兰亭序全文-爱国主义诗歌

.
中考能力试题最值问题探究
知识储备:中考数学中几何最值问题是把几何 、代数、三角等知识融为一体，综合性强，
是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点 问题的关键是善于转化，把形
形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线 段最短”、 “点
关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、 原型----“饮马问 题”，“造桥选
址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱 形、
矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”
转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。现举隅数例希望在中考在解决
某些 几何最值问题时能有所借鉴意义．
典例：
⑴ 已知A（－1，3），B(2,1)在x轴上求一点,
① P
1
使AP
1
+BP
1
最小；② P
2
使
AP

2
BP
2
最大
．．．．
⑵ 已知C(3,3),D(－
1
,-1)在x轴上求一点,
2






① Q
1
使
CQ
1
DQ
1
最大；
② Q
2
使CQ
2
+DQ
2
最小；
．．．
y
y
A
3
1
B
D
'
Q
1
3
C
1
Q
2
3
-1
-1
解：⑴如图①B（2 ，1）关于x轴对称B＇(2,-1),直线AB＇与x轴交点
B
`
P
1< br>2
P
2
x
x
D
-1
即为所求AP
1
+BP
1
最小点P
1
（
5
,0）； ②直线AB与x轴交点即为P
2
（
7
,0
）
．
4
2
⑵如图① D关于x轴对称点D＇（

1
, 1
）直线CD＇与x轴的交点即为所Q
1
（

9
,0
）；
24
②直线CD与x轴的交点Q
2
（
3
,0
）
8
一 代数问题
.

.
1. 对于实数
x
，我们规定

x

表示不大于
x
的最大整数，例 如

1.2

1
，

3

3
，
x4


2.5

3
，若

5
，则
x
的取值可以是（ ）.

10

A.40 B.45 C.51 D.56
2.已知
32n16
是整数，则n的最小整数值是__________ ______
3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论， 推导
1
（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的
x
111
一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（
x
）；当矩形成为正 方形时，就有x=
xxx
11
（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（
x
）=4最小，因此
x
（x＞0）的最小值
xx
x
2< br>9
是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
x
出“式子
x
A.1 B.2 C.6 D.10

二 立体图形中的最值问题
1. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面
爬行一圈到SA 的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

由题意知底 面圆的直径AB=2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为
n°，根据底面周长等 于展开后扇形的弧长得2π=
4n

，解得n=90，所以展开图中∠
180
PSC=90°，根据勾股定理求得PC=
25
，所以小虫爬行的最短距离为
25
．
2.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线
BC一点且PC=
BC
．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是
（ ）．
2
3
.

.
A．
(4
6

)
cm B．5 cm C．
35
cm D．7 cm



侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,∵AC=3cm, PC=
BC
∴PC=
6
=4cm
在Rt△ACP中,∵
APACCP
∴
AP
2

222
2
3
2
3
AC
2
CP
2
3
2
4
2
5
,故选B:
三 平面几何
类型1.线段的长最小
【例 1】已知边长为
a
的正三角形
ABC
，两顶点
A、B
分别在 平面直角坐标系的
x
轴、
y
轴
的正半轴上滑动，点C在第一象限，连 结OC，则OC的长的最大值是 ．
分析：因为要解决OC的长的最大值，点C在第 一象限，结合正三角形
ABC
，点C恰是
正三角形
ABC
的顶点，于是过点C作CD⊥ AB于D，连接OC。易求得△ODC中，
DO＝
3
13
1
1a
，∵△ODC中DO＋DC≥CO，即CO≤
aa

AB
＝
a
，CD＝
22
2
2
2
3131
a
，∴CO的最大值为
a

22
C
y
C
∴CO≤





B
O
y
A
x
B
O
Ｄ

A
x
【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最
短，辅助线的添画运用非常巧妙。
.

.
2.【例2】如 图所示直线
ykx3
上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。


ykx3

y






分析：由ＭＱ所在的直线的解析式为：
ykx3
，过点Ｍ（－２，１） 于是有方程
12k3
解得：
k2
， 所以
y2x3
，直线
y2x3
上有一点P到原点的距离最近，即Ｐ
Ｏ⊥ＭＱ时，
∵由直线
y2x3
，设直线分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ、Ｂ两点，当 y＝０时，x＝－
ｘ＝０时，ｙ＝－３，
M
1
1
x
ykx3

y
M
2

O
Ｂ

Ａ

1
1
x
2

O
Ｑ

3
，当
2
33
，０）B点的坐 标为（０，－３），Rt△OAB中，可求得ＡＢ＝
5
，
22
3
利用 △OAB的面积可求得斜边ＡＢ上的高为
5
，即为点P到原点的最近距离。
5
∴ A点的坐标为（－
【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运 用点到直线的距离“垂线段最短”，
运用三角形的面积法，得以求得答案。
3.【例3】（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，
BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC
于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
答案：2.4
练习：
.

