家乡的冬天-英语国庆节手抄报

【通过做对称求出最小值】
1、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，
点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的
最小值为 cm．


2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角
线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为____ ____







3、已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，E为AD中点，AB＝6㎝，
P为AC上任一点.求PE+PD的最小值是 .





【变式】在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边
AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF
的最小值，则这个最小值是 .



B
C
D

D
A
E
P
F
B
C

【模拟练习】
1、如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和
AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．







第1

2、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC ＝1，AE＝DE＝2，在BC、
DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的最小 周长为__________








第2
A

E

N

B
M

C

D



3 、如图6，
AB
是⊙
O
的直径，
AB
=8，点
M< br>在⊙
O
上，∠
MAB
=20°,
N
是弧
MB
的中点,
P
是直径
AB
上的一动点，若
MN
=1， 则△
PMN
周长的最小值为__________



4、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PM N
周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°

5、菱形ABCD在平面直角坐 标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角
线OC上一个动点，E（0 ，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．

6、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为
___________

7、如图，∠AOB=3 0°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN
的周长取 最小值时，四边形PMON的面积为 ．

8、如图，∠AOB＝30° ，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、
OA上，则MP＋ PQ＋QN的最小值是_________

9、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC= 3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC
上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．






【通过三角形三边关系或圆求最值】
1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、 B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随
之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不 变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距
离为_________

2、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON
上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离< br>为_______









3、如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动 点F从点D出发向点C
运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线 段AF、BE相交于点
P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ．

4、如图，在平行四边形ABCD中，∠B CD=30°，BC=4，CD=
33
，M是AD边的中点，N是AB边上
的一动点， 将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________．
D

C

A'
M


A
B
N


5、如图，在矩形
ABCD
中 ，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF
沿EF所在直线折叠 得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________





6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC= 3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP
沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则B′A长度的最小值是 ．

【通过点到直线距离，垂线段最短求最小值】
1、已知点D与点A（8，0），B（0，6） ，C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的
最小值为___________
2、如图，已知直线
y
3
4
x3
与x轴、y轴分别交于A、B两 点，P是以C（0，1）为圆心，1为
半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是 （ ）

A．8 B．12 C．
2117
2
D．
2

3、如 图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1
（O 为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小
值为 （ ）

A.
15
B. 3 C.
7
D.
22

4、如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分
别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 ( )
B

A．
42
B． C． D．5
E



C

F


A

【将图形展开后求线段最短】
1、如图，圆 柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
________ ___cm








【高中基本不等式】
1、张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出

1
（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，< br>x
11
1
则另一边长是，矩形的周长是2（
x
）；当矩形成 为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，
xx
x
11
这时矩形的周长 2（
x
）=4最小，因此
x
（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导， 你求得
xx
“式子
x
x
2
9
式子（x＞0）的 最小值是___________
x

【其它】
1、如图，已知直线l与 ⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于
点B，BP的延长线 交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则
⊙O的半径的最小 值是（ ）

A.
53
5
B. 2 C.
5
D.
3
2
2、如图，正方形ABCD的边长为 1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可
任意旋转，在旋转过程中，这个正 六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形
的边长最大时，AE的最小值为__ __________

3、如图，AB =10，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，
连 结PQ，则PQ的最小值是（）

A． 5 B． 6 C． 3 D． 4
2
4、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）+n的顶点在线段 AB
上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最 大
值为．


5、如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形， 点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相
交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小 值是（ ）
A．
23

B．
31

C．
2

D．
31


6、在平面直 角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，若直线y＝kx－3k＋4与⊙O
交于B ，C两点，则弦BC的长的最小值为_______．

7、在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是（ ）













A．1 B． 3 C． D． 2

8、如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆 心坐标为（﹣1，0），半
径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面 积的最小值是（）
A．2 B． 1 C． D．
9、如图，AB是⊙O的 一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中
点，直线EF与⊙ O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．

第7题 第8题 第9题


【构造三角形】
1、如图，一条笔直的公路
l
穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点
B，A、B的直线距离是13千米 .一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的
最快速度是80千米小时，而在草 地上的最快速度是40千米小时，则消防车在出发后最快经 小
B
时可到达居民点B .
(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)


