十堰市职业技术学院-中国共产问责条例

探讨几何最值问题的解法

知识点：
教材中哪些结论与线段长度最短有关
一、两点之间，线段最短。
二、连结直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。
下面就知识点一进行学习探究.
基本图形：两点一线型，一点两线型，两点两线型
基本方法：对称或平移
基本思想：化折为直(本质是转化思想)
题型一：两点一线型
教材原型：七年级下P228
如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，< br>奶站修在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
数学问题：（1）在直线l上找点P，使PA+PB值最小
方法：作对称化同侧为异测
依据：两点之间，线段最短
思想：化折为直
利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：
【关联题1】(2007山西中考数学) 如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、
Q两地 到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q
两地供水，现有如下 四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）．




(第20题图)
Q

P

l

P

M

A
l

Q

P

M

B

l

C

Q

P

M

l

D

Q

P

M

l

Q

变式1：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千
米 、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，并从点M直接向P、Q两地供水，现有
如下四种铺设方 案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）．
第3页 共5页

Q

P

l

(第20题图)
Q

P

M

A
l

P

M

B

l

C

Q

P

M

l

D

Q

P

M

l

Q




变式2：如图，直线l是一条河，P、Q两地相 距10千米，P、Q两地到l的距离分别为2
千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P 、Q两地供水，现有如下四种铺
设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）．
Q

P

l

(第20题图)
M

A
l

P

M

B

l

C

Q

P

M

l

D

Q

P

M

l

Q

Q

P


【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在
⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值
为（ ）



析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结
OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，
即△AOB＇为等腰Rt△，故 。
【关联题3】（2008 年湖北黄石市中考题）
如图4，在等腰⊿ABC 中，∠ABC=120°，点P 是底边AC 上一个动点，M、N 分别
是AB、BC 的中点，若PM+PN 的最小值为2，则⊿ABC 的周长是（ ）


析解：把等腰⊿ABC 沿AC 翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，PM+PN
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的最小值就是菱形的边AB 的长，故AB=2，由AB=BC=2，∠ABC=120°易求得 ，因此⊿ABC
的周长是( )。
【关联题4】（威海市2009 年中考题）
如图5，在直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），
过A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线l，D 为对称轴上l 一动点，(1)求抛物线的解析
式；

(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；
(3) 以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A，①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与
⊙A 相切。
②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标。
析解：（1）可设y=a(x+1)(x－3)，再代入点C 坐标，即可求得y=－x2+2x+3。
（2）利用点A、B 关于直线l：x=1 对称，连结BC 交l 于D，则此时AD+CD 取得
最小值；设l与x轴交点为E，由⊿BED∽⊿BOC 可求得DE=2，BD=2姨2 =AD，所以D 的
坐标为(1，2)。
（3）①如图6,连结AD，由点A、B、D、E 的坐标易知⊿ADE 和⊿BDE 均为等腰Rt△，
故∠ADE=∠BDE=45°所以∠ADB=90°，所以直线BD 与⊙A 相切。
②由对称性知点D 的另一个坐标是（1，－2）。
【关联题5】（2008 年湖北荆门市中考题）
如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，
点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．

析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中
点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别
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为边AD、BC 的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。
【关联题4】（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形AB CD的顶点
A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，
矩 形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O
的最大距离为【 】
A．
21
B．
5
C．
145
5
5 D．
5
2
【答案】A。【考点】矩 形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股
定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，∴当O、D 、E三点共线时，点D到点O的距
离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=
DE =


上述源命题还可作进一步引申：
【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景
点A 到河边（直线l）走一段（长度为已知线段a）
再到景点B，怎么走最近？
析解：如图7，本题的关键是确定直线l 上
的两点D、E，因DE=a 为定长，故只需AE+BD 为
最小即可；作线段AC∥l且AC=a，作点C 关于
直线l 的轴对称点C＇，连接C＇B 交直线l 于
点D，在直线l 上截取DE=a，连接AE，则小明
应走的路线是AE→ED→ DB。理由是：连接CD，则
CD=AE=C＇D，因DE=a 为定长， 故只须AE+BD(=CD+BD)
最小即可。
【关联题1】已知平面直角坐标系内两点A（2，－3），
B（4，－1）,
(1)若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则
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1
AB=1。
2
AD
2
AE
2
1< br>2
1
2
2
，∴OD的最大值为：
21
。故选A 。

