中华人民共和国统计法-辽宁省国税局

几何最值问题解法探讨
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求 某几何量（如线段的长度、图形的周
长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称 为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角 形的三边关系）
求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4） 应用二次函数求最值；
（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：
典型例题：例1. （ 2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON
上， 当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动
过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．
21
B．
5
C．
【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=
5
145
5 D．
2
5
1
AB=1。
2
DE=
AD
2< br>AE
2
1
2
1
2
2
，
∴OD的最大值为：
21
。故选A。
例2.（2012湖北鄂州3分）在 锐角三角形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。

【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段 的性质，锐角三角函数定
义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=< br>42
，∠ABC=45°，∴CE的最小值为
42
sin45=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是
▲ ．
【答案】1＜AD＜4。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。
【分析】延长AD至E，使DE=AD ，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，
再根据三角形的三边关系即可求解：
延长AD至E，使DE=AD，连接CE。
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB。
在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。
∴1＜AD＜4。
二、应用垂线段最短的性质求最值：
典型例题：例1. （20 12山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则
BP的最小 值是 ▲ ．
0

【答案】
24
。
5
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。
设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得

B P
2
AB
2
AP
2
，BP
2
 BC
2
CP
2
。
∴
AB
2
AP
2
BC
2
CP
2
，即
5
2
x
2
6
2


6x

，解得
x=
。
2
7
5
57624
24

7< br>
=
，即BP的最小值是∴
BP5

=
。
255
5

5

2
2
例11. （201 2福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠ C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加 的字母和
辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴
AC
22
BC22
。
22

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
2
AD
2
AD
2
AD
2
。

∴AD：AC=AE：AD，∴
AE
2
AC
2
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=
∴AE的最小值为
1
BC=1。
2
2
2
222
1
。∴CE的最大值=
2
。
2222
②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合，不合题意舍去。
当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。
∴DC=CA=
2
。∴BD=BC－DC=2－
2
。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或
2－
2
。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】 （1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠ AED=∠ADC；
又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 < br>（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则
AC
22< br>BC22
，由
22
∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的 判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即
2
AD
2
A D
2
AD
2
，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC －AE得到CE的最大值。
AE

2
AC
2
②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。
练习题：
1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一 个动点，若PA=2，
则PQ的最小值为【 】

A、1 B、2 C、3 D、4
2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中 ，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与 AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，
点E，F和点A构成△AEF．试探究△ AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，
请计算出△AEF周长的最小值．

3.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直 线l上的一个动点，
PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】

A．
13
B．
5
C．3 D．2
4.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P
是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ▲ ．

5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：B C=4：3，点P从点A出发沿
AB方向向点B运动，速度为1cms，同时点Q从点B出发沿B→C→ A方向向点A运动，速度为2cms，当

一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停 止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积 为y（cm），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围；
（ 3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长， 若不存
在，请说明理由．
2

三、应用轴对称的性质求最值：
典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm ，在杯内
离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的 点A处，则蚂
蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．

【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如 图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长
18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的 对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。

在Rt△BCD中，由勾股定理得
BCDC
2
BD
2
9
2
12
2
15
。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2. （201 2甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别< br>找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠AN M＝2(∠AA′M
＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A ″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即
为△AMN的周长最小值。作DA延长线A H。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD ＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。
故选B。
例4. （20 12四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．

【答案】
25
。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，
DE=CD
2
+CE
2
4
2
+2
2
25
。
练习题：
1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且 P为x轴上一动点，则△ABP的周长的
最小值为 ▲ ．

2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a ，1)，
当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．

3.（2011山东济 宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某
河道建一座水 泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河
道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为
x
轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3 ），
B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

4. （2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别 是
AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】

A、2 B、4 C、
22
D、
42

5.（20 11辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD= 8，点E、F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6
7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，A B=6，对角线AC平分∠BAD，点

E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是 AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．

四、应用二次函数求最值：典型例题：
例1. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的 边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，
当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm．
2

【答案】
15
，。
28
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC =90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。
ABBM1x
，即，解得CN=x（1﹣x）。

MCCN1xCN< br>111111
2
5
∴
S
四边形
ABCN
 1[1x（1x）]x
2
x（x）
。
222222 8
115
2
∵

＜0，∴当x=cm时，S
四边形ABCN
最大，最大值是cm。
228
∴△ABM∽△MCN，∴
例2.（2012 江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的
同侧 作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ▲ ．

【答案】1。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝
∴∠DCE＝90°。 ∴DE＝DC＋CE＝（
2
222
22
x
，CE＝
(2 －x)
。
22
22
x
）
2
＋[
(2－ x)
]
2
＝x
2
－2x＋2＝(x－1)
2
＋1。
22
∴当x＝1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。
例3.（2 012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合）， 过点
P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为 y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中，AB= 2，∴BP=
AP
2
AB
2
3
2
2
2
5
。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴13
2x
ABBP

