感恩节祝语-方程的意义

初中数学线段最值问题
---中考专题
在平面几何的动态问题中，当某几何 元素在给定条件变
动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角
的度数以及它们的 和与差）的最大值或最小值问题，称为最
值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（ 1）应用两点
间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）
应用垂线段最短的 性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最
值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值 。


第一部分:开篇---几何模型
第一部分：两条线段的和与差的最值
（1）在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小
(2)在直线a上找一点P,使PA+PB的值最小
（3）在直线a上找一点Q，使︱QB- QA ︱的值最大
（4）在直线a上找一点Q，使︱QB-QA︱的值最大








B
P
A
P
´
L
P
A
Q
B
A
L
A´
B
A
·
Q
´
L
L
Q
B

第二部分：点到直线距离和圆外一点到圆的距离


B

A
O
A
P
B
L
第二部分：立体图形中的最短路径
第一课时
正方体
在棱长 为5cm的立方体纸盒A处有一只蚂蚁，在H处有
一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖，那它沿立方体表面所走的 最短
路程是_____cm．


变式：
如图是一个棱长为4厘 米的正方体盒子，一只蚂蚁在AE
的中点M处，它到CD的中点N的最短路线是多少？

【长方体】
如图是一块长，宽，高分别是4厘米、5厘米、3厘米
的 长方体木块，一只瓢虫要从长方体木块的一个顶点A处，
沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B 处吃食物，
那么它需要爬行的最短路径的长是？


变式：如图，一只蚂蚁 从实心长方体的顶点A出发，沿
长方体的表面爬到对角顶点B处（三条棱长如图所示），问
怎样 走路线最短？最短路线长为多少？


圆柱体
如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高
BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=
2
B C．一只蚂蚁从A
3
点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】

立体图形中的最短路径
第二课时
圆柱体
如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在
杯内离杯底4c m的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在
杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁
到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm．

圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边
关系，勾股定理。
【分析】如 图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A
竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作
点A关于杯上 沿MN的对称点B，连接BC交MN

于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线M A于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂
蜜的最短距离，且A P=BP由已知和矩形的性质，得DC=9，
BD=12。在Rt△BCD中，由勾股定理得
B CDC
2
BD
2
9
2
12
2
1 5
。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
15cm。
圆锥体已知圆锥的底面半径为10，母线为40，若一小
虫从点A出发沿圆锥侧面绕行到母线CA的中点 B，它所走的
最短路程是多少？


变式如图，是一个用来盛爆米花的圆 锥形纸杯，纸杯开
口圆的直径EF长为10cm．母线OE(OF)长为10cm．在母线
OF 上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从
杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此 蚂蚁爬行的最短
距离为多少？

变式如图是一个圆锥，它的高为，母 线长为6，A是
底面圆周上的定点，动点P从A点出发，沿圆锥的侧面运动
一周后仍回到A点， 则点P经过路线的长度的最小值为()


第三部分：三角形中线段最值问题
第一课时
例1. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC
上移动，则BP的最小值是 ．

【答案】
24
。
5
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC
时，BP取得最小值。
设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，

又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股
定理，得
< br>BP
2
AB
2
AP
2
，BP
2< br>BC
2
CP
2
。
∴
AB
2
AP
2
BC
2
CP
2
，即
5
2
x
2
6
2


6x

2< br>，解得
x=
7
。
5
2
7

576 24
∴
BP5
2


==
，即
< br>255

5

BP的最小值是
24
。
5

例2、O为坐标原点，点A（2，0），B（0，4）．设OA、
AB的 中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小
值。


例3 如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，
BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边 上确定一点P，使△PDE
得周长最小．请直接写出△PDE周长的最小值：

．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′
E， 与BC交于点P，P点即为所求。

【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，
三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE
的最小值即可，作D点关于BC的对称点 D′，连接D′E，
与BC交于点P，P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即
可得出答案：
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位
线。
∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。
∴
DEDE
2
DD
2
 3
2
4
2
5
。
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。

例4.在锐角三角 形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45°，BD
平分∠ABC，M、N分别是BD 、BC上的动点，则CM+MN的最小
值是 。

【答案】4。 【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三
角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函 数定义，特殊
角的三角函数值。



【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离
时，CE取最小值。
∵BC=
42
，∠ABC=45°，∴CE
∴CM+MN的最小值是4。
的最小值为
42
sin45
0
=4。

三角形中线段最值问题
第二课时
例5.已知边长为2的正三角形A BC，两顶点A、B分别
在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第
一象限，连 结OC，则OC的长的最大值是 ．






y
C
B
O
A
x
例6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、
C分别在x轴、y轴上，当点 A在x轴上运动时，点C随之
在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是
A．
2
C。
2




例7.如图， 线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分
别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形 △ACD
和△BCE，那么DE长的最小值是 ．
22
B．
25

6
D． 6

【答案】1。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，
勾股定理，二次函数的最值。
【分析】



设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝
∴∠DCE＝90°。
∴DE＝DC＋CE＝（
－1)＋1。
∴当x＝1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小
值为1。
2
2< br>222222
22
x
）＋[
(2－x)
]＝x－2x＋2＝( x
2
2
2
x
，CE＝
2
(2－x)
。
2
2

第四部分:四边形中的线段最值问题
第一课时
一般四边形中的线段最值问题
1.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A =90°，

AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点 ，
则DP长的最小值为 ▲ ．

2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠BAD=90°，AB=6，
对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD）， 点
P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．

正方形中的线段最值问题
1.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P< br>是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．

【答案】
25
。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾
股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最
小值。

∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，
D E=CD
2
+CE
2
4
2
+2
2
25
。
2.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC
于点E，若点P 、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最
小值【 】

