因为
CD
=2，因此将点
B
′向左平移2个单位得
B
′′(-
b
，2)，
要使
A
′
D
+
CB
′最短，只要使
A
′
D< br>+
DB
′′最短． ……1分
点
A
′关于
x轴对称点的坐标为
A
′′(-4-
b
，-8)，
直线
A
′′
B
′′的解析式为
y
5
x
5
b 2
．
22
……1分
要使
A
′
D
+
DB
′′最短，点
D
应在直线
A
′′
B
′′上，将点
D
(-4，
0)代入直线
A
′′
B
′′的解析式，解得
b
16
．
5
故将抛物线向左平移 时，存在某个位置，使四边形
A
′
B
′
CD
的周
长 最短，此时抛物线的函数解析式为
y
1
(x
16
)
2< br>．
25
……1分
25. （本题满分12分）已知抛物 线
y
=
ax
2
-2
ax
+
b
经过
A
（-1，0）、
B
（0，2）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），
C
是抛物线上的一点，若△
CAB
的面积与△< br>AOB
的面
积相等，求
C
点的坐标；
（3）如图（2），若 直线
a
是抛物线的对称轴，在直线
a
上是否存在
一条长度是１的线段
P Q
，使得四边形
ABPQ
的周长最小，若存在，
求出
P, Q
两点的坐标，若不存在，请说明理由.



25.（1）
yx
2
x2
；
2
3
4
A
3
Ox
A
y
B
C
y
Ba
如图（1）
o
x
第25题图
如图（2）

（2）方法一：∵△CAB与△AOB的面积相等，∴
OC
∥
AB
，
∴将直线
AB
向右平移1个单位得到直线
OC
的解析式为
y
=2
x
，设点
C
的坐标为（
m
，
n
），则
n
=2
m
，∵点
C
（
m
，2m
）在抛物线上，∴
24
2mm
2
m2
， < br>33
解得：
m
1
=
113113
，
m
2
=，
22
113113
，
113
）或（，
113
）；
22
∴
C
点的坐标为（
方法二：设点
C
的坐标为（
m
，
m
2
m2
）,

2
3
4
3
S
△ABC
=
S
CBO
四边形ABOC
-
S
△CBO
=
S
△ABO
+
S
△ACO
-S
△
或
S
△ABC
=
S
四边形ABCO
-
S
△CBO
=
S
△ABO
+
S
△CBO
-S
△
ACO
（3）四边形
ABPQ
的周长最小，即AQ+BP最小, 将线段
AQ
向上平移
1个单位得到线段A
1
Ｐ，A
1
的坐标为（－１，１）， 即AQ+BP＝
A
1
Ｐ+BP最小．
作
Ｂ
点关于直线
a
的对称点
B
1
点，连接
A
1
B
1
，交直线
a
于
P
点，
此时，
P
即为符合 条件的点，
∵A
１
（－1，１）、
B
（0，2），抛物线的对称轴 为
x
=1，∴
B
1
（2，2），
∴直线
A
1
B
1
的解析式为
yx
，
当
x
=1时，
y
，∴
P
（1，），
Q< br>（1，）.
24．(
山东省济南市
本小题满分9分)
如图所示，抛 物线
yx
2
2x3
与
x
轴交于
A
、
B
两点，直线
BD
的函数表达式为
y3x33
，抛 物线的对称轴
l
与直线
BD
交于点
C
、
5
3
1
3
4
3
5
3
2
3

与
x
轴交于点
E
．
⑴求
A
、
B
、
C
三个点的坐标．
⑵点< br>P
为线段
AB
上的一个动点（与点
A
、点
B
不重合），以点
A
为圆心、以
AP
为半径的圆弧与线段
AC
交于点
M
，以点
B
为圆心、以
BP
为半径的圆弧与线段BC
交于点
N
，分别连接
AN
、
BM
、
MN
．
①求证：
AN
=
BM
．
②在点
P
运动的过程中，四边形
AMNB
的面积有最大值还是有最
小值？并求出该 最大值或最小值
y
.
解：⑴令
x
2
2x30
，
D
l
y
D
l
C
F
N
E P
第24题图
解得：
x
1
1,x
2
3
，
C
∴
A
(－1，0)，
B
(3，0) ·
M
2分
∵
yx
2
2x3
=
(x1)
2
4
，
∴抛物线的对称轴为直线
x
=1，
将
x
=1代入
y3x
第
3
24
3
，得
题图
N
M
B
x
A
O
E
P
y
=2
3
，
A O
∴
C
（1，2
3
）. ···
B x
3分
⑵①在Rt△
ACE
∴∠
CAE
=60o，
中，tan∠
CAE
=
CE
3
，
AE
由抛物线的对称性可知
l
是线段
AB
的垂直平分线，
∴
AC=BC
，
∴△
ABC
为等边三角形， ········ 4分
∴
AB
=
BC =AC =
4，∠
ABC=
∠
ACB
= 60o，
又∵
AM=AP
，
BN=BP
，

