酵素的作用与功效-营销经验

初中几何最值问题

例题精讲

一、三点共线

1
、构造三角形

【例
1
】在锐角
VABC
中，
AB=4
，
BC=5
，∠
A CB=45°
，将△
ABC
绕点
B
按逆时针方向旋转，得到△
A
1
BC
1
．点
E
为线段
AB
中点，点
P
是线段
AC
上的动点，在△
ABC
绕点
B
按逆时针方向旋转过程中，点
P
的
对应点是点
P
1
，求线 段
EP
1
长度的最大值与最小值．

C
1
P
1
A


E
A
1
B
P
C


【巩固】以平 面上一点
O
为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△
AOB
和△
COD
，其中∠
ABO=
∠
DCO=30°
．如图，若
B O=
33
，点
N
在线段
OD
上，且
NO=2
．点
P
是线段
AB
上的一个动点，
在将△
AOB
绕点
O
旋转的过程中，线段
PN
长度的最小值为
_______，最大值为
_______
．

A
O
N
CD
P
B
O
N
C
D
备用图

【例
2
】如图，
MON 90
°
，矩形
ABCD
的顶点
A
．
B
分别 在边
OM
，
ON
上，当
B
在边
ON
上运动 时，
A
随之在边
OM
上运动，矩形
ABCD
的形状保持不变 ，其中
AB=2
，
BC=1
，运动过程中，点
D
到点
O
的最大距离为
__________





【巩固】已知：
△AOB
中，
ABOB2
，
△COD
中，
CDOC3
,
∠ABO∠DCO
.
连接
AD
、
BC
，
点
M
、
N
、
P
分别为
OA
、
OD
、
BC
的中点
.< br>若
A
、
O
、
C
三点在同一直线上，且
∠AB O2

，
固定
△AOB
，将
△COD
绕点
O
旋转，则
PM
的最大值为
____________


B
M
O
P
A
N
D
C

【巩固】在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
、
B
分 别在
x
轴、
y
轴的正半轴上，点
M
为线段
AB的中点．点
D
、
E
分别在
x
轴、
y
轴 的负半轴上，且
DEAB10
．以
DE
为边在第三象限内作正方形
DGFE
，请求出线段
MG
长度的最大值，并直接写出此时直线
MG
所对应的函数的解析式．

y
B
M
O
A
x
G
D
E
F

【例
3
】如图，已知
A(,y
1
)
，
B(2,y
2
)
为反比例函数
y
11
图像上的两点，动点
P(x, 0)
在
x
正半轴上运
2x
动，当线段
AP
与线段< br>BP
之差达到最大时，点
P
的坐标是
_________
y
A
B
O

P
x














2
、轴对称

【例
1
】求





x3

2
4x
2
 1
的最小值

【例
2
】
AB
CD
是半径为
5
的
eO
的两条弦，
AB8
，
CD6
，
MN
为直径，
ABMN
于点
E
,
CDMN< br>于点
F
，
P
为
EF
上任意一点，则
PA+P C
的最小值为
_________
A
C
M
E
OPF
N
D
B


【巩固】设半径为
1
的半圆的圆心为
O
，直径为
AB
,
C、D
是半圆上两点，若弧
AC
的度数为
96°，弧
BD
的度数为
36°
，动点
P
在直径
AB
上，则
CP+PD
的最小值是
_______

【巩固】 设正三角形
ABC
的边长是
2
，
M
是
AB
边上的中点，
P
是边
BC
上任意一点，则
PA+PM
的最< br>大值为
_______,
最小值为
________

【例
3
】如图，已知等边△
ABC的边长为
1
，
D
、
E
、
F
分别是AB
、
BC
、
AC
边上的点（均不与点
A
、< br>B
、
C
重
E
、
F
分别是
AB
、
BC
、
AC
边上任意点，合），记△
DEF
的周长为< br>p
.
若
D
、则
p
的取值范围是
.
A
D
F
B
E
C

点
D
是抛物线的顶点．

（
1
）求直线
A C
的解析式及
B
．
D
两点的坐标；

（
2
）请在直线
AC
上找一点
M
，使△
BDM
的周长最 小，求出点
M
的坐标．


【例
4
】如图
1
，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
—x
2
＋
2 x
＋
3
与
x
轴交于
A
．
B
两点， 与
y
轴交于点
C
，