。∴
yx
2
x。 ，即

3xy
22
PCCE
1
2
3 139
xx(x)
2


22228
9
3
∴当
x
时，y的值最大，最大值是。
8
2
1
2
3
（2）设BP=x, 由（2）得
CExx
。
22
∵
y
∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。
13
x
2
x
3x
CPCE
2
，

2
∴， 即

32
CBCD
化简得
3 x
2
13x120
。
解得
x
1

4
或
x
2
3
（不合题意，舍去）。
3

∴当BP=
4
时， PE∥BD。
3
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行
的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△AB P中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据 相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数
关系式。化为顶点式即可求得当
x
9
3
时，y的值最大，最大值是。
8
2
（3）由PE∥BD，得△ CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
例6.（2012江苏苏 州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上
的动点，过点P 作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为
x

2
.
⑴当
x=
时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，
PDPC
的值最大？最大值是多少？
5
2
B
P
O
D
C
A
l

【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。
又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴
PCPA
2
，即PA=PC·PD。

APAB
∵PC=
x=
，AB=4，∴
PA
5
2
5
4 10
。
2
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：
PB16106
。
（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。
∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。
∴
PDPC=2

x2


4x

=2x
2
+12x16
= 2

x3

+2
。
∵
2
∴当
x=3
时，
PDPC
有最大值，最大值是2。
【考 点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定
和性 质，二次函数的最值。
【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质 得到AB垂直于直线l，又PC
垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平 行，根据两直线平行内错角相等得
到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角 形相似可得出△PCA与△PAB相似，
由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在R t△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理
即可求出PB的长。
（2）过O作OE垂直 于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角
的四边形为矩形得到OA CE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC- EC的长表示出PE，根
据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中， 整理后得到关于x的二次函数，配方后
根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最 大值及此时x的取值。
例9. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC =5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C
向A运动，速度为1米秒；同时N点在线段AB上，从 A向B运动，速度为2米秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
2

【答 案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米
秒 ，运动时间为t秒，
∴AM=12﹣t，AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。
（2）如图作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
ANNH2tNH
10
，即

。∴NH=
t
。 < br>
ABBC135
13
1105605
2
180
∴< br>S
ABC


12t

t=t
2
+t=

t6

+
。
21313131313
180
∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。
13
∴
【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计 算其面
积得到有关t的二次函数求最值即可。
例11.（2012贵州六盘水16分）如图1 ，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发
沿BA方向点A 匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cms．连接PQ，
设运动 的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻 t，使四边形AQPQ′为菱形？
若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，则
∴当
t2
102t2t
APAQ20
，即。

，解得
t 
108
ABAC9
20
s时，PQ∥BC。
9
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D。

则PD∥BC，∴△APD∽△ABC。
APPD6
102tPD
，即，解得
PD6t
。
 
ABBC5
106
11
6
∴S=×AQ×PD=×2t×（
6t
）
22
5
∴
66

5

15
t
2
+6t

t

+
。
55

2

2
∴当t=
2
515
2
s时，S取得最大值，最大值为cm。
22
（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
11
S
△AB C
，而S
△ABC
=AC•BC=24，∴此时S
△AQP
=12。
22
66
2
由（2）可知，S
△AQP
=
t2
+6t
，∴
t
2
+6t
=12，化简得：t﹣5t +10=0。
55
则有S
△AQP
=
∵△=（﹣5）﹣4×1×1 0=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，
则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
2
APPDAD102tPDAD
，即。 
ABBCAC1068
8
6
解得：PD=
6t
，AD=
8t
，
5
5
818
∴QD=AD﹣AQ=
8t2t=8t
。
55
∴
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD+PD=PQ，即（
8化简得：13t﹣90t+125=0，解得：t
1
=5，t
2
=
2
222
186
222
t
）+（
6t
）=（2 t），
55
25
。
13
25
。
13
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=
由（2）可知，S
△AQP
=
t
2
+6t

∴S
菱形AQPQ′
= 2S
△AQP
=2×（
t
2
+6t
）=2×[﹣
6
5
6
5
6
25
2
252400
×（）+ 6×]=。
5
1313169

∴存在时刻t=
252400
2
，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm。
13169
【考 点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元
二次 方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。
【分析】（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。
（2）如图1所示， 过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以
得到S的表达式 ，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。
（3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由 线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元
二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以 得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰
好把△ABC的面积平分。
（4）根据菱形 的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，
求得时间t 的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）
中△ AQP面积的表达式，这样可以化简计算。
例12.（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的 两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，
P在边AB上沿AB方向以每 秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设
运动时间为x秒， △PBQ的面积为y（cm）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.
2

【答案】解：（1）∵
S
PBQ
PBBQ
， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
∴y=
1
2
1
2（18－2x）x，即y=－x＋9x（02
2
2
9
81