13
5

l

A
2、如图，菱形ABCD的对角线 AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最
小值为

D
A

P


B
（第2题）



3、问题情境：
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
探究：
请您结合图2给予证明；
归纳：
圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．
图中有圆，直接运用：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以 BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一
个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
图中无圆，构造运用：

C

如图4，在边长为2 的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN
沿MN所在的 直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
解：由折叠知A′M=AM，又 M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如
图8，以点M为圆心， MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）
迁移拓展，深化运用：
如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=D F．连接CF交BD于点G，连接BE交
AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．

2、如图，在△
ABC
中，
AB
＝13，
B C
＝14，
AC
＝15．
（1）探究：如图1，作
AH
⊥
BC
于点
H
，则
AH
＝ ，△
ABC
的面积
S
△ABC
＝ ．
（2）拓展 ：如图2，点
D
在边
AC
上（可与点
A
，
C
重合），分别过点
A
、
C
作直线
BD
的垂线，
垂 足为
E
，
F
，设
BD
＝
x
，
AE
＋
CF
＝
y
．
①求
y
与
x的函数关系式，并求
y
的最大值和最小值；
②对给定的一个
x
值，有时只能确定唯一的点
D
，请求出这样的
x
的取值范围．











B
H
图
A
A
D
F
E
C
B
图
C

3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥B C，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，
AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．










4、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.

（1） 蜘蛛在顶点
A'
处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近
路线
A'GC
和往墙面
BB'C'C
爬行的最近路线
A'HC，试通过计算判断哪条路线更近



（2）在图3中， 半径为10dm的⊙M与
D'C'
相切，圆心M到边
CC'
的距离为15dm ，蜘蛛P在线
段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求P Q的长度的范
围.

5、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分 别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆
时针旋转，得到等腰Rt△AD
1
E
1
，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD
1
与CE
1
的交点为P．


（1）如图1，当α=90°时，线段BD
1
的长等于 ，线段CE
1
的长等于 ；（直接填
写结果）

（2）如图2，当α=135°时，求证：BD
1
= CE
1
，且BD
1
⊥CE
1
；


（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值
为 ．（直接填写结果）
C

C


E
E（D
1
）

D
1
P

A
DB

E
1
A
DB
E
1





6、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E ，使OG=2OD，OE=2OC，
然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．





（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋 转α角（0°＜α＜360°）得到正方形
OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；


②若正方形ABC D的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结
果不必说明理由．

7、在△
ABC
中，
ABAC5,cosABC


CA
1
；②.求△
AB
1
C
的面积；
3
,将△
ABC
绕点
C
顺时针旋转，得到△
A1
B
1
C
.
5
（1）如图①，当点
B
1
在线段
BA
延长线上时. ①.求证：
BB
1


（2）如图②，点
E
是
BC
上的中点，点
F为线段
AB
上的动点，在△
ABC
绕点
C
顺时针旋转过
程中，点
F
的对应点是
F
1
，求线段
EF
1
长度的最大值与最小值的差.

















B





A

B
1





C



A
1




F



A

B
1

F
1



A
1




B
①
E
C
②
8、如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、 P分别在线段AB、AD、AC上，
已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△E FP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和
最小值．

9、抛物线y=ax+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P 在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内
的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O
1
过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与 点A，E重合），∠MBN
为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．
2












10、问题提出：如图1，在Rt△
ABC
中，∠< br>ACB
＝90°，
CB
＝4，
CA
＝6，⊙
C
半径为2，
P
为
1
圆上一动点，连结
AP
，
BP
，求
AP
＋
BP
的最小值．
2





C

PP
A

P

O

（图1）
（图2）
（图3）
B

D

CBC< br>D
B
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接
CP
，在
CB
上取点
D
，
CDCP
1
使
CD
＝1，则有＝＝，又∵∠
PCD
＝∠
BCP
，∴△
P CD
∽△
BCP
，
CPCB
2
PD
111
∴＝，∴
PD
＝
BP
，∴
AP
＋
BP
＝
AP
＋
PD
．
BP
222
1
请你完成余 下的思考，并直接写出答案：
AP
＋
BP
的最小值为 ．
2
1
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，
AP
＋
BP
的最小值为 ．
3
⌒
上一点，求拓展延伸：已知扇形
COD
中，∠
COD
＝90º，
O C
＝6，
OA
＝3，
OB
＝5，点
P
是

CD
2
PA
＋
PB
的最小值.













精心搜集整理，只为你的需要