图1
【例
5
】如图，直线
y
3
得到射
x2
分别交
x
轴、
y
轴于
C
、
A
两点，将射线
AM绕点
A
顺时针旋转
45°
3
线
AN
，
D
为
AM
上的动点，
B
为
AN
上的动点，点
C
在∠
MAN
的内部．

（
1
）当
AM
∥
x
轴，且四边形
ABCD
为梯形时，求
△BCD
的面积；

（
2
）求△
BCD
周长的最小值；

（
3
）当△
BCD
的周长取得最小值，且
BD









N
备用图 备用图
52
时，求
△BCD
的面积．

3
y
2
1
A
D
1 2 3
C
4
y
2
A
y
2
1
1 2 3
C
4
A
M
x
1
O
O x O
1 2 3
C
4
x
B

【例
6
】在直角坐标系中，
A

1,2
，
B

4,1

，
C

m,0

，
D

n,n

为四边形的
4< br>个顶点，当四边形
ABCD
的周长最短时，
m

______ ___
n
y
O
C
A
D
x
B


【巩固】如图
1
，抛物线
y
＝
ax
2< br>＋
bx
＋
c
（
a≠0
）的顶点为
C
（
1
，
4
），交
x
轴于
A
、
B< br>两点，交
y
轴于点
D
，
其中点
B
的坐标为（
3
，
0
）。

（
1
）求抛物线的解析式；

（
2
）如图
2
，过点
A
的直线与抛物线交于点
E
，交
y
轴于点
F
，其中点
E
的横坐标为
2
，若直线
PQ
为抛物线的对称轴，点
G
为直线
PQ
上的一动点，则
x
轴上 师范存在一点
H
，使
D
、
G
、
H
、
F
四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点
G
、
H的坐标；若不存在，请说明
理由。
























y

C

y

P

C

y

C

D

D

E

D

A

O

B

x

A

F

O

Q

B

x

A

O

B

x

图13
图2

2
B
两点（
B
在【例
7
】已知，如图
1
，二次函数
yax2ax 3a

a0

的图像的顶点为
H
，与
x
轴交于
A、
B
关于直线
l
：
y
3
x3
对称．

A
的右侧），点
H、
3
B
两点的 坐标，并证明点
A
在直线
l
上；

（
1
） 求
A、
（
2
）求二次函数的解析式；

N
分别为直 线
AH
和直线
l
上的两个动点，连结（
3
）过点
B
作
BK∥AH
交直线
l
于点
K
，
M、HN、NM、MK，
求
HNNMMK
的最小值．

y
H
l
K
A
O
B
图1
x

【巩固】如图，在平面直角坐标系
xOy
中
,
二次函数
y
两点
,
顶点为
C
.
(1)
求此二次函数解析式；

(2)
点
D
为点
C关于
x
轴的对称点，过点
A
作直线
l
：
y< br>3
x
3
交
BD
于点
E
，过点
B< br>作直线
33
BK
∥
AD
交直线
l
于
K
点
.
问：在四边形
ABKD
的内部是否存在点
P
，使得它到四边形
ABKD
四
边的距离都相等，若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)
在（
2
）的条件下，若
M
、
N
分别为直线
AD
和直线
l
上的两个 动点，连结
DN
、
NM
、
MK
，
求
DN NMMK
和的最小值
.
3
2
xbxc
的图象与x
轴交于
A
（
-1,0
）、
B
（
3, 0
）
2

【例
8
】在 平面直角坐标系中，矩形
OACB
的顶点
O
在坐标原点，顶点
A、
B
分别在
x
轴、

y
轴的正半轴上，
OA3
，
OB4
，
D
为边
OB
的中点
.
（Ⅰ）若
E
为边
OA
上的一个动点，当△
CDE的周长最小时，求点
E
的坐标；















温馨提示：如图，可以作点D关于
x

轴
的对称点
D


，连接
CD


与
x

轴交于
点E，此时△
CDE

的周长是最小的.这样，
你只需求出
OE

的长，就可以确定点
E

的
y
B
D
y
C
B
D
A
x
C
O
D


E
O
A
x
（Ⅱ）若
E
、
F
为边
OA
上的两个动点，且
EF2
，当 四边形
CDEF
的周长最小时，求点
E
、
F
的坐标
.