当a=_____时，四边形ABCD的周长最短。
（2）设M、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，是否存在这样的点M（m，0），N（0，
n）, 使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m、n 的值；若不存在，请说明理由。

析解：（
1
）如图
8
，本题中
AB
和
C D
（
a+3
－
a=3
）均为定长，故只需
AC+BD
取最
小值即可；

平移点
A
到
A1
，使
AA1=CD=3
，作点
A1
关于
x
轴的对称点
A2
，连结
A2B
交
x
轴于
D
，作
AC
∥
A1D
交
x
轴于点
C
，由上述
“
引申题
”
结论知此时
AC+B D
取得最小值；
求得直线
A2B
的解析式为
y=4x
－
17
，可
得



（
2
）如图
9
，本题中
AB
为定长，分别作点
A
、
B
关于
y
轴、
x
轴点对称点
A1
、
B1
，
连接
A1B1
交
x
轴于
M
，交
y
轴于
N
，则 根据上述
“
源命题
”
的结论，
M
、
N
为所求的点；易
得直线
A1B1
的解析式为

，令
y=0
得


拓展：在直线l上找点P，使PA－PB绝对值最大
（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A =60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点 ，则PE+PF的最小值是 3 ．
考点： 轴对称－最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质．
分析： 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进
而求出 即可． 解答： 解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，
此时PE+PF最小， 连接BD， ∵菱形ABCD中，∠A=60°， ∴AB=AD，则△ABD是等
边三角形， ∴BD=AB=AD=3， ∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1， ∴PE=1，DF=2， ∴PE+PF
的最小值是3． 故答案为：3
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题型二：一点两线型
（2009年漳州中考）如图8，
分别是和上的动点，求
关于
上时，
，
。 则
、
，是内一点，，、
周长的最小值。
的对称点、，连接，则，解析：分别作
当、
∵
∴
在线段周长最小，

周长的最小值为
题型三：两点两线型（架桥问题）
教材原型：八年级上P95如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，
计划在河上修 一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
两点两线型（马吃草喝水问题）









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练习：1.已知：∠MON=30°，A在OM上，OA =2，D在ON上，OD=4，C是OM上一点，
B是ON上一点，则折线ABCD的最短长度为___ _.
(2
5
)

2.（2012甘肃兰州4分）如图，四边形A BCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、
CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，
作出A关于B C和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出
∠AMN ＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A ″，连接A′A″，交BC于
M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线A H。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。< br>∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A ″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M ＋∠A″)＝2×60°＝120°。
故选B。
3.抛物线上的动点问题（2010江苏南通 ，28，14分）已知抛物线y＝ax
2
＋bx＋c经过A（－
4，3）、B（2，0 ）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点
C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理
由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax
2
＋bx ＋c上的动
点，当
△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．


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y
4
3
2
1
－
4
－
3
－
2
－
1
O
－
1
－
2
－
3
－
4
1
2 3
4
x

【分析】 （1）由条件，利用待定系数法求解.（2）依题意可由勾股定理求出圆的半径，
进而利用直线与圆的关 系求解.（3）由（2）可进一步求解.
【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax
2
＋b x＋c，得
1

16ac3,
a,


解得
4




4ac0.

c1.
∴这条抛物线的解析式为y＝
1
2
x
－
1.
4
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b ，得
1


4kb3,

k,
解得

2


2kb0.


b1.
∴这条直线的解析式为y＝－
22
1
x+1.
2
（2）依题意，OA=
345.
即⊙A的半径为5.
而圆心到直线l的距离为3+2=5.
即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，
∴直线l与⊙A相切.
（3）由题意，把x=－1代入y=－
1
33
x+1，得y=，即D（－1，）.
22
2
由（2）中点A到原点距离跟到直线y =－2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动
点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线 l于H，交抛物线于点P，此时易得
DH是D点到l最短距离，点P坐标（－1，－
317）此时四边形PDOC为梯形，面积为.
48
【涉及知识点】一次函数、二次函数、四边形、圆等.
【点评】这是一道比较常 见的压轴题，求解时也容易找到切入点，只是要能灵活运用所
学的知识，注意思想方法的运用.



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