孟非语录-中专实习

“PA+k·PB”型的最值问题
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短 问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处
理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k取任意不为1的正数时，通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
其中 点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

一、“将军饮马”模型
“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称
点A′（或B′），连接A′B （或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是
将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。
例1. 如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线
交BC于 点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小
值是 。

例2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S
△PAB
＝
矩形
1
S
3
ABCD
，则点P到A，B两点距离之和PA+ PB的最小值为 ．

例3. 如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA 、OB上的动
点，OP平分∠AOB，且OP=6，△PMN的周长最小值为 ；
当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 。

变式：“造桥选址”模型
例4. 如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到 直线a
的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=
230
．试在直线a上找
一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度
和最短，则此时AM+NB的 值为 。

例5. 如图，CD是直线y=x上 的一条定长的动线段，且CD=2，点A
（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值 时，△ACD
的周长最小，并求出这个最小值。
二、“胡不归”模型
有一则历史故 事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消
息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到 父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告
诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归 ？”

早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出 发地，
B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择
了直线路程AB。
但是，他忽略了在驿道上
（
V
1
）
行 走要比在砂土地带
（
V
2
）
行走快的这一因素。如果他
能选 择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。






解题步骤：
①将所求线段和改写为“BD＋V
2
AD”的形式（0＜
V
2
＜1）；
V
1
V
1
②在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝
V2
；
V
1
③过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．

例6. 如图，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB的最小值为 。

例7. 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线
BD（不含B点）上任意一点,则 AM+
1
BM的最小值为 。
2
例8. 如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点 D
为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上
运动速度3个 单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当
AD= 时，运动时间最短为 秒。
[中考真题]
1. （2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax
2
+bx+c的图像经过点A
（-1，0），B（0，-
3
）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴
上的一个动点，连接PD，则
1
PBPD
的最小值为 。
2
83

x2

x4

与x轴从左至右依次交于点A、
9
3 43
与抛物线的另一个交点为
x
33
2. （2014.成 都）如图，已知抛物线
y
B，与y轴交于点C，经过点B的直线
y

D（-5，
33
）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点 A出
发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速
度运动 到D后停止，当点F的坐标为 时，点M在整个运动过程中用时最少？



三、“阿氏圆”模型
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足PA=kPB
（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，
故称“阿氏圆”。

如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知
r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB上截取 OC 使
OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C三点共
线时最小（如图 2-1-3），本题得解。
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两个端点
分别与圆心相连接），则连接OP、 OB；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；

OP
k
；
OB
OCOP
第四步：在OB上取点C，使得
k
；
OPOB
第三步：计算这两条线段长度的比
第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．

例9. 如图，点A、B在⊙O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点， 点
D在OB上，且OD=4，动点P在⊙O上，则2PC+PD的最小值为 ．

例10. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD 为切线，
AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，求
为 ．

例11. （1）【问题提出】：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6 ，
2
PC+PD的最小值
2
1
BP
的最小值为 ．
2
1
（2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，
A PBP
的最小值
3
⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求
A P
为 ．
（3）.【拓展延伸】：已知扇形COD中，∠COD＝90 º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，
点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为 ．






【模型类比】
① “胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数
起点构造所需角（k=sin
∠
CAE）---过终点作所构角边
的垂线 ---利用垂线段最短解决

② “阿氏圆”构造共边共角型相似
构造△PAB∽△CAP 推出PA
2
= AB
•
AC
即：半径的平方=原有线段×构造线段

拓展：“费马点”问题
背景资料：
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个
问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被
人们 称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时< br>∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此时，PA+PB+PC的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，
4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′ 处，此时
△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB =90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，
判断BE，EF，FC之间的数量 关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ ABC=30°，点P为Rt△ABC的
费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．