【巩固】已知点
A
（
3
，
4
），点
B
的坐标为（﹣
1
，
1
）时，在
x
轴上另取两点
E
，
F
，且
EF=1
．线段
EF
在
x
轴上平移，线段
EF
平移至何处时，四边形
AB EF
的周长最小？求出此时点
E
的坐标．

【例
9
】已知直线
y11
x1
与
y
轴交于点
A
，与
x
轴 交于点
D
，抛物线
yx
2
bxc
与直线交于
A
、
E
22
两点，与
x
轴交于
B
、
C
两点，且
B
点坐标为
(1
，
0).
（
1
）求该抛物线的解析式；

（
2
）在抛物线的 对称轴上找一点
M
，使
|AMMC|
的值最大，求出点
M
的坐标。













【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系
xOy< br>中，直线
yx6
与
x
轴、
y
轴的交点分别为< br>A
、
B
，将∠
OBA
对折，使点
O
的对应点
H
落在直线
AB
上，折痕交
x
轴于点
C.
（
1
）直接写出点
C
的坐标，并求过
A
、
B、
C
三点的抛物线的解析式；

（
2
）设抛物线的对称 轴与直线
BC
的交点为
T
，
Q
为线段
BT
上一点，直接写出
QAQO
的取值
范围
.





3
4

3
、旋转

【例
1
】
如图，已知在△
AB C
中，
BC=a
，
AC=b
，以
AB
为边作等边三 角形
ABD.
当∠
ACB
变化
,
且点
D
与 点
C
位于直线
AB
的两侧时，求
CD
的最大值及相应的∠
ACB
的度数
.












A
C
B
D
【例
2
】
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
B
的坐标为
(0,2)
，点
D
在x
轴的正半轴上，
ODB30
，
OE
为△
BOD
的中线，过
B
、
E
两点的抛物线
yax
2

左侧）

（
1
）求抛物线的解析式；

3xc
与
x
轴相交于
A
、
F
两点（
A
在
F
的
6
（
2
）点
P
为三角形< br>ABO
内的一个动点，设
mPAPBPO
，请直接写出
m
的最小值
,
以及
m
取
得最小值时，线段
AP
的长
.
y
B
E
A
O
GF
Dx
【巩固】已知矩形
ABCD
，
AD=10
，
AB=6
， 在矩形
ABCD
内有一点
P
，在
BC
边上有一点
H
,
分别确定点
P
和
H
的位置，使得
APDPP H
最小

AD
P
B
H
C

【巩固】直角梯形
ABCD
中，
B C90
，在梯形内求作一点
O
使
OQBC
于
Q且
OA+OD+OQ
的值最小


D
A
O
B
Q
C


二、垂线段最短

【例1】已知
AB10
,
P
是 线段
AB
上任意一点，在
AB
的同侧分别以
AP
和
BP
为边作两个等边三角形
APC
和
BPD
，则线段
CD< br>长度的最小值是_______
C
D
AP
B

< br>【例
2
】如图，在锐角
VABC
中，
AB42，BAC 45°
，
BAC
的
平分线交
BC
于点
D，M、N
分别是
AD
和
AB
上的动点，则
C
BMMN
的最小值是
___________
．









A

N
D
M
B
【巩固】矩形
ABCD
中，AB20
，
BC10
.
在
AC
、
AB上各取一点
M
、
N
，使
BM+MN
的值最小，
求这个最小值

D
C
M
A
N
B

【例
3
】如图，在
△ABC
中，
AB=15
，
AC=12
，
BC=9
，经过点
C
且与边
AB
相切的动圆与
CB
、
CA
分别相
交于点
E
、
F
，则线段
E F
长度的最小值是
________
B
E

C
FA

【例
4
】已知在
VABC
的BC
边上取一点
D
，设
VABD
和
VACD
的 外接圆的圆心分别是
O
和
O

，求：使两圆
半径为最小值时 点
D
的位置

O
A
O
'
B
D
C

CBM
的外接圆。问当
M
点在什么位置时，两外接圆【巩固】点
M
在
VA BC
的
AC
边上，分别作
VABM
和
V
公共部分的 面积最小？

O
B
O
'
C
M
A


【例
5
】在已知
VABC
内，作内接矩形
DEM N
，使一边
DE
在最大边
BC
上，另外两个顶点
M
、
N
分别在边
AC
，
AB
上。试确定矩形
DEMN
的位置，使对角线
DM
长最短
.