.
1.（2014•达州）如图，折叠矩形纸 片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别
在AB、BC上（含端点），且AB=6cm， BC=10cm．则折痕EF的最大值是
10

10
cm．
3

考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析：判断出点 F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用
勾股定理列式求出B′D ，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出
AE，在Rt△AB′E中 ，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．
解答：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，
由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，
'2
在Rt△B′DC中，B′D=
BC

CD
2
=
10
2
6
2
=8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8= 2cm，
设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，
在Rt△AB′E 中，AE
2
+AB′
2
=B′E
2
，即（6﹣x）
2
+2
2
=x
2
，解得x=
2
10
， < br>3
10

10

10
2
在Rt△BEF中， EF=
BC
2
BE
2
=
10

=< br>10
cm．故答案为：
10
．
3
33


点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况
并利 用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．
2.如图，△ABC中，∠BAC=60° ，∠ABC=45°，AB=
22
，D是线段BC上的一个动点，以
AD为直径画⊙O 分别交AB，AC于E，F，连接EF．
（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；
.

.
（2）求出该最小值．

解：（1）如图由垂线段的性 质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°， AB=
22
，
∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理 得：∠EOH=
1
∠EOF=
2
2
3

1

∠BAC=60°，∴∠OEH=30°，OE=1，∴在Rt△EOH中，OH=，EH=
1

=，
2
2

2
由垂径定理得：EF=2 EH=
3
．
【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它 到点P（5，5），Q
（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。
Y
P
y
P
Q
O
M
X
Q
O
x

M

P
‘

分析：作P点关于x 的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5） ∴P′（5，－5）
PM=P′Ｍ，连结Ｐ′Q，则Ｐ′Q与x轴的交点应为满足ＱＭ+ＰＭ的值最小，即为Ｍ点
.

.
设Ｐ′Ｑ所在的直线的解析式为： y＝kx +b（k ≠ 0,k、b为常数）,于是有方程组

12kb
55kb
解得：

k1
b5
所以y＝－２x+５
55
当 y＝０时，x＝ ，所以 Ｍ（ ，０）
22
【思路点评】充分运用找点关于线的对称点实 现“折”转“直”，归结到点Ｐ′、Ｑ之间线段
最短，实现问题的解决。
类型2线段和最小
【例1】（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．

考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交 BD于P，连接MP，此时MP+NP的值
最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长 ，证出MP+NP=QN=BC，即可
得出答案．
解答：
解：
作M关于 BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，
.

.
∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定
理的 应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
练习：
1.已知在平面直角坐标系中，C是
x
轴上的点，点
A(0,2)
，
B(3,22)
，则
ACBC
的
最小值是（ ）
A.
42
B. 8 C.
33
D.
32

2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上 ．顶点B的坐标为（3，
3
），点C的坐标为（
1
，0），点P为斜边OB上 的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
2

解：作A关于OB的对称点D， 连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
< br>∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，
3
），∴AB=
3
，OA=3，∠B=60°，由勾
.

.
股定理得：OB =
23
，由三角形面积公式得：
AD=2×
113
×OA×AB=× OB×AM，∴AM=，∴
222
3
=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠ BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
2
1331
∵DN⊥O A，∴∠NDA=30°，∴AN= AD=，由勾股定理得：DN=，
3
，∵C（，0）2222
3
31
13
3)
2
=
∴CN=3﹣﹣ =1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=
1(
，即PA+PC
2
2
22
31
，故选B．
2
3.
如图9,A,B两个村子分 别位于一条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处
的最小值是
才能让由A到B的路程最 短?注意：桥必须与河岸垂直
4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一 座桥MN．桥造在何
处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂 直）


【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l
2
，且BB' 等于河宽，连接AB′交l
1
于点M，作MN
⊥l
1
交l
2
于点N，则MN就为桥所在的位置．
【类比联想】
（1）如图3，正方形ABCD 中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：
AF=EG．
.

.
（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H 分别在AB、BC、CD、AD
上，且EG⊥HF，设y=
【拓展延伸】
如图5，一 架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF
较光滑，梯子的顶端A 下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b
米．
（3）当a=______ 米时，a=b．
（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．
HF
，试求y与x的函数关系式．
EG


（1） 证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．
∵GE⊥AF，∴DH∥GE．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，
四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，

31

在 △ABF与△DAH中，∵

ABAD
∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴A F=GE；

BDAH

（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作 AN∥HF交BC于点N（如图4）．
∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．
.

