O于E．此时BA+BE＝BA′+BE的值最小．
在Rt△OAA′中，OA′＝
∴EA′＝5﹣1＝4，
∴BA+BE的最小值为4，
故答案为：4．
＝5，
＝2，

17. 【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，

∵△ABC的重心为G，

∴F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝OB＝1，
∵△ABC的重心为G，
∴AG＝AF，
在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，
∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴＝，
∴GE＝．
∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∴E（，0），
∴DE＝
∴DG的最小值是
故答案为：
＝，
﹣，
﹣．
18. 【解答】连接OE、OD、OA，∠DAE+∠DOE=180°，所以A、E、O、D四点共 圆，
所以∠EAO=∠ODE=30°，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,< br>所以CO的最小值为CH，最小值为2.

19. 【解答】【解答】解：过点O作O C⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、

DA、DB、EA、EB，如图 ，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵S
四边形
MANB
＝S
△
MAB
+S
△
NAB
，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB
的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S
AB（ CD+CE）＝AB•DE＝×2
故选：C．
四边形
DAEB
＝S
△
DAB
+S
△
EAB
＝AB•CD+AB•CE＝
×4＝ 4．

20. 【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAP+∠CBP＝90°，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴AP⊥PB，
∴当△DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大，
∴当Rt△ABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大，
∵∠CBA＝45°，
∴点P在BC边上，且AP⊥BC，
过C作CF⊥AB于F，PE⊥AB于E，
∴CF＝BC＝4，PE＝AB＝2
，
，
∴P到CD的距离＝4﹣2

∴△DCP面积的最小值为：
故答案为：8﹣8．
4×（4﹣2）＝8﹣8，

21. 【解答】解：如图作BK∥CF，使得BK＝ DE＝2，作K关于直线CF的对称点G，
连接BG交CF于D′，此时△BD′E′的周长最小．
在Rt△BGK中，易知BK＝2，GK＝6，
∴BG＝＝2，
∴△BDE周长的 最小值为BE′+D′E′+BD′＝KD′+D′E′+BD′＝D′E′+BD′
+GD′＝D′E ′+BG＝2+2．

故答案为：2+2．
22. 【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2）

y(x3)9(x1 )4(x3)(03)(x1)(02)
222222
表示
AC- BC的值，且AC-BC≤AB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即
5
.

23. 【解答】
6a2b133c，且b≥0，c≤9,得c2a≤9, b3a
13
≥0
，解得
2

139391513
≤a≤
，所以
a3bc6a
的 取值范围是
-≤a3bc≤
.
62222
24. 【解答】连接BC， 易证△ABC∽△CBD，可得
BCABBD
，设AC=x，在△
2
x< br>2
64x
2
x8
，所以ABC中，
BC=64x，所以
BD
，所以
ACBD
8
8
22
当
x4
时，取最大值4.

25【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，

∴∠CPA＝90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP＝∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵PA＝x，PB＝y，半径为4，
∴＝，
∴y＝x
2
，

∴x﹣y＝x﹣x
2
＝﹣x
2
+x＝﹣（x﹣4）
2
+2，
当x＝4时，x﹣y有最大值是2，
故答案为：2．
26. 【解答】过点H作BH⊥MC，易证△BHC∽△CNM，设CM=x，MN=y，由△BHC∽
△CN M可得
BCCH
, 代入可得y＝x
2
，所以

MCMN
CM-MN= x﹣y＝x﹣x
2
＝﹣x
2+x＝﹣（x﹣4）
2
+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2.

27. 【解答】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝
∴MN＝＝
，
（4﹣a），
＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2
故答案为2．
28. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．
可证得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OA＝3，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝
则OP的最小值为．

2
29. 【解答】考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造
AD
，条件已经足够明显．
3
当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程
中，始终存在
DM
2
DA
．
3
C
C
M
D
A
B
A
M
D
B

问题转化为D M+DB的最小值，直接连接BM，则AD+BD=DM+BD
≥
BM=
410
.
2
BC
)，易证得 30. 【解答】连接AC，在AC取一点M使得CM=< br>2
(
CMr÷
△CBM∽CAB，得
5
5
AB=B MOB≥OM
，当O、B、M三
AB=BM
，所以
OB
5
5
点共线时取最小值，由于点M坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.

31. 【解答】
3ACBC=3（AC
1
1 1
故
tan

=
，取点D（1,0），
BC)
,构 造
sin

=
，
33
22
连接BD，作CH⊥BD ，故
11
BC=CH
，所以
3ACBC=3（ACBC)ACCH< br>≥
33
42
，
3
AH，当AH垂直于BD时，取最小值，由等 积法可求得垂直时，AH的最小值为
所以
3ACBC
的最小值为
42
，由相似可得此时点C的坐标为
(0,
2
)
.
4