线段和差最值问题
广东惠州学院-国泰民安的下联
专题一.线段和（差）的最值问题
【知识依据】
1．线段公理——两点之间，线段最短；
2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形
全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；
3．三角形两边之和大于第三边；
4．三角形两边之差小于第三边；
5、垂直线段最短。
一、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A
A
m
m
P
B
B
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B
B
m
m
P
A、A’ 是关于直线m的对称点。
A'
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
A
m
A
m
P'
P
n
n
Q
Q'
B
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
A
m
m
P
B
B
n
n
Q
B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m
A
A
P
B
B
Q
n
n
B'
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n
的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
n
n
A
A
A'
B
B
D
m
E
m
B'
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧,
在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
A'
n
A
A
Q
m
P
m
A
二、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
n
n
B
m
m
P
A
A
2、两点在直线同侧：
n
n
B
A
A
m
m
P
A'
（二）动点在圆上
运动：点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
O
B'
O
B
P'
m
m
P
A
A
2、点与圆在直线同侧：
O
O
B
A
A
m
P
m
A'
三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线
m上要求P、Q两点，
使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
A
C
A
m
m
Q
P
Q
P
B
B
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直
线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：
E
A
B
A
B
m
Q
P
m
Q
P
B'
四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m
PP'
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
m
m
P'
P
B
B
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-
PB最大值为AB’
Ⅰ．专题精讲
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一
模型．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应
用这一模型．
Ⅱ．典型例题剖析
一．归入“两点之间的连线中，线段最短”
Ⅰ．“饮马”几何模型：
条件：如下左图，
A
、B
是直线
l
同旁的两个定点．
问题：在直线
l
上确定
一点
P
，使
PA
＋
PB
的值最小．
A
B
l
模型应用：
1．如图，正方形
ABCD
的边长为2，
E
为
AB
的中点，
P
是
AC
上一动点．则
PB
+
PE
的最小值是 ．
2．如图，⊙
O
的半径为2，点
A
、
B
、
C
在⊙
O
上，
OA
⊥
OB
，∠
AOC
=60°，
P
是
OB
上一动点，则
PA
+<
br>PC
的最小值是 ．
3．如图，在锐角△
ABC
中，
AB
＝42，∠
BAC
＝45°，∠
BAC的平分线交
BC
于点
D
，
M
、
N
分别
是
AD
和
AB
上的动点，则
BM
+
MN
的
最小值是 ．
第1题 第2题 第3题
第4题
4．如图，在直角梯形
ABCD
中，∠
ABC
＝
90°，
AD
∥
BC
，
AD
＝4，
AB
＝
5，
BC
＝6，点
P
是
AB
上一个动点，当
PC<
br>＋
PD
的
和最小时，
PB
的长为__________．
5．如图，等腰梯形
ABCD
中，
AB
＝
AD<
br>＝
CD
＝1，∠
ABC
＝60°，
P
是上底，下底中
点
EF
直线上的一点，则
PA
+
PB
的最小
值为
．
6．如图，
MN
是半径为1的⊙
O
的直径，点
A
在⊙
O
上，∠
AMN
＝30°，
B
为
AN
弧的中点，
P
是直径
MN
上一动点，则
PA
＋
PB
的最小值为 ．
第5题 第6题
第7题
7．已知
A
(－2，3)，
B
(3，1)，P
点在
x
轴上，若
PA
＋
PB
长度最小，则最
小值为 ．若
PA
—
PB
长度最大，则最大值为
．
2
8．已知：如图所示，抛物线
y
＝－
x
＋
bx
＋
c
与
x
轴的两个交点分别为
A
(1
，0)，
B
(3，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点
P
在该抛物线上滑动，且满足条件<
br>S
△
PAB
＝1的点
P
有几个并求出所有点
P
的坐标；
（3）设抛物线交
y
轴于点
C
，问该抛物线对称轴上是
否存在点
M
，使得△
MAC
的周长最小若存在，求出点
M
的
坐标；若
不存在，请说明理由．
Ⅱ．台球两次碰壁模型
已知点
A
位于直线
m
，
n
的内侧，在直线
m
、
n
分别上求点
P
、
Q
点，使
PA<
br>+
PQ
+
QA
周长最短.
变式：已知点
A
、
B
位于直线
m
，
n <
br>的内侧，在直线
m
、
n
分别上求点
D
、
E<
br>点，使得围成的四边形
ADEB
周长最短.
