贵州望谟县-品牌转让协议书

中考数学几何最值问题解法
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动 时，求某几何量（如线段的长度、图形的周
长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问 题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应 用三角形的三边关系）
求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值；
（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法 。
应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值
典型例题：
例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】
A．
21
B．
5
C．
145
5
5 D．
5
2< br>例2.在锐角三角形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M 、N分别是BD、
BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。
例3.如图， 圆柱底面半径为
2cm
，高为
9

cm
，点A、B分别是圆 柱两底面圆周
上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线
最短为
cm
。

例4. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是
．
练习题：
1. 如图，长方体的底面边长分别为2
cm
和4
c m
，高为5
cm
.若一只蚂蚁从P点开始经
过4个侧面爬行一圈到达Q点，则 蚂蚁爬行的最短路径长为【 】
A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm
2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直 径，高BC=6cm，点P是母线BC上一
点，且PC=
2
BC．一只蚂蚁从A点出发 沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】
3

A、
(4
6

)
㎝ B、5cm C、
35
㎝ D、7cm
3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、 F、G分别为AB、AC、BC的中点，
点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周 长的最小值是 _ ．
二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：
例1. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值
是 ．
例2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD， BD上的任意一点，则PK+QK
的最小值为【 】
A． 1 B．
3
C． 2 D．
3
＋1
例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
< br>问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相
等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四 边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最
小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理 由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四 边形PCQE，请探
究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说 明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)， 以PE、PB为边作平行四
边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出 最小值，如果不存在，请说明理
由．

例4. 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直 线
yx
上运动，当线段AB最
短时，点B的坐标为【 】
A.（0，0） B.（

11
，

）
22
B. C.（
2222
，

） D.（

，

）
2
222
F分别
DE、 DF、
例5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、
在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接
EF．在此运动变化的过程 中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
．

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点 M，线段
BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如 图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧
纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边
形 纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm．
例7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC 、BC边上运动（点E不
与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化 的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变
化；
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例8. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45 °，AB=2
2
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画
⊙O分别交AB，AC 于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
例9. 如图所示，在菱形AB CD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD
上 滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC ．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面
积是否发生变化？如果不变，求出这个定值； 如果变化，求出最大（或
最小）值．






例10.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向 旋转，得到△A
1
BC
1
．
（1）如图1，当点C
1在线段CA的延长线上时，求∠CC
1
A
1
的度数；
（2）如 图2，连接AA
1
，CC
1
．若△ABA
1
的面积为4，求 △CBC
1
的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点 ，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，
点P的对应点是点P
1
，求线段EP< br>1
长度的最大值与最小值．
．

例11. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC
上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添
加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的 字母和辅助
线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

练习题：
1. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】
A、1 B、2 C、3 D、4
2.如图，等腰梯形ABCD中 ，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与 AB交于一点E，MC（即
MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究< br>△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，
请计算出△AEF周长的 最小值．






3.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，
PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】
A．
13
B．
5
C．3 D．2
4.如图，在四边 形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若
P是BC边上一 动点，则DP长的最小值为 ．
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC：BC=4：3，点P从点A
出发沿AB方向向点B运动，速度为1cms，同时点Q从点B 出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cms，
当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停 止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积 为y（cm），当△PBQ存在时，
求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（ 3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC
是否相似，请说 明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出 最小周长，若不存
2

在，请说明理由．





三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如 图，圆柱形玻璃杯高为12cm、
底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 cm．
例2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD 上分
别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
例3. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直
角坐标系如图 所示．若P是x轴上使得
PAPB
的值最大的点，Q是y轴
上使得QA十QB的值最 小的点，则
OPOQ
＝ ．

例4. 如图，正方形ABCD中 ，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，
则PE+PB的最小值为 ．

例5. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA
＋PB的最小值是 。

例6. 阅读材料：
例：说明代数式 x
2
1(x3)
2
＋4
的几何意义，并求它的最小值．
解：
x
2
1(x3)
2
4 (x0)
2
1
2
(x3)
2
2
2
，如图，建立平 面直角坐标系，点P（x，0）