∴
BN = CM
，

∴△
ABN
≌△
BCM
，
∴
AN
=
BM
. ··············· 5分
②四边形
AMNB
的面积有最小值． ···· 6分
设
AP=m
，四边形
AMNB
的面积为
S
，
由①可知
AB
=
BC=
4，
BN = CM=BP，
S
△
ABC
=
3
4
×4
2
=
43
，
∴
CM=BN= BP=
4－
m
，
CN=m
，
过
M
作
MF
⊥
BC
,垂足为
F
,
则
MF
=
MC
?sin60o=
∴
S
△< br>CMN
=
1
CN
2
MF
2
3
(4 m)
，
2
33
2
(4m)
=
m3m
， ·· 7
24
=
1
m
?分
∴
S
=
S< br>△
ABC
－
S
△
CMN
=
4
=< br>3
－（

3
2
m3m
）
4
3
············· 8
(m2)
2
33

4
3
. ······ 9
分
分 ∴
m
=2时，
S
取得最小值3< br>26．如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
坐标为（2，4），直线
x2< br>与
x
轴相交于点
B
，连结
OA
，抛物线
y x
2
从点
O
沿
OA
方向平移，与
直线
x 2
交于点
P
，顶点
M
到
A
点时停止移动．
（1）求线段
OA
所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点
M
的横坐标为
m
,
①用
m
的代数式表示点
P
的坐标；
②当
m
为何值时，线段
PB
最短；
（3）当线段
PB
最短时，相应的抛物线上
是否存在点
Q
，使△
QMA
的面积与
△
PMA
的面积相等，若存在，请求
O
M
A
P
B
第26题图

出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
26．
解：（1）设
OA
所在直线的函数解析式为
ykx
，
∵
A
（2，4），
∴
2k4
,
k2
,
∴
OA
所在直线的函数解析式为
y2x
.
……………………………
…………………2分
（2）①∵顶点M的横坐标为
m
，且在线段
OA
上移动，
∴
y2m
（0≤
m
≤2）.
∴顶点
M
的坐标为(
m
,
2m
).
2
∴抛物线函数解析式为
y
.
(xm)2m
22
∴当
x2
时，
y
（0≤
m
≤2）. m2m4
(2m)2m
2
2m4
∴点
P
的坐标是（2，
m
）
………………………………
……3分
2
2
2m4
② ∵
PB
=
m
=
(m
， 又∵0≤
m
≤2，
1)3
∴当
m1
时，PB最短.
……………………………
………4分
2

x12
（ 3）当线段
PB
最短时，此时抛物线的解析式为
y
.
Q
的坐标为（
x
，
S
P
假设在抛物线上存在点
Q
，使
S
QMA

MA
. 设点

2
x2x3
）.
①当点
Q
落在 直线
OA
的下方时，过
P
作直线
PC

AO
，交
y
轴于点
C
，
B3
，
A
∵
P
B4
，
∴
A
，∴
O
P1
C1
，∴
C
点的坐标是（0，1
）.
x1
∵点
P
的坐标是（2，3），∴直线
PC
的函数解析式为
y2
.
x1
S
P
∵S
Q
，∴点
Q
落在直线
y2
上.
MA
MA
2
2x3
∴
x
=
2x1
.
2,x2
解得
x
，即点
Q
（2，3）.
1

2

∴点
Q
与点
P
重合.
∴此时抛物线上不存在点
Q
，使△
QMA
与△
APM
的面积
相等.
②当点
Q
落在直线
OA
的上方时，
作点
P
关于点
A
的对称称点
D
，过
D作直线
DE

AO
，交
y
轴于点
E
，
ODA1
∵
A
，∴
E
，
P1
∴
E
、
D
的坐标分别是（0，1），（2，5），
x1
∴直线
DE
函数解析式为
y2
.
x1
S
P
∵
S
Q
，∴点
Q
落在直线
y 2
上.
MA

MA
2
2x3
∴
x
=
2x1
.
2
，
x
解得：
x
22
.
1
2
2

x1
522
. 代入
y 2
，得
y522
，
y
2

1


22,522
∴此时抛物线上存在点
Q

2,522< br>
2

，
Q
2
1
使△
QMA
与△
PMA
的面积相等.