模型应用：
1．如图，∠
AOB
=45°，
P
是∠
AOB
内一点，PO
=10，
Q
、
R
分别是
OA
、
O
B
上的动点，求△
PQR
周长的最小值．
2．如图，已知平面直角坐标系，
A
，
B
两点的坐标分别
为
A
(2，－3），
B
(4，－1）
设
M
，N
分别为
x
轴和
y
轴上的动点，请问：是否存在这样的点
M
(
m
，0），
N
(0，
n
),使四边形
ABMN
的周长最短若存在，
请求出
m
＝______，
n
＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（
A
）和世界级自然保护
区星斗山（
B
）位于笔直的沪渝高速公路
X
同侧，
AB
=5
0km、
B
到直线
X
的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁
修建一服务区
P
，向
A
、
B
两景区运送游客．小民设计了两
种方案，
图（1）是方案一的示意图（
AP
与直线
X
垂直，垂足为<
br>P
），
P
到
A
、
B
的距离之和
S<
br>1
＝
PA
＋
PB
，图（2）是方案二的示意
图（点<
br>A
关于直线
X
的对称点是
A'
，连接
BA'
交直线
X
于点
P
），
P
到
A
、
B
的距离之和
S
2
＝
PA
＋
PB
．
（1）求
S
1
、
S
2
，并比较它们的大小； （2）请你说明
S
2
＝
PA
＋
PB
的值为最小
；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路
Y
与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示
的直角坐标系，
B
到直线
Y
的距离为
30km，请你在
X<
br>旁和
Y
旁各修建一服务区
P
、
Q
，使
P、
A
、
B
、
Q
组成的四边形的周长最小．并求出这个最
小值．
3
2
18
2．如图，抛物线
y
＝
x
－
x
＋3和y轴的交点为
A
，
M
为
OA
的中点，若有一动点
P
，自
M
点处出发，沿直线运动到
x
55
轴上的某点（设为点
E
）
，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点
F
），最后又沿直线运动到点
A<
br>，求使点
P
运动的总路程最短的点
E
，点
F
的坐标，
并求出这个最短路程的长．
Ⅲ．已知
A
、
B
是两个定点，
P
、Q
是直线
m
上的两个动点，
P
在
Q
的左侧，且
PQ
间长度恒定,在直线
m
上要求
P
、
Q
两
点，使得
PA
+
PQ
+QB
的值最小．(原理用平移知识解)
（1）点
A
、
B
在直线
m
两侧：
（2）点
A
、
B
在直线
m
同侧：
模型应用：
1
2
1. 如图，抛物线
y
＝－
x
－
x<
br>＋2
的顶点为
A
，与
y
轴交于点
B
．
4
(1)求点
A
、点
B
的坐标；
(2)若点P
是
x
轴上任意一点，求证：
PA
－
PB
≤<
br>AB
；
(3)当
PA
－
PB
最大时，求点
P
的坐标.
2. 如图，已知直线
y
＝
抛物线
y
＝
1
x
＋1与
y
轴交于点
A
，与
x
轴交于点
D
，
2
1
2
x
＋
bx
＋
c
与直线交于
A
、
E
两点，与
x
轴交于
B
、
C
两点，且
B
点坐标为(1，0)．
2
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点
M
，使|
AM
－
MC
|的值最大，求出点
M
的坐标．
y
E
A
O
B
x
D
C
3. 如图，直线
y
＝－3<
br>x
＋2与x轴交于点
C
，与
y
轴交于点
B
，
点
A
为
y
轴正半轴上的一点，⊙
A
经过点
B
和点
O
，
直线
BC
交⊙
A
于点
D
．
（1）求点
D
的坐标；
（2）过
O
，
C
，
D
三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点
P
，使线段
P
O
与
PD
之差的值最大若存在，请求出
这个最大值和点
P
的
坐标．若不存在，请说明理由．
4. 已知：如图，把矩形
OCBA
放置于直角坐标系中，
OC
＝3
，
BC
＝2，取
AB
的中点
M
，连接
MC
，把△
MBC
沿
x
轴的负方
向平移
OC
的长度后得
到△
DAO
．
（1）试直接写出点
D
的坐标；
（2）已
知点
B
与点
D
在经过原点的抛物线上，点
P
在第一象限内的
该抛物线上移动，过点
P
作
PQ
⊥
x
轴于点
Q，连接
OP
．若以
O
、
P
、
Q
为顶点
的三角形与△
DAO
相似，试求出点
P
的坐标；
（3）试问在（2
）抛物线的对称轴上是否存在一点
T
，使得
|
TO
－
TB<
br>|
的值最大若存在，则求出点
T
点的坐标；若不存
在，则说明理由．
一．归入“三角形两边之差小于第三边”
1.直线2x
-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是
.
2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（
7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点
P）的位置：
（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大
（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等
好题赏析：
原型：已知：
P
是
边长为1的正方形
ABCD
内的一点，求
PA
＋
PB
＋PC
的最小值．
例题
：如图，四边形
ABCD
是正方形，△
ABE
是等边三角形，
M为对角线
BD
（不含
B
点）上任意
一点，将
BM绕点
B
逆时针旋转60°得到
BN
，连接
EN
、
AM
、
CM
．
（1）求证：△
AMB
≌△
ENB
；
（2）①当
M
点在何处时，
AM
＋
CM
的值最小；
②当
M
点在何处时，
AM
＋
BM
＋
CM<
br>的值最小，并说明理由；
（3）当
AM
＋
BM
＋
C
M
的最小值为3＋1时，求正方形的边长．
变式：如图四边形
ABCD
是菱形，且∠
ABC
＝60，△
ABE
是等边三角形，
M
为对角线
BD
（不含
B
点）上任意一点，将
BM
绕点
B
逆时针旋转60°得到<
br>BN
，连接
EN
、
AM
、
CM
，则下列五个
结论中正确的是（ ）
①若菱形
ABCD
的边长为1，则
AM
＋
CM
的最小值1；
②△
AMB
≌△
ENB
； <
br>③S
四边形
AMBE
=S
四边形
ADCM
；④连接<
br>AN
，则
AN
⊥
BE
；
⑤当
AM
＋
BM
＋
CM
的最小值为23时，菱形
ABCD
的边长为2
．
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