是x轴上一点，则
(x0)
2
1
2
可以看成点P与点A（0，1）的距离，
(x3)
2
2
2
可以看成点P与点B
（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB 长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， 因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，
而点A′、B间的直线段距离最短，所以 PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，
因为A′C=3，CB= 3，所以A′B=3
2
，即原式的最小值为3
2
。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式
(x1)
2
 1(x2)
2
9
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1 ）、点B
的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式
x
2
49x
2
12x37
的最小值为 ．
例7. 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图（1 ），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，
可使所用的输 气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在
l
上找几个 点试一试，能发现什么规
律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题 的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），
问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与 BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ ABC中，点D、E分别
是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定< br>一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

练习题：
1. 如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为 ．
2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ 时，AC
＋BC的值最小．

3. 去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱， 某乡镇为了解决抗旱问题，
要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘
查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直
线为
x< br>轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最
短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？





4. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若 点P、Q分别是AD
和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】
A、2 B、4 C、
22
D、
42

5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小
值是 【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平< /p>

分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+ PB的最小值是 ．

四、应用二次函数求最值：典型例题：
例1. 正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保
持A M⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为
cm．

例2. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、B C为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三
角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 ．

例3. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重 合），过点P作AP⊥PE，垂足为
P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为 y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，
y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.





例4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E， 设∠ABC=α（60°≤α
＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在 ，求出k的值；若不存在，请说明
理由．
②连接CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值．


22
2

例5. 等边△ABC的边长 为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边
△APD和等边 △APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
3
①若，BM=，求x的值；
8
②记四边形 ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，
求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连 接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图
2），当x取何值时，∠BAD=15？并判断此时以
DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。







例6. 如图，已知半径为2的⊙O与直线l相 切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线
l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D ，连接PA、PB，设PC的长为
x

2
.
⑴当
x=
时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，
PDPC
的值最大？最大值是多少？





P
O
D
C
A
l
B
0
5
2

例7. 如图所示，现有一张边 长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重
合）将正方形纸片折叠 ，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设 AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，
求 出这个最小值；若不存在，请说明理由．






例8. 如图，正三角形ABC的边长为
3+3
．
（1）如图①，正方形E FPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A
为位似中心，作 正方形EFPN的位似正方形
E'F'P'N'
，且使正方形
E'F'P'N'
的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形
E'F'P'N'
的边长；
（3）如图②， 在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在
边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．






例9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米 ，AC=12米．M点在
线段CA上，从C向A运动，速度为1米秒；同时N点在线段AB
上， 从A向B运动，速度为2米秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．




例10. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA 方向向点A作匀速直线运
动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点 O作匀速直线运动，速度为
每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜
（1） 当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（ x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则新坐 标（x
2
﹣x
1
，y
2
﹣y
1
）称为“向 量PQ”的
坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．






例11. 如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm ，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，
同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速 运动，它们的速度均为2cms．连接PQ，设运动的时间为t（单位：
s）（0≤t≤4）．解答下列 问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻 t，使四边形AQPQ′为菱形？
若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
2
10
）秒．解答如下问题：
3

例12. 如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4c m，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方
向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边B C上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，
△PBQ的面积为y（cm）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.





例13. 如图，在△ABC中，已知AB=A C=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC
重合在一起，△ABC不动，△AB C不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、
始终经过点A，EF与 AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中， 重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明
理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．







例14. 在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直 角顶点放在点M处，以
2

M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△P OQ的两直角边分别交于点A、B，
(1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋 转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不
存在。请说明理由。





例15. 某玩具由一个圆形区域和一个扇形区 域组成，如图，在
eO
1
和扇形
O
2
CD
中，eO
1
与
O
2
C
、
O
2
D< br>分别相切于A、B，
CO
2
D60
，E、F事直线
O< br>1
O
2
与
eO
1
、扇形
O
2
CD
的两个交点，EF=24cm，设
eO
1
的半径为x cm，
C
① 用含x的代数式表示扇形
O
2
CD
的半径；
② 若
eO
1
和扇形
O
2
CD
两个区域的 制作成本分别为0.45元
cm
和0.06元
2
A
E
O1
B
O
2
F
D
cm
2
，当
e O
1
的半径为多少时，该玩具成本最小？





例16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E 在线段DC上，DE=4，△DEF是等边
三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五 边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；
当x为何值 时，y有最大值？并求y的最大值．

练习题：
1. 在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点 M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重
合），且MN∥BC．将△AMN 沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？ （2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值 时，y
的值最大，最大值是多少？





2. 如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9， 点E是CD上的一个动点(E不
与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，E F与AC重合)．把△DEF沿EF对折，点D
的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD 重叠部分的面积为y。
(1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值
是多少?