综上所述，抛物线上存在点
Q

22,52 2
2,522

2

，
Q
2
1
使△
QMA
与△
PMA
的面积相等.
…………………………………………………………………………10
分
2
yaxbxc(a0)
的图9 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数
象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在
1
原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝
3
．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存
在这样的点F，
使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出
点F的坐标；若不存在，请说明 理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直
径的圆与x
轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下
方的抛物线上
y
一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P
点的坐标和△APG 的最大面积.
（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）
C
D
图 10
G
AOB
x


abc0


9a3bc0

c3
将A 、B、C三点的坐标代入得



a1


b2

c3
解得：


2
yx2x3
所以这个二次函数的表达式为：
y
1
R
N
R
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
M
yx3
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）
AO
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
1
M
rr
N
Bx
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
D
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则
N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得
R
117
2

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得
r
117
2

117
117
2
∴圆的半径为
2
或．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为
yx1
．

22
x2x3xx2
． 设P（x，），则Q（x，－x －1），PQ
当
x
1
2
时，△APG的面积最大
115

27

,

S
APG
的 最大值为
8
． 此时P点的坐标为

24

，
10 (绵阳市)如图，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+ 4与
x
轴的两个交点分
别为
A
（－4， 0）、
B
（2，0），与
y
轴交于点
C
，顶点为
D
．
E
（1，2）
为线段
BC
的中点，
BC
的垂直平分线与
x
轴、
y
轴分别交于
F
、
G
．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点
D
的坐标；
（2）在直线
EF
上求一点
H
，使△
CDH
的周长最小，并求出最小周< br>长及点H的坐标；
（3）若点
K
在
x
轴上方的抛物线上运动 ，当
K
运动到什么位置时，
△
EFK
的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）由题意，得
所以抛物线的解析式为
?解得，
b
=－1．
，顶点
D
的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与
x轴交于点
M
．因为
EF
垂直平分
BC
，
即C
关于直线
EG
的对称点为
B
，连结
BD
交于
EF
于一点，则这一点
为所求点
H
，使
DH
+
CH
最小，即最小为
DH
+
CH
=
DH
+
HB
=
BD
=
．
∴ △
CDH
的周长最小值为
CD
+
DR
+
CH
=．
． 而

设直线
BD
的解析式为
y
=
k
1
x
+
b
，则 ??解得 ，
b
1
= 3．
所以直线
BD
的解析式为
y
=
由于
BC
= 2，
CE
=
BC
∕2 =
x
+ 3．
，Rt△
CEG
∽△
COB
，
得
CE
:
CO
=
CG
:
CB
，所以
CG
= 2.5，
GO
= 1.5．
G
（0，1.5）．
同理可求得直线
EF
的解析式为
y
=
x
+．
联立直线
BD
与
EF
的方程，解得使△
CDH
的周 长最小的点
H
（，
）．
（3）设
K
（
t
，
于
N
．
则
KN
=
y
K
－
y
N
=－（
t
+）=．
），
x
F
＜
t
＜< br>x
E
．过
K
作
x
轴的垂线交
EF
所 以
S
△
EFK

=
S
△
KFN
+
S
△
KNE
=
KN
（
t
+ 3）+
KN
（1－
t
）= 2
KN
= －
t
2
－3
t
+ 5 =－（
t
+）
2
+．
，此时
K
（－即当
t
=－时，△
EFK
的面积最大，最大面积为
，）．
24．(宜宾市本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰
Rt
△
A OC
放在如图所示的平面直角坐标系中，
点
O
为坐标原点，点
C、
A
分别在
x
、
y
轴的正半轴上，一条抛物线经
过点
A
、
C
及点
B
(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点
P
是线段
BC
上一动点，过点
P
作
AB
的平行线交
AC
于点
E
，
连接
AP
，当△
APE
的面积最大时，求点< br>P
的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点
G
，使△< br>AGC
的面积与（2）
中△
APE
的最大面积相等若存在，请求出点< br>G
的坐标；若不存在，请
说明理由．
2
解：(1)如图，∵抛物线< br>y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠ 0)