A、2 B、4 C、
22
D、
42

3、以边长为2的正方形的中心
O
为端点，引两条相互
垂直的射线，分别与正 方形的边交于
A
、
B
两点，则线段
AB
的最小值是＿＿＿.
分析 根据题意画出图形，结合图形，可证
△
COA
≌△
DOB，推出△
AOB
为等腰直角三角形，由勾股定理
求出
AB
＝从而 可知要使
2
OA
，
AB
最小，只要
OA
取最小值即
可，当
OA
⊥
CD
时，
OA
最小.
C

A

O
D
B
F


E
解 如图，因为四边形
CDEF
是正方形，所以∠
OCA
＝
∠
ODB
＝45°，∠
COD
＝90°，
OC
＝
OD
，

又因为
AO
⊥
OB
，所 以∠
AOB
＝90°，所以∠
COA
+∠
AOD
＝90°， ∠
AOD
+∠
DOB
＝90°，
所以∠
COA
＝ ∠
DOB
，所以△
COA
≌△
DOB
，所以
OA< br>＝
OB
，
因为∠
AOB
＝90°，所以△
AOB< br>是等腰直角三角形，由勾
股定理，得:
AB
＝
OA
2
OB
2
＝
2
OA
，要使
AB
最小，只要
OA
取最小值即可，根据垂线段最短，
OA
⊥
CD
时，
OA
最小，
因为
O
是正方形
CDEF
的中心，边长为2，所以
OA
＝
1
CD
2
＝1，即
AB
＝
2
.
说明 求线段
AB
的最小值，由于没有图形，结合题意
画出图 形，利用数学结合的数学进行解决.在求线段的最短
问题是要注意最短的几种情况，垂线段最短；两点之 间线段
最短；以及运用对称解决两线段之和的最短这几种模式.

四边形线段最值问题
第二课时
矩形中的线段最值问题
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC
中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4

菱形中的线段最值问题
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、
F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF
的最小值，则这个最小值是 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6

2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K
分 别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值
为【 】

A． 1 B．
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边
3
C． 2 D．
3
＋1

关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函 数
定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定， 此时点K的位置：如图，作点P
关于BD的对称点P
1
，连接P
1
Q ，交BD于点K
1
。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P
1
K
1
= P K
1
，P
1
K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，
得P
1
K＋QK＞P
1Q= P
1
K
1
＋Q K
1
= P K
1
＋Q K
1
。∴此时的K
1
就是
使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的
性质，点P关于BD的对称点P
1
在AB上，
即不论点P在BC上任一点，点P
1
总在AB
上。因此，根据直线外一点到直线的所 有连线中垂直线段最
短的性质，得，当P
1
Q⊥AB时P
1
Q最短。 过点A作AQ
1
⊥DC于
点Q
1
。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q
1
=30°。又∵AD=AB=2，
∴P
1
Q=AQ
1< br>=AD·cos300=
2
3
3
。
3
综上所述，PK+QK的最小值为
3
。故选B

第五部分：圆中线段最值问题
第一课时
1.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l 的距离为3，点
P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值

是多少？

分析：因为PB为切线，所以△OPB是Rt△．因为OB为
定值 ，所以当OP最小时，PB最小．根据垂线段最短，知OP′=3
时P′B′最小．运用勾股定理求解即 可．
解：作OP′⊥l于P′点，则OP′=3．
根据题意，在Rt△OP′B′中，
P′B′=√(3²-2²)=√5．
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且
∠ACB=30°，点E、F分别是AC 、BC的中点，直线EF与⊙O
交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大为 ．

由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定
理得出EF=AB为定值 ，则GE+FH=GH﹣EF，所以当GH取最
大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦， 故当GH
为⊙O的直径时，可求得GE+FH的最大值：14﹣3.5=10.5．

解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故答案为10.5．
3.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6 ，
MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任
意一点，则PA+PC 的最小值为（ ）


连结BC，BC与EF的交点为P时，PA+PC最短 连结OA，
OC，由勾股定理得 OE=3, OF=4 ∴EF=7 ∵AB‖CD ∴

BECF=EPPF 43=EPPF EP+PF=7 ∴EP=4,PF=3 ∴BP=4√2,
PC=3√2 ∴PA＋PC的最短距离=BC=7√2

圆中线段最值问题
第二课时
4.在三角形ABC中,AB=10,AC=8,BC =6,经过点C且与边
AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的
最 小值
分析：设圆心为O,切点为即OQ+OP,也就是圆O的
直径。因为与AB相切，所以， 直径就是三角形ABC斜边的
高线，再利用面积求出得2.4
5．在△ABC中，∠C=90 °，AC=8，BC=3，点A、C分别
在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是


6. 在△ABC中,∠ ACB=90°,AC=BC=√2,以点B为圆心,1
为半径作圆,设点P为⊙B上一点,线段CP绕 着点C顺时针旋
转90°,得到线段CQ，连接AQ,PQ,BP,BQ,求BQ的最大值和
最 小值。

第六部分：抛物线中的线段最值问题

如图：抛物线
轴交于点C,(0,3) ，
yx
2
bxc
与x轴交于A,B两点，与
对称轴为直线L:
x2
，
（1）求抛物线表达式及AB两点坐标
（2）在对称轴上确定一点P，使PA+PC的值最小，并
求出P点坐标。
（3）在抛物线对称轴上确定一定Q使∕QA-QB∕最小，
并求出Q点坐标。




y
A


C
O
B
x
我们学习知识最重要的不是做会一道题目，而是要理
解每道题目背后 最本质的东西，要做到触类旁通才是我们

学习的目的。