快速缓解痛经的小妙招-德国留学语言

几何最值问题解法一
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某 几何量（如线段的长
度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为 最值问
题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应 用三角
形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；
（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例
探 讨其解法。
应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值
典型例题：
例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM ，ON
上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB= 2，
BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．
21
B．
5
C．
【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE =AE=
DE=

145
5
5 D．
5
2
1
AB=1。
2
AD
2
AE2
1
2
1
2
2
，
∴OD的最大值为：
21
。故选A。

例2.（2012湖 北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，< br>M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。

【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段 的性质，锐
角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=< br>42
，∠ABC=45°，∴CE的最小值为
42
sin45=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为
2cm
，高为
9

cm
，点A、B分别是圆
柱两底面圆周 上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求
棉线最短为 ▲
cm
。
0

【答案】
15

。
【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。
【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线 最短是三条斜线，第一条斜线与底面

圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周 长为
4

cm
，高为
3

cm
，根据勾< br>股定理，得斜线长为
5

cm
，根据平行四边形的性质，棉线最短为< br>15

cm
。
例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，A B＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的
取值范围是
▲ ．
【答案】1＜AD＜4。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。
【 分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，
再根据三角形的三边关系即可求解：
延长AD至E，使DE=AD，连接CE。
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB。
在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。
∴1＜AD＜4。
练习题：
1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面 边长分别为2
cm
和4
cm
，高为5
cm
.若一
只 蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】
1
3
1
3

A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm
2.（2011四川 广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，
点P是母线BC上 一点，且PC=
最短距离是【 】
2
BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的
3

A、
(4
6

)
㎝ B、5cm C、
35
㎝ D、7cm
3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2 的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、
AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接B P、GP，则△BPG的周长的最小值是 _
▲ ．

二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC
中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ．

【答案】
24
。
5
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。
设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得

B P
2
AB
2
AP
2
，BP
2
 BC
2
CP
2
。
∴
AB
2
AP
2
BC
2
CP
2
，即
5
2
x
2
6
2


6x

，解得
x=
。
2
7
5
57624
24

7< br>
∴
BP5

=
。
=
，即BP的 最小值是
255
5

5

2
2
例2.（2 012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线
段B C，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

A． 1 B．
3

【答案】B。
C． 2 D．
3
＋1
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的 性质，矩形的判定
和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对
称点P< br>1
，连接P
1
Q，交BD于点K
1
。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P
1
K
1
= P K
1
，P
1
K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P
1
K＋QK＞P
1
Q= P
1
K
1
＋Q K
1
= P K
1
＋Q K
1
。
∴此时的K
1
就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动， 根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P
1
在AB上，即不论点
P在BC上任一点， 点P
1
总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中 垂直线段最短的性质，得，当P
1
Q⊥AB
时P
1
Q最短。
过点A作AQ
1
⊥DC于点Q
1
。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q
1
=30°。
又∵AD=AB =2，∴P
1
Q=AQ
1
=AD·cos300=
2
3< br>3
。
3
综上所述，PK+QK的最小值为
3
。故选B。
例3.（2012江苏连云港12分 ）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB
＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，
DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ
的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边 作平行四边
形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存 在，
请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nP A(n为常数)，以PE、PB
为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？ 如果存在，请求出最小
值，如果不存在，请说明理由．
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°。
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2
2
。
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD＋PC＝DC，即x＋3＋(2－x )＋1＝8，化简得x－2x＋3
＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。
∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：存在。理由如下：
如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。
∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。
又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。
∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：存在。理由如下：
如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD＝DE，∴
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
22222222
DGPD1
=
。
GCCQ2

< br>同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴
∵AD＝1，∴CH＝2。∴ BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴
∴G是DC上一定点。
ADPD1
=
。
CHCQ2
PAAG1
。
= 
BQBGn+1
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的
延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°
∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴
ADPA1
，
=BHBQn+1
∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。
∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。
∴CK＝CH•cos45°＝
2
(n＋4)，
2
2
(n＋4)。
2
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为
【考点】反证法，相似 三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定
和性质，勾股定理，平行四边形、矩 形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若 对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩
形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x＋3 ＋(2－x)＋1＝8，由判别式△＜0，
可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，P D＝DE，可得
Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
222< br>DGPD1
=
，易证得
GCCQ2

问题4：作QH∥ PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易
证得
ADPA1< br>与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，
=
BHBQn+1
继而可求得CK的值，即可求得答案。
例4.（2012四川广元3分） 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线
yx
上运动，当
线段AB最短
时，点B的坐标为【 】

A.（0，0） B.（

2
222
11
，

） C.（，

） D.（

，

）
222
2
22
例5.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC= BC=4，D是AB的中点，点E、
F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持A E=CF，连接DE、DF、EF．在
此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是【 】
．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点 时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=
2
EF。
1
BC。
2

