喷泉作文-失恋三十三天经典台词

专题——最值问题
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动 时，求某几何量（如线段的长度、
图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问 题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：
（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；
（2）应用垂线段最短的性质求最值；
（3）应用轴对称的性质求最值；
（4）应用二次函数、区间上的一次函数求最值；
（5）柯西不等式求最值；
xy2xy

（6）圆中最值模型（最长弦、最短弦、点与圆上点的最值）；
（7）应用其它知识求最值（空间化平面）。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；
例：1、已知边长为< br>a
的正三角形
ABC
，两顶点
A、B
分别在平面直角坐标系的
x
轴、
y
轴
的正半轴上滑动，点
C
在第一象限，连 结
OC
，则
OC
的长的最大值是____________ ．
练 习：1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运
动过程中 ，点D到点O的最大距离为（ ）
A、
21
B、
5
C、


2、在平面直角坐标系中，矩形
OACB
的顶点
O
在坐标原点，顶点
A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴的
正半轴上，
OA3
，
OB4
，
D
为边
OB
的中点.
（1）若
E
为边
OA
上的一个 动点，当△
CDE
的周长最小时，求点
E
的坐标；
（2）若
E
、
F
为边
OA
上的两个动点，且
EF2
，当 四边形
CDEF
的周长最小时，求点
E
、
F
的坐标.
y
y

C
B
C
B


D
D


E A
x
O
A x
O


D




y
C
B
O
A
22
145
5
D、
5
2

3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距 离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直
线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线 b上找一点N，满足MN⊥a且
AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=________
A、6 B、8 C、10 D、12
4、如图，在梯形ABCD中，AB∥C D，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB
上，且AE=2（AE＜AD ），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ．
5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是

BC中点，点F是边C D上的任意一点，当
△AEF的周长最小时，则DF的长为___________.






二、应用垂线段最短的性质求最值；
1、如图, 在矩形ABCD中,

AB
＝20
cm
,
BC＝10cm, 若在AC、AB上各取一点M、N, 使BM＋MN
的值最小, 这个最小值为

E


A

D
Q
A

B

P

M
P
N
O


B
C

2、已知梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90° ，AD=1，AB=3，BC=4，点P为线段AB上任意一点，
延长PD到E，使得DE=2PD，以 PE、PC为边作平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为_____.

3、如图， 已知点
A
是半圆上三等分点，点
B
为弧AN的中点，点
P
是 半径
ON
上一动点，⊙
O
半径为1，且
AP
＋
BP
最小时，下列结论①∠
OBP
=45º；②
AP
＋
BP=
2
；③
PN
=2-
3
；
④
PB

62
；其中正确的个数是（ ）A、1个
2
B、2个 C、3个 D、4个
4、在锐角三角形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上
的动点，则CM+MN的 最小值是 .
三、柯西不等式求最值；
xy2xy

例：如图所示 ，抛物线
yx
2
2x3
与
x
轴交于
A、
B
两点，直线
BD
的函数表达式为
y3x33
，抛物线的对称轴
l
与直线
BD
交于点
C
、与
x< br>轴交于点
E
．
22
⑴求
A
、
B
、
C
三个点的坐标． < br>⑵点
P
为线段
AB
上的一个动点（与点
A
、点
B
不重合），以点
A
为圆心、以
AP
为半径的圆

< br>
弧与线段
AC
交于点
M
，以点
B
为圆心、 以
BP
为半径的圆弧与线段
BC
交于点
N
，分别连接
AN
、
BM
、
MN
．
y
①求证：
AN
=
BM
．
D
l
②在点
P
运动的过程中，四边形
AMNB
的面积有最大值还是有最小值？
并求出该最大值或最小值.

C


M





E
P
A
O
< br>练习：在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为< br>旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，
(1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是 否存在最小值，若存在，求出
最小值，若不存在。请说明理由。
P

N
B
x


M

A


Q
O
B





三、圆中最值：
例：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴正半轴上， 以OB为直径的⊙
C交AB于点D，DE切⊙C于点D，交x轴于点E，且OA＝
123
cm，∠OAB＝30°.
（1）求直线AB的解析式；（2）求EA的长度；
（3）若 线段EA在
x
轴上运动，△CEA的周长是否存在最小值？若存在，分别求出点E、A
y
的坐标；若不存在，请说明理由.
B


D





C
O
E
A
x

练习：1、如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥ BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重
合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为


