几何最值问题讲义
任岩松中学-四中网校
几何最值问题（讲义）
解决几何最值问题的通常思路
___
____________________，_______________________，_____
_____________是解决几何最值
问题的理论依据，__________________
_________是解决最值问题的关键．通过转
化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调
用基本模型也是解决
几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
B
A
图形
A
B
A
P
P
轴
对
称
最
值
特征
原理
l
M
N
l
l
B
两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直
两点之间线段最短
A，B为定点，l为定直
三角形三边关系
A，B为定点，l为定直
线，P为
直线l上的一个线，MN为直线l上的一条线，P为直线l上的一个
动点，求AP+BP的最小动线段，
求AM+BN的最小动点，求|AP-BP|的最大
值 值
先平移AM或BN使M，N
重合，然后作其中一个定
点关于定直线l的对称点
A
值
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
转化
作其中一个定点关于定
直线l的对称点
折
叠
最
值
图形
B'
M
B
N
C
原理
特征
转化
两点之间线段最短
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，
BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B
点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
1
二、精讲精练
1. 如图，点P是∠AOB内一定点，点M，N分
别在边OA，OB上运动，若∠
AOB=45°，OP=
32
，则△PMN周长的最小
值为 ．
A
P
M
O
NB
2. 如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
<
br>y
0)
P(a，0)
N(a+2，
O
B(4，-1)
A(1，-3)
x
3. 如图，已知两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离
AM=4，B到直线l的距
离BN=1，MN=4，点P在直线l上运动，则
PA-
PB
的最大值是___________．
A
l
MP
N
B
4. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使
点A
落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕
的端点P，Q也随之移动．若限
定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点
A′在BC边上可移动的最大距离为
．
2
B
P
A'
C
BC
A
QD
A
D
5. 如图，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD
=CD=4，点E，F分别在
线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围为 ；
（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值为_____________．
D
F
P
C
D
F
P
E
B
C
C
A
D
F
P
E
C
E
BA
A
D
C
B
6. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点
A，B分别在OM，ON上，当点B在
ON上运动时，点A随之在OM上运动，且矩形ABCD的形状和
大小保持不
变．若AB=2，BC=1，则运动过程中点D到点O的最大距离为（ ）
A．
2+1
B．
5
C．
AB
A
B
145
5
5
D．
2
M
D
A
C
O
BN
3
7. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别
以AC，BC为斜边在
AB的同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，那么DE长的最小值
是 ．
E
D
ACB
8. 如
图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，
CD，BD上的任
意一点，则PK+QK的最小值为 ．
A
K
Q
B
D
P
C
9. 已知等边△ABC的边长为6，l为过A
点的一条直线，B，C两点到l的距离
分别为d
1
，d
2
，当l绕点
A任意旋转时，d
1
+d
2
的最大值为（ ）
A．
33
B．12 C．
63
D．其最大值与l旋转的角度有关，故不能确定
AA
B
C
B
C
4
10. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与
点B或点C
重合），分别过点B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，
则
BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．
D
C
B'
P
C'
A
D'
B
【参考答案】
一、 知识点睛
两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，根据不变特征进行转
化
二、
精讲精练
1．6
7
2．
4
3．5
4．2
5．（1）
843
≤
PD
≤
4
（2）
458
6．A
7．1
8．
3
9．C
10．2；
2
5