当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2
2
。此时点C到线段EF的最
大距离为
2
。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
例6.（2012四川成都4分 ）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进
行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片E BC(余下
部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片 剪成两部分，并在线段GH上任意取
一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成 两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与 GE重
合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三< br>角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm．
【答案】20；12+
413
。
【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。
【分析】画出第三步剪 拼之后的四边形M
1
N
1
N
2
M
2
的示意 图，如答图1所示。
图中，N
1
N
2
=EN< br>1
+EN
2
=NB+NC=BC，
M
1
M
2
=M
1
G+GM+MH+M
2
H=2（GM+MH）=2GH=B C（三角形中位线定理）。
又∵M
1
M
2
∥N
1
N
2
，∴四边形M
1
N
1
N
2
M
2
是一个平行四边形，
其周长为2N
1
N
2
+2M
1
N
1
=2BC+2MN。
∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小。

如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。
过G、H点作BC边的平行线，分 别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个
矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
∴根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值
为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即
PB
2
BC
2
4
2
6
2
213
。
∵四边形M
1
N
1
N
2
M
2
的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴四边形M
1
N
1
N
2
M
2
周长 的最小值为12+2×4=20；最大值为12+2×
213
=12+
413
。
例7. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是A B的中点，点
E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接D E、DF、EF．在
此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是【 】
．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。

故此结论正确。
②当E、F分别为 AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=
2
EF。
当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2
2
。此时点C到线段EF的最
大距离为
2
。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
例8. （2012浙江宁波3 分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2
2
，D是
线 段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长
度的最 小值为 ▲ ．
1
BC。
2

【答案】
3
。

【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定 理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊
角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知 ，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段
EF=2EH=20E•sin∠EO H=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过
O点作OH⊥E F，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2
2
，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
1
∠EOF=∠BAC=60°，
2
33
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×。
=22
由圆周角定理可知∠EOH=
由垂径定理可知EF=2EH=
3
。
例9. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°， △AEF为
正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC ．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？
如果不变，求出这个定值； 如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S
△ABE
=S
△ACF
。 < br>∴S
四边形AECF
=S
△AEC
+S
△ACF
=S
△AEC
+S
△ABE
=S
△ABC
，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
11
S
四边形
AECF
S
ABC
BCAHBCAB
2
BH
2
 43
。
22
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的
面积会最小，
又S
△CEF
=S
四边形AECF
﹣S
△AEF
， 则此时△CEF的面积就会最大．
1
∴S
△CEF
=S
四边形AE CF
﹣S
△AEF
4323
2
∴△CEF的面积的最大值是
3
。

23



3

22
3
。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和 性质，勾股定理，垂
直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，
从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△A BE≌△ACF可得S
△ABE
=S
△ACF
，故根据S
四边形AE C
F=S
△AEC
+S
△ACF
=S
△AEC
+S
△AB
E=S
△ABC
即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AE F的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF
的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正 三角形AEF的面积会最小，根据S
△CEF
=S
四边形AECF
－S
△AEF
，则△CEF的面积就会最大。
例10.（2012浙江义乌10分）在锐角△A BC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B
按逆时针方向旋转，得到△A1
BC
1
．
（1）如图1，当点C
1
在线段CA的延 长线上时，求∠CC
1
A
1
的度数；
（2）如图2，连接AA1
，CC
1
．若△ABA
1
的面积为4，求△CBC
1
的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向
旋转过程中，点P的对应点是点P
1
，求线段EP
1
长 度的最大值与最小值．

【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1
C
1
B=∠ACB=45°，BC=BC
1
，
∴∠CC
1
B=∠C
1
CB=45°。
∴∠CC
1
A
1
=∠CC
1
B+∠A
1
C
1
B=4 5°+45°=90°。
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A
1
BC
1
，
∴BA=BA
1
，BC=BC
1
，∠ABC=∠A
1
BC< br>1
。
∴
BA
BA
1
，∠ABC+∠ABC
1
=∠A
1
BC
1
+∠ABC
1
。∴∠ABA1
=∠CBC
1
。

BCBC
1
∴△ABA
1
∽△CBC
1
。∴
S
ABA
1
SCBC
1

AB

4

16
。





25

CB

5

22
∵S
△ABA1
=4，∴S
△CBC1< br>=
25
。
4
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=
5
2
。
2
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋
转，使点P的对应点P
1
在线段AB上时，EP
1
最小。
最小值为：EP
1
=BP
1
﹣BE=BD﹣BE=
5
2
﹣2。
2
②如图2，当P 在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使
点P的对应点P
1
在线段AB的延长线 上时，EP
1
最大。
最大值为：EP
1
=BC+BE=5+2=7。
【考点】旋转的性质，等腰 三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质。

【分析 】（1）由旋转的性质可得：∠A
1
C
1
B=∠ACB=45°，BC=BC
1
，又由等腰三角形的性质，
即可求得∠CC
1
A
1
的度数。
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A
1
BC
1
， 易证得△ABA
1
∽△CBC
1
，利用相似三角形
的面积比等于相似 比的平方，即可求得△CBC
1
的面积。
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D， △ABC绕点B旋转，使点P的对应点P
1
在线
段AB上时，EP
1
最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P
1
在线段AB的延 长线上时，EP
1
最大，即可求得线段EP
1
长度的最大值与最小值。
例11. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接A D、
DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加 其他字母和辅助线，找结论过程中
添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴
AC
22
BC22
。
22
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
AD
2
AD
2
2

