绵阳南山中学实验学校-客服的工作职责

与圆有关的最值（取值范围）问题
引例1： 在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设< br>tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．
引例2：如图，在边长为1的等 边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆
弧
AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=
a
，AC=
b
，求
ab
的最大值.
引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1 的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长
为半径的圆P交射线AB、AC 于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).
33
A．3 B．6 C． D．
33

2
y

B
C

O


C
Ox
A

AB
D
一、题目分析：
此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最 值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方
法，注重了初、高中知识的衔接
1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为
特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是< br>高中“直线斜率”的直接运用；
2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质
进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、< br>动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE =60°），
构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实 质是高中“正弦定理”
的直接运用；
综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但 其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观
感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原 理却无法通透.
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构 建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立
等式，进行转化.
三、中考展望与题型训练
例一、斜率运用
如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P(a，b)
为⊙A上的一个动点，请分别探索：
①
ba
的最大值；②< br>ba
的最小值；③
ba
的最大值；④
ba
的最大值；
yy


PP


AA

BOBO
xx


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y
P
A
BO
x

【拓展延伸】：①
b2a
的范围；②
b2a
的范围；
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A C=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在
D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是 .

A

D


M


CB
2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个 定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧
AB
向B点运动（点
P与点C在 直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延
长 线于D点．
（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ；
D
（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 .
C



A
B
O

例三、正弦定理
P
1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°， AB=
22
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分
别交AB，AC于E ，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．





2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点 A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP
⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的 最大值是 ．




例四、柯西不等式、配方法
1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂
线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x= 时，PD•CD的值最
大，且最大值是为 .






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2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和 等边△BCE，⊙O外接于△CDE，
则⊙O半径的最小值为( ).
A.4 B.
2332
C. D. 2
32
E

D
O


ACB
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内， 过
点P作⊙O的切线与
x
轴相交于点A，与
y
轴相交于点B，线段A B长度的最小值是 .








例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，< br>A
则线段CE长度的最小值是 .






D
C
O
EB

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙ O，若⊙O与边BC
始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 .
A



O

C

B

3．如图，射线PQ∥射线MN，PM⊥MN，A为PM的中点，O为射线PQ上的一个动点，AC⊥A B交MN于点C，当以
O为圆心，以OB为半径的圆与线段PM有公共点时（包括P、M两点），则线段 OP长度的最小值为 .


O

P
Q

A


N
M
B

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例五、其他几何知识的运用
如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直 径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=

，
（0°＜
＜90°）．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则
tan

的取值范围
为 .









【题型训练】
1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B ，BP的延
长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙ O的半径r的取值范
围为 .



C
C

D

G


BEA
F
A
B
O


2．已知：如图，R tΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒
3
cm的速度向B
点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D ，与边AB相交于E、F两点，
过E作EG⊥DE交射线BC于G.
（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是 ；
（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 . 3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为 ⊙N上的任意一点，
直线PQ与连心线
l
所夹的锐角度数为

，当P 、Q在两圆上任意运动时，
tan

的最大值为( ).
(A)
D

Q

P

O
Ml
N


B
C
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心 ，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一
个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).
63
43
(B) (C) (D)
123
34
A
P
(A)4 (B)

213517
(C) (D)
584
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5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA 、CB分别相交于点P、
Q，则线段PQ长度的最小值是( ).
A．
19

4
B．
24

5
C．5 D．
42

6．如图，在等腰 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合） ，
过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，
线段EF长度的 最小值为
．

A
C

F
P

Q
E

O

ADB
BDC

7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2) ，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的
一个动点，线段DA与y轴交于点E， 则△ABE面积的最小值是( ).
A．2 B．1 C.
2
2
D.
22

2








8 ．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1， D是⊙C上的
一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).
A．3 B．
11
10
C． D．4
3
3
9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则
切线长 PQ长度的最小值为( ).
A.
7
B.
22
C. 3 D.4
1 0．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为 半径的
⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .

A
y

P
P



Q
O
Ax

CB

11．在直角坐标系中，点A的 坐标为（3，0），点P（
m，n
）是第一象限内一点，且AB=2，则
mn
的范围
为 .


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12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是 y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一动点，且CB
⊥AB于点B，则
tan ACBm
，则
m
的取值范围是 .

B
y

P



O
Ax


13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为 圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连
22
接PA、PB，则P A+PB最大值是 .









综合点评：
与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔 细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，
构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之 间的关系，就能找到解决问题的突破口！
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