3. 图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对 称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点

（不与端点重合），点O 到EF，MN的距离分别为
h
1
，
h
2
，△OEF与△OG H组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以M Q为直径的圆重合时，求
h
1
与
h
2
满足的关系式，并求< br>h
2
的取值范围。





4. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，
＝t（ 0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB
E，过M作M F⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求
出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．





5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。
点E、F 同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速
向点A、B匀速运动，点E到达点
A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E
随之停止.在点E、F运动过程中 ，
以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为
t
秒（
t
＞0），正
方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
（1）当
t
＝1时，正方形EFGH的边长是 ；
当
t
＝3时，正方形EFGH的边长是 ；
（2） 当0＜
t
≤2时，求S与
t
的函数关系式；
也
度
设DQ
于点

（3） 直接答出：在整个运动过程中，当
t
为何值时，S最大？最大面积是多少？
．．．．．．．


F
AC
P


BED
N
6. 如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线 段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方
形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥ BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
F
A
D
P
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面
B
E
C
N
积为
y． 1 2
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．




五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.如图 ．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，
将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至 △A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的
最短路线的长为【 】
A、
43cm
B、
8cm
8cm C、
16

cm

3
D、

cm

8
3
例2. 如图，已知 线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP
的最大值是【 】
A．30° B．45° C．60° D．90°
例3. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，
则AP长不可能是【 】
A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7
例4. 如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=
5
．
13
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的
面积S
△ABC
= ；
拓展：如图2，点D在AC 上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，

AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S
△ABD
=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S
△ABD
及S
△CBD
；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你 确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个
最小值．






例5. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考
如图1 ，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ．
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为
止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N到CD的距离是 ．
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对 α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60° 时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=
333
，cos41°=，tan37°=．）
444

例6. 在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于 BC，折叠三角形纸片
ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动 时，折痕的端点M、N也随之
移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最 大值与最小值之和为 ▲ （计
算结果不取近似值）．






例7. 如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（ 含端点）上，落点记为E，这时折痕与边
BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E 、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折
痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD 的中点时，画出这
个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明
理由，并求出此 时点E的坐标？若不存在，为什么？

图① 图② 图③ 图④

例8. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙
光路与环城 路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路
程约为【 】 A、600m B、500m C、400m D、300m
例9. 如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的 边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆
心（用尺规作图，保留作图 痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ ABC的两条边相切．设⊙P的面积为
S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若 不能，请你说明不能确定S的最大值的
理由．







例10. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线 长、线与地面夹角如表（假
设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是( )
同学
放出风筝线长
线与地面夹角
甲
140m
30°
乙
100m
45°
丙
95m
45°
丁
90m
60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例11. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，
旋转角为< br>
(0°＜

＜180°)，得到△A
1
B
1
C．
(1)如图1，当AB∥CB
1
时，设A
1
B
1< br>与BC
相交于点D．证明：△A
1
CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA
1
、BB
1
，设△ ACA
1
和△BCB
1
的面积分别为S
1
、S
2< br>．求证：S
1
∶S
2
＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中 点为E，A
1
B
1
的中点为P，AC＝a，连接EP．当

＝ °
时，EP的长
度最大，最大值为 ．

例12. 已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，
切点为B，则线段AB的长度的最小值为【 】
A．1 B．2 C．3 D．2
例13. 在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处． 如图1，已知点A在O的正西方600cm处，
B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其 右侧(AO下方)区域的速度为20cm秒，在射线AO的左
侧(AO上方)区域的速度为10cm秒．
(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处 ，机器人沿A→P→B
路线行进所用时间最短．(3分)
(参考数据：
2
≈ 1.414，
3
≈1.732，
5
≈2.236，
6
≈2. 449)





例14. 如图，已知⊙O的半径为 2，弦BC的长为2
3
，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除
外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：
sin60
o


33
3
，
cos30
o

，
tan30
o

.）
3
22