几何中最值问题专题复习教学设计
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几何中最值问题专题复习教学设计
开江中学实验学校 刘佳莉
教材分析：
几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生
在复杂条件变化中发现解
决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知
的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“二次函数最值”等
知识源,实现问
题的转化与解决.
教学目标：
知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生
掌握处理最值
问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。
重点知识与命题特点
最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线
段之
和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面:
①两点间线段
最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④
二次函数的最值问题.命题特点
侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.
核心思想方法
由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、
数形结合、模型思想
、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、
函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数
学思想方法、逻辑推理与合情猜想相
结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、
图形的性质，
将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。
教学过程
一、问题导入
我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？
①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 二次函数的最值
问题.
师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.
二、真题讲解
真题示例1 <
br>1.
（
2016·
福建龙岩）如图，在周长为
12
的菱形ABCD
中，
AE=1
，
AF=2
，
若
P<
br>为对角线
BD
上一动点，则
EP+FP
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都
以轴对称图形为题设背景,
如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图
，
利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取
最小值时特殊
位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”
问题，关键是指出一条对称轴“河流”
（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，
常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反
射镜面”（如图2），
结合其他相关知识加以解决.
草地
·A
·A
M
河流
N
·A
真题示例2（2016·
四川内江）如图1所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与
两坐标轴分别交于A，B两点，D，
E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长
的最小值是______．
y
A
C
2
D
E
O
C
x
B
C
1
(图1)
(图
【解题策略】
2)
1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；
2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．
真题（组）示例3
例
3如图，在△ABC中，AB=3，AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于
E，PF
⊥AC于F，则EF的最小值为 .
（图1）
【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题
1．如图1 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 ．
若点M、N分别是线段ACAB上
的两个动点 ， 则BM+MN的最小值为（ ）
A． 10 B． 8 C． 5
3
D． 6
真题（组）示例4
1.（2012宁波）如图2，△ABC中，
BAC60
，
ABC45
，AB=
22
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连
接EF，则线段E
F长度的最小值为 .
(图(图
2) 3)
【示范解读】⊙O的大小随着AD的变化而变化
,在此变化过程中,圆周角∠BAC
的度数始终保持不变,而线段EF即为⊙O中60°圆周角所对的弦
,弦EF的大小随
⊙O直径变化的变化而变化,当圆O的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，<
br>即转化为求AD的最小值,由垂线段最短得出当AD⊥BC时,AD最短.
【解题策略】
1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，
2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短” 求出相关线段的最
小值.
真题（组）示例
5
1
．（
2016
江苏常州）如
图
6
，在平面直角坐标系
xOy
中，一次函数
y=x
与二次
函数
y=x
2
+bx
的图象相交于
O
、
A
两点，点
A
（
3
，
3
），点
M
为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2的线段PQ在线段O
A（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q
作x轴的垂线交抛物线于点P
1
、Q
1
，求四边形PQQ
1
P
1
面积的最大值；
(图6)
【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题
【解题策略】
此类问题中，无法通过
轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通
过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模
型，最终通过二次函数的最值原
理求出相应的最值.
1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；
2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.
三、专题总结
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量
(如线段长度、角度大
小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基
本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．
几何定理(公理)法；3．数形结合法
等．复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关
知识源的综合
与整合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中动点在运
动
过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系．通过
不变关系建立相关模型实现
最值的转化。