A
N
M
B
D
E
C




【巩固】点
P
在锐角
VABC
的边上运动，试确定点P
的位置，使
PA+PB+PC
最小，并证明你的结论
.








【例
6
】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与
x
轴交于
A、B
两点，< br>D
为抛物线的顶点，
O
为

坐标原点．若
OA、OB
的长分别是方程
x
2
4x30
的两根，且
DAB 45°（OAOB）．
（
1
）求抛物线对应的二次函数解析式；

（
2
）过点
A
作
ACAD
交抛物线于点
C
，求点
C
的坐标；

（
3
）在（
2
）的 条件下，过点
A
任作直线
l
交线段
CD
于点
P，< br>求
C、D
到直线
l
的距离分别为
d
1
、d< br>2
，试求
d
1
+d
2
的最大值．




















y
c
C
c
l
P
c
B
c
O
A

x
c
D
c

【 例
7
】在直角坐标系中，点
A
坐标为（
-3
，
-2
），圆
A
的半径为
1
，
P
为
x
轴 上一动点，
PQ
切圆
A
于点
Q
，
则当
PQ
最小时，
P
点的坐标为
_________



（2，）4
，

【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知
△OAB
是等腰三角形（
OB
为底边），顶点
A
的坐标是
0

，
ADx
轴于点
D
，点
C
是
AD的中点，点
P
是直线
BC
上的一动点

点
B< br>在
x
轴上，点
Q
的坐标是

6，
（
1
）求点
C
的坐标

F
，问：（
2
）以 点
P
为圆心、
2
为半径作圆，得到动圆
eP
，过点
Q
作
eP
的两条切线，切点分布为
E、
E、P、F
为顶点的 四边形的最小面积为
S
？若存在，请求出
S
的值；若不存在，是否存在以O、
请说明理由．

y
A
C
Q
O
DBx











三、与圆相关的最值

1
、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦
< br>【例
1
】如图，⊙
O
的半径为
5
，点
P到圆心
O
的距离为
么长度为整数值的弦的条数为
________


O
P
10
，如果过点
P
作弦，那

2
、设
A
是⊙
O
内一点，在连接A
与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段
最长；设
A
是⊙
O
外一点，在连接
A
与圆上各点的线段中，圆心所在线段最 长，圆心在其延长线上的线段
最短


【例
1
】在直线MN
的同侧有定点
A
及定圆圆
O
，试在
MN
上 求一点
P
，在圆
O
上求一点
Q
，使
APPQ最
短

O
Q
A
MPN


【 例
2
】点
P
在图形
M
上，点
Q
在图形N
上，记
d
max

M，N

为线段
PQ
长度的最大值，
d
min

M，N

为线段
PQ
长度的最小值，图形
M、N
的平均距离
Ed
< br>M，N


dmax

M，N

dmin

M，N

2
．


13
23
，（
1
）在平面直角坐标系
xOy
中，
eO
是以
O
为圆心，
2
为半径的圆，且
A


2
，
2


，
B2，


eO

及
Ed

B，eO

；（直接写出答案即可 ）．

求
Ed

A，
（
2
）半径为
1
的
eC
的圆心与坐标原点
O
重合，直线
y-
343
x
与轴交于点
D
，与
y
轴交
x
3 3
eC

．

于点
F
，记线段
DF
为图形
G
，求
Ed

G，
（
3
）在（< br>2
）的条件下，如果
eC
的圆心
C
从原点沿
x
轴向右移动，
eC
的半径不变，且
5
Ed

G，eC

，求圆心
C
的横坐标．

2

3
、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时， 该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点

1
P、B
cosAPB< br>．【例
1
】已知：问是否存在以
A、
AB
是
eO中一条长为
4
的弦，
P
是
eO
上一动点，
3< br>为顶点的面积最大的三角形
,
试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．


















4
、过圆上的一 点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离
最长的点；当 圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点