∴AD：AC=AE：AD，∴
AE
AD
2
。
AC
2
2
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=
∴AE的最小值为
1
BC=1。
2
2
2
222
。∴CE的最大值=
2
。
1
2222

②当AD=AE时，∴∠ 1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合，不合题意舍去。
当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。
∴DC=CA=
2
。∴BD=BC－DC=2－
2
。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或
2－
2
。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】 （1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C
得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 < br>（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则
AC
22< br>BC22
，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得
22
AD
2
AD
2
2

△ADE∽△ACD，则有AD ：AC=AE：AD，即
AE
AD
2
，当AD⊥BC，AD最
A C
2
2
小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。
②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。
练习题：
1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个
动点 ，若PA=2，则PQ的最小值为【 】

A、1 B、2 C、3 D、4
2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=A B=CD=2，∠C=60°，M是
BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形； < /p>

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′） 同时与AD交
于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果 不存在，
请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

3.（201 1浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l
上的一个动点，
PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】

A．
13
B．
5
C．3 D．2
4.（2011河 南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若
P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ▲ ．

5.（2011云南昆明 12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P
从点A 出发沿AB方向向点B运动，速度为1cms，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向
点A运动，速度 为2cms，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm），当△PBQ存在时，求y与x的< br>函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点 B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，
请说明理由；
2

（ 4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小
周长，若 不存在，请说明理由．

三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东 青岛3分）如图，圆柱
形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁
到达蜂蜜 的最
短距离为 ▲ cm．

【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如 图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长
18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的 对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt △BCD中，由勾股定理得
BCDC
2
BD
2
9
2< br>12
2
15
。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2. （201 2甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在
BC、CD 上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作
出A关于B C和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得
出∠AMN ＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A ″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线A H。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD ＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°
＝120°。
故选B。
例3. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，
建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得
PAPB
的值最大的点，Q是y轴上使得QA十 QB的
值最小的点，
则
OPOQ
＝ ▲ ．

【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质 ，三角形三边关系，待定系数法，直线
上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交 x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点
Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得 出结论：
连接AB并延长交x轴于点P，
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。
∵点B是正方形ADPC的中点，
∴P（3，0）即OP=3。
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小
值。
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，
1

k


2kb
55

3
则

，解得

。∴Q（0， ），即OQ=。
33

12kb

b
5

3

∴OP•OQ=3×
5
=5。
3
例4. （ 2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角
线AC上 一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．

【答案】
25
。

【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，
DE=CD
2
+CE
2
4
2
+2
2
25
。
例5. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN
于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB 的最
小值是
▲ 。

【答案】142。
【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。
【分析】∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝OB－BD＝10－6＝8。
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝OA－AC＝10－8＝6。
∴CD＝8＋6＝14。
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋P B的最小值，B′D＝
BD＝6，过点B′
作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝AE＋B′E＝14＋14＝142。
例6. （2012湖北十堰6分）阅读材料：
2222
2222
2222

例：说明代数式
x2
1(x3)
2
＋4
的几何意义，并求它的最小值．
解：
x
2
1(x3)
2
4 (x0)
2
1
2
(x3)
2
2
2
，如图，建立平 面直角坐标系，
点P（x，0）是x轴上一点，则
(x0)
2
1
2
可以看成点P与点A（0，1）的距离，
(x3)
2
2
2可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，
它的 最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋ PB的最小值，只需求PA′＋
PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的 最小值为线段A′B的长
度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B =3
2
，即原式的最小值
为3
2
。

根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式
(x1)
2
 1(x2)
2
9
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点
A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式
x
2
49x
2
12x37
的最小值为 ．
【答案】解：（1）（2，3）。
（2）10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）∵原式化为
( x1)
2
1
2
(x2)
2
3
2
的形式，
∴代数式
(x1)
2
1(x2)
2
9
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，
0）与点A
（1，1）、点B（2，3）的距离之和。
（2）∵原式化为
(x0)
2
7
2
(x6)
2
1
2
的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、

点B（ 6，1）
的距离之和。
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。
∴
AB AC
2
BC
2
 6
2
8
2
=10
。
例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图 （1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管
道的什么地方，可使所用 的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在
l
上找 几个点试一试，
能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个 问题的正确办法．他把管道l看成一条直线
（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使A P与BP的和最小．他的做法是这
样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，
BC边上的高为4，请你在BC边上确定一 点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）8．
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析 】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称
点D′，连 接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。
∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。
∴
DEDE
2
DD
2
 3
2
4
2
5
。
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。
练习题：
1. （20 11黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则
△ABP的 周长的
最小值为 ▲ ．

2. （2011辽宁营 口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另
取一点C(a，1)， 当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．

3.（2011山东济宁8分）去冬今春 ，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗
旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的 同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，
工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河 道所在的直线为
x
轴建立直角坐
标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（ 12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

4 .（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若
点 P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】

A、2 B、4 C、
22
D、
42

5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F 是
边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中 ，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边
AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6
7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，A B=6，对角线AC
平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点， 则PE+PB的最小值是 ▲ ．