.
∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM， ∴
ANHFABAB2
,，即y=
；

DMEGDABCx（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC
2
=（4-a）2
+（3+b）
2
，即（4-a）
2
+（3+b）
2< br>=5
2
．当a=b时，有（4-a）
2
+（3+a）
2
=25，解得a=1或a=0（不合）．故
答案为：1；

（4）当0＜a＜1时 ，a＜b．理由如下：如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的
平行线，两线交于点P，连接A P．
∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD．
又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b ，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3
＜ ∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3=
a＜1．
面积问题
1.如图所示，要在底 边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取
一个矩形EFGH，使点H在A B上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交
HG于点M．
（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；
（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
.
OB3OC4a4a3
，∴

；同理sin∠5=

，即0＜
AB5CD555

.


2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD
上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边
形ABCN的面积最大，最大面积为 cm
2
．


3. 如图， 在直角坐标系xOy中,一次函数
y
2
xm
（m为常数）的图像与x轴交于A
3
2
(-3,0)，与y轴交于点C。以直 线
x1
为对称轴的抛物线
yaxbxc
(a,b,c为常数，且a＞0)经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B.
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。
（2）已知在对称轴上是否存在一点P,使得

PBC的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标.
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴 于
点E,连接PD、PE。设CD的长为m,

PDE的面积为S。求S与m之间的 函数关系式。
并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由。





.

.








2
，∴0=2+m，解得
m2
，
xm
经过点A（- 3，0）
3
2
∴直线AC解析式为
yx2
，C（0，
2
）．
3

解：（1）∵
y
∵抛物线y=ax2
+bx+c对称轴为
x1
，且与x轴交于A（-3，0），
∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵抛物线经过 C（0，
2
），∴
2
=a•3（-1），解得a=
，
3

∴抛物线解析式为
y
2
2
2
4xx2
；
33
（2）要使

PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如答图1，
连接AC交
x1
于P点，因为点A、B关于
x1
对称，根据 轴对称性质以及两点之间
线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．
∵A（-3，0）（，0），C（0，
2
），∴直线AC解析式为
yx 2
，
3

∵x
P
=
1
，∴y
P
=







（3）∵设CD的
（0，
m2
），

长为m,

PDE的面
答图2
2
4
，
3
即P（
1
，

4
）．
3
E
D
P
积为S∴D
答图1
∵DE‖PC，直线AC解析式为
y
当y=0时，
x
33
m3
∴D（
m3
，0）
22
.
22
x2
∴设直线DE解析式：
yxm2
33

.
S

PDE
= S

AOC
-S

DOE
-S

PDC
-S

PEA=
1341

3

1
3 m

3m



2m

 m1
2232

2

2

3333
2< br>m
2
m

m1


4244< br>
3
∴当
m1
时有最大值
4

四 利润问题
1.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售
量
y
（万件）与销售单价
x
（元）之间的关系可以近似地看作一次函 数
y2x100
。（利
润=售价—制造成本）
（1）写出每月的利润
z
（万元）与销售单价
x
（元）之间的函数关系式。（2分）
（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？（3分）。当销售单
价为多少元时，厂商 每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3分）
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价 不能高于32元，如果厂商要获得
每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成 本需要多少万元？（3
分）

2.某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本 为18元，试销过程中发现，每月销售
量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次 函数
y2x100
．（利
润=售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价 为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，
厂商每月能获得最大利润？最 大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得 每月
不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
解： （1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x
2
+136x﹣180 0，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x
2
+136x﹣1800；
（2）由z=350，得350=﹣2x
2
+136x﹣1800，解这个方程得x
1
=25，x
2
=43
.

.
所以，销售 单价定为25元或43元，将z═﹣2x
2
+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34 ）
2
+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（ 2）及函数z=﹣2x
2
+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，
当25≤ x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣
2x+1 00中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣
2×32+1 00）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．

综合试题： 1.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、
B两点 ，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得
出了解决这个问题 的正确方法，他的作法是这样的：
①作点A关于直线l的对称点A′．
②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：
（1） 如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，
请你在B C边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．
①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
②请直接写出△PDE周长的最小值
8
．
（2）如图2在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的
两个动点，点E在点F左侧，且EF= 1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定
.

.
点E 、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形
CGEF周长的最 小值．


解：（1）①如图1所示：
②∵点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，∴DE=3，
∵BC边上的高为4，∴DD′=4，∵DD′⊥BC，DE∥BC，
∴DD′⊥DE，∴ED′=
DEDD
=5，
C
△PDE
=D′E+DE=5+3=8；故答案为：8；
2'2

（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，
接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵AB=4，
BC =6，G为边AD的中点，∴DG=AG=AM=3，∵AE∥DH，∴
AEAMAE1
，∴

，
DHDMCDHC3
AE1

, 故AE=1，
33
∴GE=
1
2
3
2
=
10
，BF=2，CF=
CF
2
BF
2
=
2
2
6
2
=
210
，
CG=
CD
2
DG
2
=5，∴C
四边形GEFC
=GE+EF+FC+CG=6+
310
故答案为：6+
310
．

2.(1)观察发现：
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
.

