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专题33 最值问题



在中学数学题中，最值题是常 见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要
为以下几种：
1.二次函数的最值公式
二次函数
yaxbxc
（a、b、c为常数 且
a0
）其性质中有
2

专题知识回顾


4acb
2
b
①若
a0
当
x
时， y有最小值。
y
min

；
4a
2a
4acb
2
b
②若
a0
当
x
时，y有最大值。
y
max

。
4a
2a
2.一次函数的增减性
一次函数
ykxb(k0)
的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直 线，因而没有最大（小）
值；但当
mxn
时，则一次函数的图象是一条线段，根据 一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法
根据题意构造一个关于未知数x的 一元二次方程；再根据x是实数，推得
0
，进而求出y的取值范
围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有
abkk
，当且仅当
ab 0
时，等号成立，即
abk
的最小值
为k。
6. 零点区间讨论法
用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值， 再加以比较，
从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解
在不等式
xa
中，
xa
是最大值，在不等式
xb
中，
xb
是最小值。
8. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转 化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式
获取问题的答案，这一方法称为“ 夹逼法”。



2222

专题典型题考法及解析

【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）﹣4的最小值为 ．
【例题2】 （2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、
N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
2

【例题3 】（2019湖南张家界）已知抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋< br>c
（
a
≠0）过点
A
(1，0)，
B
(3， 0)两点，与
y
轴交
于点
C
，
OC
＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；
（2）过点
A
作
AM
⊥
BC
，垂足为
M
，求证：四边形
ADBM
为正方形；

（3）点
P
为抛物线在直线
BC
下方 图形上的一动点，当△
PBC
面积最大时，求
P
点坐标及最大面积的值；
（4）若点
Q
为线段
OC
上的一动点，问
AQ
＋
请说明理由．
2
1
QC
是否存在最小值?若存在，求岀这个最 小值；若不存在，
2
y
C
3
2
1
-2
-1
O
-1





M
A
1
2
D

3
B
x

专题典型训练题

1.（2018河南）要使代数式
23x
有意义，则x的（ ）
A.最大值为
C.最大值为
22
B.最小值为
33
33
D.最大值为
22
2.（2018四川绵阳 ）不等边三角形
ABC
的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高
的最大值可能为________。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么
a abba2b
的最小值为_______。
4.（2018云南）如图，MN是⊙O的 直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一
个动点，则PA+P B的最小值为 ．
22

5.（2018海南）某水果店在两周内，将标 价为10元斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元斤，
并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第
x天(
x
为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.
已知该种水 果的进价为4.1元斤，设销售该水果第
x
(天)的利润为
y
(元)，求y
与
x
(1≤
x
＜15)之间的函数
关系式，并求出第 几天时销售利润最大？
时间(天)
售价(元斤)
销量(斤)
储存和损耗费用(元)
1≤
x
＜9 9≤
x
＜15
x
≥15
第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
80－3
x

40＋3
x

2
120－
x

3
x
－64
x
＋400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生 产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，

已知 生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为
R500 30x
，
P1702x
。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
7.（2018吉林）某工程 队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600
元和1000元 ，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使
得每月所付 的工资最少？
x
2
x1
8.（经典题）求
2
的最大值与最小值。
xx1
9.（经典题）求代数式
x1x
的最大值和最小值。
10.（经典题）求函数
y|x1||x4|5
的最大值。
11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足
xym5
，
xyymmx3
，求实数m最大值与
最小值。
12.（2019年黑龙江省大 庆市）如图，在Rt△
ABC
中，∠
A
＝90°．
AB
＝8
cm
，
AC
＝6
cm
，若动点
D
从
B
出发，
沿线段
BA
运动到点
A
为止（不考虑
D
与
B
，
A
重合的情况），运动速度为2
cm

s
，过点
D
作
DE
∥
BC
交
AC
于
点
E
，连接
BE
，设动点
D
运动的时间为x
（
s
），
AE
的长为
y
（
cm）．
（1）求
y
关于
x
的函数表达式，并写出自变量
x
的取值范围；
（2）当
x
为何值时，△
BDE
的面积< br>S
有最大值？最大值为多少？
2

13.（2019年宁夏）如图， 在△
ABC
中，∠
A
＝90°，
AB
＝3，
AC< br>＝4，点
M
，
Q
分别是边
AB
，
BC
上的动点（点
M
不与
A
，
B
重合），且
MQ⊥
BC
，过点
M
作
BC
的平行线
MN
，交
AC
于点
N
，连接
NQ
，设
BQ
为< br>x
．
（1）试说明不论
x
为何值时，总有△
QBM
∽△
ABC
；
（2）是否存在一点
Q
，使得四边形
BMN Q
为平行四边形，试说明理由；
（3）当
x
为何值时，四边形
BMNQ
的面积最大，并求出最大值．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次 函数的性质，掌握相似三角形的判定定
理、二次函数的性质是解题的关键．
14. （201 9广东深圳）如图所示，抛物线
yaxbxc
过点A（－1，0），点C（0，3），且 OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个 动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，
（3）点P为抛物线上一 点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
2
< br>15.（2019广西省贵港）已知：
ABC
是等腰直角三角形，
BAC 90
，将
ABC
绕点
C
顺时针方向旋转
得到△
ABC
，记旋转角为

，当
90

180时，作
ADAC
，垂足为
D
，
AD
与
B C
交于点
E
．

（1）如图1，当
CAD15
时，作
AEC
的平分线
EF
交
BC
于点
F
．
①写出旋转角

的度数；
②求证：
EAECEF
；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P
是直线
AD
上的一个动点，连接
PA
，
PF
，若
AB2
，求线段
PAPF
的最小值．（结果保留根号）.
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线
y
＝

1
2
1
x
+
bx
+
c
与直线
y
＝x
+3分别相交于
A
，
B
两点，且此抛物
22