【例
1< br>】如图，
AB
是半圆的直径，线段
CA
⊥
AB
于点< br>A
，线段
DB
上
AB
⊥点
B
，
AB =2
，
AC=1
，
BD=3
，
P
是半圆上的一个动 点，则封闭图形
ACPDB
的最大面积是
______
D
C
P
A
O
B

5
、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角

【例
1
】
B
为
MON
的边
OM
上的两点，试在
ON
上求作一点
C
，使
ACB
最大

M
B
A

O
C
N
【例
2】如图所示，直线
CD
与线段
AB
为直径的圆相切于点
D
，并交
BA
的延长线于点
C
，且
AB2
，
AD 1
，
P
点在切线
CD
上移动
.
当
AP B
的度数最大时，则
ABP
的度数为
_____







C
A
D
·
O

B
P
四

、转化类

【例1】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过 B、C、
D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为_ _______，最小值
为________．
D
C
P
C
'
B
B
'
D
'
A

【巩固】在
V ABC
中，
A120
，
BC6
，若
VABC
的内切圆半径为
r
，则
r
的最大值为
__________

3

、
B

2，0< br>
两点，当
x3
和
x3
时，这条抛物线上对应【例2
】已知抛物线
yax
2
bxc
经过
A

4，
2

的直线
l
与
x
轴平行，< br>O
为坐标原点．

的纵坐标相等．经过点
C

0，< br>（
1
）求直线
AB
和这条抛物线的解析式；

（2
）以
A
为圆心，
AO
为半径的圆记为圆
A
,
判断
直线
l
与圆
A
的位置关系，并说明理由；
< br>y
n

（
3
）设直线
AB
上的点
D
的横坐标为
1
,
P

m，
是抛物线
y ax
2
bxc
上的动点，当
△PDO
的周
长最小时，求 四边形
CODP
的面积．










【例
3
】在平面直角坐标系
xO y
中，⊙
O
的半径为
2
，且
A
（
4
，
0
），
B
（
4
，
4
），点
P
在⊙
O
上运动。

（1）求2BP+AP的最小值。
（ 2）若点M是函数
y
O
x
4
（x>0,x≠2）的图象上一点，M E⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，记M的横坐
x
标为t（t>0,t≠2）,请用含t的表 达式表示
2t
PEPF
的最小值。
t2
B
OA

【巩固】在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线< br>yx2mxmm
的顶点为
C
.
（
1
）求点
C
的坐标（用含
m
的代数式表示）；

（
2
）直线
yx2
与抛物线交于
A
、
B
两点，点
A
在抛物线的对称轴左侧
.
抛物线的对称轴与直线
作点
B
关 于直线
MC
的对称点
B'
.
以
M
为圆心，
MC
为半径的圆上存在一点
Q
，
AB
交于点
M
，
使得
QB'










22
2
QB
的值最小，则这个最小值为_______________ .
2
3

和点
B

2，1

．

【例
4
】已知抛物线
y ax
2
bx1
经过点
A

1，
（
1< br>）求此抛物线解析式；

（
2
）过点
B
作
x
轴的垂线，垂足为
E
点．点
P
从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对 称轴到达
F
点，再沿
FE
到达
E
点，若
P
点在对称轴上的运动速度是它在直线
FE
上运动速度的
2
倍，试确
定 点
F
的位置，使得点
P
按照上述要求到达
E
点所用的时间最 短．（要求：简述确定
F
点位置的
方法，但不要求证明）

y
3
2
1
O
1
2
x

,63
)
出发，先沿
y
轴到达
G
点，再【巩固】在平面直角坐标系
xOy
中，设
G
为y
轴上一点，点
P
从点
0，

沿
GA
到
A(
－
6
，
0)
点．若
P
点在
y
轴上运动的速度是它在直线
GA
上运动速度的
2
倍，试确定G
点的位置，使
P
点按照上述要求到达
A
点所用的时间最短．< br>(
要求：简述确定
G
点位置的方法，但
不要求证明
)















【例
5
】射线
OM< br>垂直平分
CD
,
垂足为
O
，
CD10
,< br>点
A
、
B
为射线
OM
上两动点，且
OBC ODA
，求
OA+OB
的最小值

C
O
A
BM
D