A、1 B、
3
C、
323
D、
33
2、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3，点P是 边BC上一点，点Q是边AC
上一点（不与A、C重合，且BP=PQ，则BP的取值范围是_____ __
3、如图，⊙
O
的半径为1，弦
AB
=1，点
P为优弧
AB
上一动点，
AC
⊥
AP
交直线
PB
于点
C
，
则△
ABC
的最大面积是（ ）
A、
233
1
B、 C、 D、
224
2
P
A
M
B



P



Q
A
C
Q

B
C


4、（动点与函数）（最值）如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个
点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆 心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作
⊙P的切线交边BC于点E.
（1）求证：BE=DE；
（2）若PA=1，求BE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为 .

B
B




E

D


C
C
A

P

5、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与 ⊙
O交于B、C两点，求弦BC的长的最小值为___________.







A

6、设AB是⊙O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A 、B，
⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值为________.
7、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， E与圆O上一点．若圆O的半径为4，
且AB=7，求DE的最大值为________.
y


B



P

r


O A x




8、在平面直角坐标系xOy中 ，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O
上，连接OC，过O点作OD⊥O C，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方
向排列），连接AB．AC，BC，当点C在 ⊙O上运动时，求出△ABC的面积的最大值为
_________．
9、如图，定长弦CD 在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中
点，过点C作CP⊥AB于 点P，若CD=3，AB=8，求PM长度的最大值为__________.
10、如图，O是正方 形ABCD两对角线的交点，线段OB绕着点O顺时针旋转α°（0≤α≤360），
B点的对应点为P 点，DE⊥PA于E点.
（1）填空：如图1，∠EPD= ，
PB
= .
AE
（2）如图2，若F为PB的中点，连接CF，CE，求∠ECF的度数；
（3）若AB=2，当线段OB绕着O点旋转时，则线段CE长度的最大值为 .

EE


DD
AA



P
OO

P

F

C C
BB

图1图2

作业：
1、在平面直角坐标系x Oy中，点
A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴的正 半轴上，且
AB10
，点
M
为线段
AB
的中点．
（1）如图1，线段
OM
的长度为________________；
（ 2）如图2，以
AB
为斜边作等腰直角三角形
ACB
，当点
C
在第一象限时，求直线
OC
所对应的函数的解析式；
（3）如图3，设点
D
、
E
分别在
x
轴、
y
轴的负半轴上，且
DE10
，以
DE
为边在
第三象限内作正方形
DGFE
， 请求出线段
MG
长度的最大值，并直接写出此时直线
MG
所对应的函数的解析 式．

y
y
y
B











B
M
O
A
x
B
C
M
O
A
x

O
A
x
G
D
E
F
2、如图，四边形ABCD是正方形 ，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意
一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得 到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
E
N
M
B C
A D
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为
31
时，求正方形的边长.

3、如图1，点P在等边△ABC的边BC上，以AP为边作等边△APQ，连接CQ。
（1）①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D为AQ的中点，求出点P从B到C时，点Q运动的路径长；
（2）已知△EFG中 ，EF=EG=13，FG=10，如图2，把△EFG绕着E点旋转到△EF′G′的位
置，点M是边 EF′与边FG的交点，点N在边EG′上，且EN=EM，求点E到直线GN的距离。

E

A

D

Q

N

G′


M
B
C
F
P
G

F′


4、如图,在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作
圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b,
(1)求证：AE=b+
3
a ；(2)求a+b的最大值；
(3)若m 是关于x的方程：x
2
+
3
ax=b
2
+
3
ab的一个根，求m的取值范围．





O


E
C


B
A
D

5、如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点
A，D重合）.将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，
折痕 为EF.连接BP，BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）当点P在边AD上的什么位置时，四边形EFGP的面积最小？并求出此时的面积.

P
A D



E
H

G

F

B
C

6、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD
上分别找一点 M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°



< br>7、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个
等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ．





8、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C 点重合），分别
过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+D D′的最大值
为 ，最小值为 ．
9、如图，∠AOB=4 5°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，
则△PQR的周长的 最小值为 ．
10、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离A C=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，
P在直线MN上运动，则
PAPB
的 最大值等于 ．
y








11、如图，⊙M与x轴 交于A、B两点，A（
23
，0），B（
2
O
x
C
M
Q
3
，0），与y轴且于C


点，Q为⊙ M上任意一点，连接OQ，N为OQ的中点，连接CN，则CN的最值为__________.