（2）由（1）知：y=－x＋9x=


x 

+
。
2

4

∵当09
时，y随x的增大而增大， 而02
∴当x=4时，
y
最大值
20
。
∴△PBQ的最大面积是20cm。
【考点】矩形的性质，二次函数的最值。X|k | B| 1 . c|O |m
2

【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长， 然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解。
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答。
例13.（2 012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△D EF与△ABC
重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿 B到C的方向运动，且DE、
始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成 等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明
理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE。∴△ABE∽△ECM。
（2）解：能。
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF。∴AE≠AM。
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM（SAS）。∴CE=AB=5。
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA。
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。
AC
225
CEAC

又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴
CE
。

CB6
ACCB
2511
∴BE= BC﹣EC =6﹣
=
。
66
11
综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。
6
（3）解：设BE=x，则CE=6－x
∵△ABE∽△ECM，∴
16
CMCECM6x
，即：，∴
CMx
2
+x
。 
55
BEABx5

6116

x3

2
+
。

555
16
∴当x=3时，AM最短为。
5
1
又∵当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，∴AE⊥BC。
2
∴
AM5CMx
2
x+5=
∴
AE=AB
2
BE
2
5
2
3
2
4
。
1
5

16

12
此时，EF⊥AC，∴
EM= AEAM4


。
5

5

2 22
2
1161296

。
25525
96
∴当线段AM最短时，重叠部分的面积为。
25
∴
S
AEM
=AMEM
【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的
性质，二次函数的最值，勾股定理。
【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质 ，易证
得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM。
（2）由∠AEF=∠B= ∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，应用全
等三角 形与相似三角形的性质求解即可求得答案。
（3）设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角 形的对应边成比例，易得
CMx
2
+x
，从而求
得AM的值，利 用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，从而求得重叠部分的面积。
例14.（2012四川 南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，
以 M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，
(1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是 否存在最小值，若存在，求出最小值，若不
存在。请说明理由。
1
2
1
5
6
5

【答案】解：（1）证明：连接OM 。

∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，
∴PQ=4
2
，OM=PM =
1
0
PQ=2
2
，∠POM=∠BOM=∠P=45 。
2
∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB。
∴△PMA≌△OMB（ASA）。∴ MA=MB。
(2) △AOB的周长存在最小值。理由如下:
∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB。 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4。
令OA=x， AB=y，则y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8≥8。
∴当x=2时y有最小值8，从而 y的最小值为2
2
。
∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2
2
。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）连接OM，证△PMA和△OMB全等即可。
(2) 先计算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt⊿AOB中，利用勾股定理
得y=x+(4-x)=2x-8x+16=2(x-2)+8求出最值即可。
练习题：
1. （2011宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别 在两腰AB、AC上（M不与
A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在 的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2） 当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
22222
2
22222

五、应用其它知识求最值：
典型例题：例1.（2011山东滨州3分）如图．在△ABC中 ，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC
绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的 位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线
的长为【 】

A、
43cm
B、
8cm
8cm C、
16

cm

3
D、

cm

8
3
【答案】D。
【考点】旋转的性质，弧长的计算。
【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A、C、B'三点在同一条直线上，∴∠ACA′＝120°。 又∵AC＝4，∴
L
AA
'

120

4 8



cm

。故选D。
1803
例 2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那 么
∠OAP的最大值是【 】

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A。
【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。
连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。
∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。
∴
sinOAP
O P1
00

。∴∠OAP′=30，即∠OAP的最大值是=30。故选A。 OA2
例3.（2011贵州贵阳3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30 °，点P是BC边上的动点，则AP
长不可能是【 】

A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7
【答案】D。
【考点】含30度角的直角三角形的性质，垂线段的性质。
【分析】利用垂线段最短分析AP 最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP
最大不能大于6。故选D 。
例12.（黑龙江大庆3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙ O的切线，
切点为B，则线段AB的长度的最小值为【 】

A．1 B．2 C．3 D．2
【答案】C。
【考点】点到直线的距离的定义，切线的性质，勾股定理。
【分析】先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB：
ABAO
2
OB
2
2
2
1
2
3
。故选C。
例14.（2011江西南昌7分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2
3
，点A为
弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．

（参考数据：
sin60
3
33
，
cos30
，
tan30
.）
3
22
【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵BD是直径，∴BD=4，
DCB90
0
。
在Rt△DBC中，
sinBDC
BC233
，

BD42
∴
BDC60
，∴
BACBDC60
0
。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A
落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，
1
则AB=AC，
BAEBAC30
0
。
2
在Rt△ABE中，∵
BE3, BAE30
0
，
∴
AE
BE

tan30
1
3
。 ∴S
△ABC
=
23333
。
2
3
3
3
答：△ABC面积的最大值是
33
。
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC 中
利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出
BDC
的度数，再由圆周角 定理即可求解。
（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△AB C的面积最大，此时点A应
落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A 为优弧BC的中点，连接AB，AC，
则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△A BE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角
函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答 。