的图象经过点
A
(0，6)，

∴
c
=6．…………………………………………1分
∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，
∴? ………………………………2分
解之，得??? …………………………3分
故此抛物线的解析式为：
y
= –
x
2
+
x
+6…………4分
?(2)设点
P
的坐标为(
m
，0)，
则
PC
=6–
m
，
S
△
ABC?
=
BC
·
AO
= ×9×6=27．……………5分
∵
PE
∥
AB
，
∴△
CEP
∽△
CAB
．…………………………………………6分
??????? ??∴ = ()
2
,即 = ( )
2

????????? ∴
S
=
△
CEP?
(6–
m
)
2
.…………………………………………………7分
????????? ∵
S
△
APC?
=
PC
·
AO
= (6–
m
)6=3 (6–
m
)
∴
S
△
APE?
=
S
△
APC
–
S
△
CEP
=3 (6–
m
) – (6–
m
)
2?
= – (
m
– )
2
+.
当
m
= 时，
S< br>△
APE
有最大面积为；此时，点
P
的坐标为
(,0)．…… …8分
(3)如图，过
G
作
GH
⊥
BC
于点H
，设点
G
的坐标为
G
(
a
，
b)，………………9分
连接
AG
、
GC
，
??????? ∵
S
梯形
AOHG
=
a
(
b
+6),
?????????
S
△
CHG?
= (6–
a
)
b

??????? ∴
S
四边形
AOCG?
=
a
(
b
+6) + (6–
a
)
b
= 3(
a
+
b
)．……………………
10分
??????? ∵
S
△
AGC
=
S
四边形
AOCG
–
S
△
AOC

??????
?∴ =3(
a
+
b
)–18．……………11分
∵点
G
(
a
，
b
)在抛物线
y
= –
x
2
+
x
+6的图象上，
???? ∴
b
= –
a
2
+
a
+6.
???? ∴ = 3(
a
–
a
2
+
a
+6)–18
???? 化简，得4
a
2
–24
a
+27=0
???? 解之，得
a
1
= ，
a
2
=
故点
G
的坐标为(,)或(，)．? ……………………………………
12分
?26．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
M
（-2，
- 1），且
P
（-1，-2）为双曲线上的一点，
Q
为坐标平面上一动点，PA
垂直于
x
轴，
QB
垂直于
y
轴，垂足分别 是
A
、
B
．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； < br>（2）当点
Q
在直线
MO
上运动时，直线
MO
上是否 存在这样的点
Q
，使得△
OBQ
与△
OAP
面积相等？如果 存在，请求出点Q的坐标，如
果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点
Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以
OP、
OQ
为邻边的平行四边形
O PCQ
，求平行四边形
OPCQ
周长的最小值．


y

y
26． （1）设正比例函数解析式为
ykx
， 将点
M
（
2
，
1
）坐标代
B
Q
B
Q
A
O
x
A
O
x

入得
k=
11
，所以正比例函数解析式为
y=x
······ 2分
22
2
同样可得，反比例函数解析式为
y=
········ 4分
x
（2）当点
Q
在直线
DO
上运动时，
设点
Q
的坐标为
Q(m，m)
， ············· 6分
于是
S
△OBQ
=
而
S
△OAP
=
1
OB?BQ
2
111
创mm=m
2
，
224
1
2
1
(-1)?(2)=1
，
2
1
所以有，
m
2
=1
，解得
m2
············ 8分
4
1)
和
Q
2
(-2，-1)
········· 9分 所以点
Q
的坐标为
Q
1
(2，
（3）因为四边形
OPCQ
是平行四边形，所以
OP
＝
CQ
，
OQ
＝
PC
，
而点
P
（
1
，
2
）是定点，所以
OP
的长也是定长，所以要求平行
四边形OPCQ
周长的最小值就只需求
OQ
的最小值． ····· 10分
因为点
Q
在第一象限中双曲线上，所以可设点
Q
的坐标为
Q(n，)
，
由勾股定理可得
OQ
2
=n
2
+
所以 当
(n-
42
2
=(n-)+4
，
2
nn
2
n
2
2
2
)=0
即
n-=0
时，OQ
2
有最小值4，
nn
又因为
OQ
为正值，所以< br>OQ
与
OQ
2
同时取得最小值，
所以
OQ
有最小值2． ················ 12分
由勾股定理得
OP
＝
5
，所以平行四边形
OPCQ
周长的最 小值是
2(OP+OQ)=2(5+2)=25+4
． ··········· 14分