.
做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点 就是所求的点P．再
如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在 AD上找一
点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C 重合，连接CE交AD于一点，则这
点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．
（2）实践运用：
如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是
直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕
迹，不必写出作法．
的中点，在



3.【观察发现】
(1)如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
(2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点
P， 使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一 点，则这点就
是所求的点P，故BP+PE的最小值为_____．
.

.
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别 为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，
若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是___ __．
【拓展延伸】
(1)如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC 于点E．若点P，Q分别是
AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_____；
(2 )如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，
并简要 写出画法．

解：【观察发现】（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴点B与点C关于直线AD对称，BE=
11
AB=×4=2，
22
22
∴BP+PE的最小值=CE=
BC
2
BE
2
=< br>42
=
23
．
故答案为：
23
；
【实 践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，
此时MP+NP的值最 小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB
上，
∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，
.

.
∵四边形ABCD是菱形，∴CO=
11
AC=3，BO=BD=4，在Rt△BPC中，由勾 股定理得：
22
BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5；
【拓展延伸】（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P ′⊥AD于P′，∵
DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP ′D′中，P′D′
2
+AP′
2
=AD′
2
，AD′2
=25，∵AP′=P′D'，2P′D′
2
=AD′
2
，即 2P′D′
2
=25，
∴P′D′=
525252
，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：；
222
（2）如图5所示．
作法：作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所
求．

4.(1)实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50k m，A、B
到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运 送
游客．
现有两种设计方案：
图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为 P），P到A、B的距离之和S
1
=PA+PB，
图②是方案二的示意图（点A关于直 线l的对称点是A’，直接写出S
1
、S
2
的值，并比
较它们的大小 ；
.

.
(2)几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且 ∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB
上各找一点M、N，使△PMN的周长最小,请你说 出做法、画出草图：并求出周长的最小值．

解：（1）

图①中过B作 BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又∵AP=10，
∴BD=BC -CD=40-10=30．在△ABD中，AD=
50
2
30
2
=40，在Rt△PBC中，
∴BP=
CF
2
BF
2
= =
402
，S
1
=
40210

.图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，∴BA'=< br>40
2
50
2
=
1041
，由轴对称知：PA=P A'，
∴S
2
=BA'=
1041
，∴S
1
＞S
2
．
（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P 'P''，与OA
交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，因为PM=MP'，PN= NP''，
故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．连接
OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，

5.阅读并解答下面问题：
.

.
（1）如图所示，直线 l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小．（要
求尺规作图，保留作图痕迹， 不写画法和证明）
（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC 为1km，
B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河
堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建
在距 C地多远的地方？
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题： 若
yx
2
1(9x
2
)4
，当x为何值时，y的 值最小，并求出这个最小值。

（1）（2分）

解：（1）如图：；
（2）由（1）知：A′与A关于CD对称，点P为污水处理厂的位置，由题知：AC=1，
'
ACPC
1x
BD=2，CD=6，设PC=x由△A′CP∽△BDP得
∴

解得x=2， ∴污水处理

BDPD
26x
厂应建在距C地2km的河堤边。
（3）设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x则PA′=
y
由（2）知，当A′，P， B共线时，PA′+PB=y最小这时，
x
2
1
，PB=
y(9 x
2
)4
x1

，解得x=3当x=3时，
9x2< br>yx
2
1(9x
2
)4
值最小
.

.
最小值为
310
。

6.已知直线l 和l外两点A、B，点A、B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且
使PA+PB最短．

（2）平面直角坐标系内有两点A（2,3），B,4,5），请分别在x轴，y轴上找两点 P,P’,
使AP+BP最小，
BP
'
AP
'
最大，则< br>P,P
的坐标分别为 ， 。
（3）①代数 式
x
2
8x41x
2
4x13
的最小值是 ，此时 ；
．
②代数式
x
2
8x41x< br>2
4x13
的最大值是 ，此时 . ．
（4）在直角坐标系中，有四点A（-8,3），B(-4,5），C(0,n），D(m,0） ，当四边形ABCD
周长最短时,
'
m


.
．
n
7.【观察发现】
（1）如图1，若点A、B在直线
l同侧，在直线
l
上找一点P，使AP＋BP的值最小．
作法如下：
作 点B关于直线
l
的对称点B′，连接AB′，与直线
l
的交点就是所求的点P ．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD
上找一点P，使BP＋PE的值最小．
作法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重 合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求
的点P，故BP＋PE的最小值为 ．



.

.

【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边B C、CD的
中点，若点P是BD上的动点，则MP＋PN的最小值是_____．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E． 若点P，Q
分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是___ ___
（2）如 图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画
图痕迹，并简要写出 画法．










A
BD
C
图5
.